Gebrochen rationale Funktionen

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Nenner null? O 000 O Senkrechte Asymptote: Definitionslücke O Nullstellen, wann ist Zähler null? O O O ■ Wenn Terme zu kompliziert - Faktorisieren (zerlegen) x³-6x²+8x f(x)= 3x²-9x-12 Zähler: x³ - 6x² + 8x= x(x² - 6x + 8) -> In Mitternachtsformel einsetzen X₁=4, X₂=2 : x(x-4)(x - 2) Dasselbe beim Nenner _x(x−4)(x−2) _ x(x-2), da sich vier rauskürzen lässt = Loch 3(x+1)(x-4) 3(x+1)' F(x) Loch, wann Zähler und Nenner gleichzeitig null? Verhalten im Unendlichen ■ lim f(x) = x>2- 2x >4 x-2 >0- 2x >4 x-2 >0+ lim f f(x) = x>2+ Fallunterscheidungen: = = = 1. Fall: Zählergrad z < Nennergrad n Kürzen mit der höchst vorkommenden Potenz 3x Bsp. F(x)=2x21 -> Kürzen = lim f(x)=>0 x-Achse = waagerechte Asymptote 2. Fall: Zählergrad = Nennergrad Kürzen mit der höchsten Potenz f(x)== 2x² 4x²-x+1 o Symmetrie ܕܢ =12 ~ + = -= ca ½ waagerechte Asymptote= nicht die x-Achse 3. Fall: Zählergrad = Nennergrad +1 3 2x+1/x² Polynomdivision _x2+1,5x 1 Bsp. F(x)= 2x-1 2x-1 = Gleichung einer Geraden, der Asymptote , nach PD = 0,5x+1+- 0,5x+1 schräge Asymptote 4. Fall: Zählergrad > Nennergrad +1 höchst vorkommenden Potenzen sind maßgebend x³ +0,5x² x3 2x-1 2x Bsp: f(x)= -> Limes f(x) = 2 Keine waagerechte oder schräge Asymptote = ^ = 0,5x2 Achsensymmetrie: achsensymmetrisch zur y-Achse 2x²+1 : f(-x)=f(x) Bsp: f(x)=5 3-x4 1) 2) Punktsymmetrie: punktsymmetrisch zum Ursprung 2x³+2x F(-x)=-F(x) Bsp: f(x)= 2 Versch. Große Zahlen einsetzten Welches Polynom hat den größten Einfluss 2 Mathe Zusammenfassung Q11/1 Lokales und globales Differenzieren Differenzquotient/ mittlere Änderungsrate Durchschnittliche Steigung zwischen 2 Punkten Auf Intervallen [a;b] definiert, so: m= _f(b)-f(a) = Differenzquotient oder mittlere Änderungsrate b-a O Anschaulich ist m gleich der Steigung der Sekante durch die Punkte P(a/f(a)) Q(b/f(b)) (x2|y2) Gerade DIFFERENZENQUOTIENT _y2-y1_ f(x2)-f(x1) x2-x1 x2-x1 oo O oo o O O 00 O Steigung? y2-y1 x2-x1 O 2 Punkte so nah zusammenlaufen lassen, bis sie ein Punkt werden, Tangente = fast Parabel lim f(x)-F(xo). = Differentialquotient/ momentane Änderungsrate X>XO x-xo Die gerade durch den Punkt Po(xo/f(xo)) mit der Steigung mx, heißt Tangente an dem Graphen in Po (x0+h|f(x0+ h)) O O O Differentialquotient. Wie steil ist es an einer Stelle genau? Wie weit muss ich hoch? (x1|y1) DIFFERENZENQUOTIENT II (x0 | f(x0) ,,Gerade an Parabel anlegen" = Tangente, die genau an dem Punkt berührt und genauso steil weiter geht wie es am punkt hoch geht h Wie weit nach rechts? m = O = O Ableitung bestimmen: 1. lim f(x)-f(xo) x>xo x-xo m=- f(xo +h)-f(x0) x0 + h - XO f(x0 + h)-f(x0) h gegen 0 mT quent Unterschied zum Differenzenquotient DIFFERENTIALQUOTIENT Mpunkt = lim h→0 Differenzierbarkeit: Man muss von rechts und links an Funktion rangehen, wenn bei beidem dasselbe raus kommt= Differenzierbar lim f(x)= lim f(x) x>xo+ x>xo- f(xo +h)-f(x0) = f(x0) h Ĵ Ableitung an der Stelle x0 Punktsteigung bei x0 2. H-Methode: f'(xo)=lim f(xo+h)-f(xo) h h>0 Gleichung der Tangente im Punkt (3/-3) y=m*x+t_y=-3; m= Ableitung an der Stelle 3 (=2); durchschnittliche Steigung zw. O >t=-9 y=2x-9 Gleichung der Normalen (Senkrechten): MN=- MN= Steigung der Normalen M₁-Steigung der Tangente Schnittwinkel bestimmen: M₁ tanalpha tanA=0,5 TR: shift tan 0,5 = A=25,57° steiler flacher 3 Mathe Zusammenfassung Q11/1 O Ableitungsfunktion: f(x)=x" => f'(x) = n*x(n-1) 00