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Polynomdivision einfach erklärt

Polynomdivision einfach erklärt: Rechner, Beispiele und Aufgaben für die Klasse 11

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Polynomdivision einfach erklärt: Rechner, Beispiele und Aufgaben für die Klasse 11
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Benedict Kurz

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Polynomdivision ist eine wichtige mathematische Operation zur Division von Polynomen. Diese Methode ermöglicht es, komplexe algebraische Ausdrücke zu vereinfachen und zu analysieren. Der Prozess ähnelt der langdivision bei Zahlen, erfordert jedoch spezielle Techniken für algebraische Terme.

  • Polynome sind algebraische Ausdrücke mit Variablen und Koeffizienten
  • Die Polynomdivision folgt einem schrittweisen Verfahren
  • Anwendungen finden sich in der Algebra, Analysis und höheren Mathematik
  • Wichtig für das Verständnis von Nullstellen und Faktorisierung von Polynomen

1.3.2020

1631

Polynomdivision GFSMATHE (x³-2x + 1): (x² + 1) = ? Gliederung 1) Was sind Polynome 2)Polynomdivision 3) Gemeinsames Beispiel 4)Aufgaben Was

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Struktur eines Polynoms

Ein Polynom kann verschiedene Glieder enthalten, die nach ihrem Grad benannt werden:

  • Kubisches Glied: x³
  • Quadratisches Glied: x²
  • Lineares Glied: x
  • Absolutes Glied: Konstanter Term

Beispiel: In dem Polynom x³ + 6x² + 3x - 10 können wir alle diese Glieder identifizieren.

Das Verständnis dieser Struktur ist entscheidend für die erfolgreiche Durchführung einer Polynomdivision.

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Schritt 2 der Polynomdivision

Im zweiten Schritt multiplizieren wir das Ergebnis aus Schritt 1 mit dem Divisor und schreiben es unter den Dividenden.

Beispiel: x² wird mit (x + 5) multipliziert, was x³ + 5x² ergibt. Dies wird unter den Dividenden geschrieben.

Highlight: Dieser Schritt ist entscheidend für die korrekte Durchführung der Polynomdivision und erfordert besondere Aufmerksamkeit bei komplexeren Polynomen.

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Schritt 5 der Polynomdivision

Im letzten Schritt führen wir die finale Subtraktion durch und erhalten das Endergebnis der Polynomdivision.

Beispiel: Das Endergebnis unserer Polynomdivision ist x² + x − 2 mit einem Rest von 0.

Highlight: Ein Rest von 0 bedeutet, dass die Division aufgeht und der Divisor ein Faktor des ursprünglichen Polynoms ist. Dies kann bei der Suche nach Nullstellen von Polynomen sehr nützlich sein.

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Schritt 1 der Polynomdivision

Der erste Schritt der Polynomdivision besteht darin, den höchsten Grad des Dividenden durch den höchsten Grad des Divisors zu teilen.

Beispiel: Bei (x³ + 6x² + 3x − 10) : (x + 5) teilen wir x³ durch x, was x² ergibt.

Dieser Schritt ist entscheidend für den Beginn der Polynomdivision und legt den Grundstein für die folgenden Berechnungen.

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Was sind Polynome?

Polynome sind grundlegende algebraische Ausdrücke, die in der Mathematik häufig verwendet werden. Sie bestehen aus einer Summe von Vielfachen von Potenzen einer Variablen, typischerweise x.

Definition: Ein Polynom ist eine Summe von Vielfachen von Potenzen an * xn, wobei nur natürliche Zahlen als Exponenten vorkommen.

Beispiel: x³+4x - 7 und 3x5+x²+x sind Beispiele für Polynome.

Diese mathematischen Strukturen bilden die Grundlage für viele komplexere Konzepte und sind besonders wichtig für das Verständnis der Polynomdivision.

Polynomdivision GFSMATHE (x³-2x + 1): (x² + 1) = ? Gliederung 1) Was sind Polynome 2)Polynomdivision 3) Gemeinsames Beispiel 4)Aufgaben Was

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Gemeinsames Beispiel

An dieser Stelle würde normalerweise ein gemeinsames Beispiel folgen, um das Gelernte zu festigen. Leider fehlen in der bereitgestellten Transkription die Details zu diesem Beispiel.

Highlight: Gemeinsame Beispiele sind äußerst wertvoll, um das Verständnis der Polynomdivision zu vertiefen und die Anwendung in verschiedenen Kontexten zu üben.

Polynomdivision GFSMATHE (x³-2x + 1): (x² + 1) = ? Gliederung 1) Was sind Polynome 2)Polynomdivision 3) Gemeinsames Beispiel 4)Aufgaben Was

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Schritt 4 der Polynomdivision

In Schritt 4 wiederholen wir die vorherigen Schritte mit dem neuen Polynom, das wir in Schritt 3 erhalten haben.

Beispiel: Wir teilen x² durch x, was x ergibt. Dann multiplizieren wir x mit (x +5), was (x² +5x) ergibt.

Dieser iterative Prozess ist charakteristisch für die Polynomdivision und wird fortgesetzt, bis wir ein Ergebnis mit einem Rest erhalten, der einen niedrigeren Grad als der Divisor hat.

Polynomdivision GFSMATHE (x³-2x + 1): (x² + 1) = ? Gliederung 1) Was sind Polynome 2)Polynomdivision 3) Gemeinsames Beispiel 4)Aufgaben Was

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Einführung in die Polynomdivision

Die Polynomdivision ist eine fortgeschrittene mathematische Operation, die es ermöglicht, ein Polynom durch ein anderes zu teilen.

Aufgabe: Das Polynom x³ + 6x² + 3x - 10 soll durch das Polynom x + 5 geteilt werden.

Diese Art von Aufgabe ist typisch für die Polynomdivision und bildet die Grundlage für komplexere mathematische Probleme, insbesondere bei der Suche nach Nullstellen von Polynomen höheren Grades.

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Schritt 3 der Polynomdivision

Der dritte Schritt beinhaltet die Subtraktion des Ergebnisses aus Schritt 2 vom Dividenden.

Beispiel: Wir subtrahieren (x³+5x²) von (x³ + 6x² + 3x − 10), was x²+3x - 10 ergibt.

Dieser Schritt unterscheidet sich von der normalen Division mit Zahlen, da alle Terme "heruntergeholt" werden. Dies ist ein wichtiger Aspekt der Polynomdivision mit Rest.

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Abschluss und weiterführende Ressourcen

Die Präsentation endet mit einem Dank für die Aufmerksamkeit und der Möglichkeit, Fragen zu stellen. Dies unterstreicht die Wichtigkeit des Verständnisses der Polynomdivision.

Highlight: Für weitere Informationen und Übungen zur Polynomdivision können die angegebenen Quellen genutzt werden:

  • https://www.arndt-bruenner.de/mathe/9/polynomdivision.htm
  • Ein Bild-Link, der möglicherweise zusätzliche visuelle Erklärungen bietet

Diese Ressourcen können besonders nützlich sein für Polynomdivision Aufgaben, Polynomdivision mit Rest und die Anwendung der Polynomdivision bei der Suche nach Nullstellen.

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Schritt 2 der Polynomdivision

Im zweiten Schritt multiplizieren wir das Ergebnis aus Schritt 1 mit dem Divisor und schreiben es unter den Dividenden.

Beispiel: x² wird mit (x + 5) multipliziert, was x³ + 5x² ergibt. Dies wird unter den Dividenden geschrieben.

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Beispiel: x³+4x - 7 und 3x5+x²+x sind Beispiele für Polynome.

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Schritt 4 der Polynomdivision

In Schritt 4 wiederholen wir die vorherigen Schritte mit dem neuen Polynom, das wir in Schritt 3 erhalten haben.

Beispiel: Wir teilen x² durch x, was x ergibt. Dann multiplizieren wir x mit (x +5), was (x² +5x) ergibt.

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