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Mathe
4. Dez. 2025
1.056
4 Seiten
lina @linchenf
Ganzrationale Funktionen sind Polynomfunktionen, die du wahrscheinlich schon in verschiedenen Formen kennengelernt hast. Sie haben bestimmte Eigenschaften wie... Mehr anzeigen
Die Achsensymmetrie zur y-Achse erkennst du daran, dass f = f(x) für alle x gilt. Das passiert, wenn alle Exponenten in deiner Funktion gerade sind.
Bei der Punktsymmetrie zum Ursprung gilt f = -f(x). Das siehst du, wenn alle Exponenten ungerade sind und kein konstanter Term (Absolutglied) vorhanden ist.
Um Symmetrie zu prüfen, setzt du einfach -x für x ein und schaust, was passiert. Kommt die ursprüngliche Funktion raus, hast du Achsensymmetrie. Kommt die negative Funktion raus, hast du Punktsymmetrie.
Übungstipp Teste Symmetrie immer durch Einsetzen von -x - so wirst du sicher und schnell!
Symmetrie zu erkennen spart dir viel Zeit beim Zeichnen von Funktionsgraphen. Achsensymmetrie zur y-Achse liegt vor, wenn alle Exponenten gerade sind und f = f(x) gilt.
Punktsymmetrie zum Ursprung erkennst du, wenn alle Exponenten ungerade sind und kein Absolutglied vorhanden ist. Dann gilt f = -f(x).
Das Globalverhalten bestimmt der Leitkoeffizient und der höchste Exponent. Bei geradem Grad geht die Funktion entweder von links oben nach rechts oben (positive Koeffizient) oder von links unten nach rechts unten (negativer Koeffizient).
Eselsbrücke Gerade Exponenten = Achsensymmetrie, ungerade Exponenten = Punktsymmetrie!
Eine ganzrationale Funktion hat die Form f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀. Das sieht kompliziert aus, ist aber nur die mathematische Schreibweise für Polynome, die du schon kennst.
Der Leitkoeffizient aₙ ist der Koeffizient vor der höchsten Potenz und bestimmt das Verhalten der Funktion. Das Absolutglied a₀ ist der Term ohne x und gibt den y-Achsenabschnitt an.
Potenzfunktionen verhalten sich je nach Vorzeichen des Koeffizienten und Grad unterschiedlich. Gerade Exponenten mit positivem Koeffizienten ergeben U-förmige Graphen, ungerade Exponenten S-förmige Kurven.
Praxistipp Schau dir zuerst den höchsten Exponenten und den Leitkoeffizienten an - das verrät dir schon das Grundverhalten!
Du kennst das Problem Eine Funktion ist gegeben und du sollst wichtige Punkte bestimmen. Das ist eigentlich ganz einfach, wenn du die richtigen Schritte kennst.
Der y-Achsenabschnitt ist der Punkt, wo die Funktion die y-Achse schneidet. Du setzt einfach x = 0 ein und berechnest f(0). Das Ergebnis ist dein y-Achsenabschnitt - fertig!
Nullstellen findest du, indem du f(x) = 0 setzt. Bei quadratischen Funktionen kannst du die Mitternachtsformel verwenden, bei einfachen Gleichungen durch Umformen lösen. Denk daran Eine lineare Funktion hat maximal 1 Nullstelle, eine quadratische maximal 2.
Merktipp Die Linearfaktorzerlegung f(x) = a... zeigt dir direkt alle Nullstellen!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Erfahren Sie alles über gebrochen-rationale Funktionen, einschließlich der Quotientenregel, Nullstellen, Polstellen und Asymptoten. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Erklärung der Verhaltensweisen an Polstellen und im Unendlichen sowie wichtige Grafiken zur Veranschaulichung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheErforschen Sie die Eigenschaften ganzrationaler Funktionen, einschließlich Nullstellen, Symmetrie, Globalverhalten und Monotonie. Diese Zusammenfassung bietet klare Kriterien für Extrempunkte und deren Berechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die zentrale Klausur der Einführungsphase 2016 in Mathematik. Die Aufgaben umfassen Themen wie Funktionen, Ableitungen, Stochastik und graphische Transformationen. Studierende lernen, wie man Gleichungen aufstellt, Ableitungen interpretiert und Wahrscheinlichkeiten berechnet. Ideal für die Vorbereitung auf Prüfungen und das Verständnis komplexer mathematischer Konzepte.
MatheDiese Übersicht behandelt die wesentlichen Eigenschaften von Funktionen, einschließlich Definitionsmenge, Wertemenge, Symmetrie und Nullstellen. Ideal für die Klausur- und Abiturvorbereitung. Enthält auch Informationen zu Transformationen, Tangenten und Sekanten sowie zur Polynomdivision.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen gebrochenrationaler Funktionen: Behebbare Definitionslücken, Polstellen, Asymptoten, Nullstellen und Symmetrie. Erfahren Sie, wie sich diese Funktionen gegen unendlich verhalten und lernen Sie die verschiedenen Graphentypen kennen. Ideal für die Vorbereitung auf Prüfungen in Bayern (FOS 13).
MatheDieser Lernzettel behandelt die Eigenschaften gebrochen-rationaler Funktionen, einschließlich Nullstellen, Polstellen, Asymptoten und Grenzwerten. Er bietet eine klare Übersicht über die verschiedenen Typen von gebrochen-rationalen Funktionen und deren Verhalten. Ideal für Mathematikstudenten, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheApp Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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lina
@linchenf
Ganzrationale Funktionen sind Polynomfunktionen, die du wahrscheinlich schon in verschiedenen Formen kennengelernt hast. Sie haben bestimmte Eigenschaften wie Symmetrie und ein charakteristisches Verhalten, das du leicht verstehen und anwenden kannst.
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Die Achsensymmetrie zur y-Achse erkennst du daran, dass f = f(x) für alle x gilt. Das passiert, wenn alle Exponenten in deiner Funktion gerade sind.
Bei der Punktsymmetrie zum Ursprung gilt f = -f(x). Das siehst du, wenn alle Exponenten ungerade sind und kein konstanter Term (Absolutglied) vorhanden ist.
Um Symmetrie zu prüfen, setzt du einfach -x für x ein und schaust, was passiert. Kommt die ursprüngliche Funktion raus, hast du Achsensymmetrie. Kommt die negative Funktion raus, hast du Punktsymmetrie.
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Symmetrie zu erkennen spart dir viel Zeit beim Zeichnen von Funktionsgraphen. Achsensymmetrie zur y-Achse liegt vor, wenn alle Exponenten gerade sind und f = f(x) gilt.
Punktsymmetrie zum Ursprung erkennst du, wenn alle Exponenten ungerade sind und kein Absolutglied vorhanden ist. Dann gilt f = -f(x).
Das Globalverhalten bestimmt der Leitkoeffizient und der höchste Exponent. Bei geradem Grad geht die Funktion entweder von links oben nach rechts oben (positive Koeffizient) oder von links unten nach rechts unten (negativer Koeffizient).
Eselsbrücke: Gerade Exponenten = Achsensymmetrie, ungerade Exponenten = Punktsymmetrie!
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Eine ganzrationale Funktion hat die Form f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀. Das sieht kompliziert aus, ist aber nur die mathematische Schreibweise für Polynome, die du schon kennst.
Der Leitkoeffizient aₙ ist der Koeffizient vor der höchsten Potenz und bestimmt das Verhalten der Funktion. Das Absolutglied a₀ ist der Term ohne x und gibt den y-Achsenabschnitt an.
Potenzfunktionen verhalten sich je nach Vorzeichen des Koeffizienten und Grad unterschiedlich. Gerade Exponenten mit positivem Koeffizienten ergeben U-förmige Graphen, ungerade Exponenten S-förmige Kurven.
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Du kennst das Problem: Eine Funktion ist gegeben und du sollst wichtige Punkte bestimmen. Das ist eigentlich ganz einfach, wenn du die richtigen Schritte kennst.
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Nullstellen findest du, indem du f(x) = 0 setzt. Bei quadratischen Funktionen kannst du die Mitternachtsformel verwenden, bei einfachen Gleichungen durch Umformen lösen. Denk daran: Eine lineare Funktion hat maximal 1 Nullstelle, eine quadratische maximal 2.
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Erfahren Sie alles über gebrochen-rationale Funktionen, einschließlich der Quotientenregel, Nullstellen, Polstellen und Asymptoten. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Erklärung der Verhaltensweisen an Polstellen und im Unendlichen sowie wichtige Grafiken zur Veranschaulichung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheErforschen Sie die Eigenschaften ganzrationaler Funktionen, einschließlich Nullstellen, Symmetrie, Globalverhalten und Monotonie. Diese Zusammenfassung bietet klare Kriterien für Extrempunkte und deren Berechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die zentrale Klausur der Einführungsphase 2016 in Mathematik. Die Aufgaben umfassen Themen wie Funktionen, Ableitungen, Stochastik und graphische Transformationen. Studierende lernen, wie man Gleichungen aufstellt, Ableitungen interpretiert und Wahrscheinlichkeiten berechnet. Ideal für die Vorbereitung auf Prüfungen und das Verständnis komplexer mathematischer Konzepte.
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MatheDieser Lernzettel behandelt die Eigenschaften gebrochen-rationaler Funktionen, einschließlich Nullstellen, Polstellen, Asymptoten und Grenzwerten. Er bietet eine klare Übersicht über die verschiedenen Typen von gebrochen-rationalen Funktionen und deren Verhalten. Ideal für Mathematikstudenten, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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