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Mathematik

Lösungen und Gleichungssysteme

Gleichungssystem

Mathe437Aktualisiert 8. Sept. 20262 Seiten

Gleichungssysteme einfach erklärt – Substitution, Additionsverfahren, Grafik

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Josephine, Eli@josephineli_ste
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Stell dir vor, du hast zwei Rätsel mit zwei unbekannten Zahlen, die perfekt zusammenpassen müssen. Mathematiker nennen das ein lineares Gleichungssystem, und es gibt drei clevere Wege, um die Geheimzahlen für $x$ und $y$ zu knacken. Je nachdem, wie die Gleichungen aussehen, spart dir die richtige Methode jede Menge Rechenarbeit. Hier lernst du Schritt für Schritt, wie du das Gleichsetzungs-, Einsetzungs- und Additionsverfahren fehlerfrei anwendest.
Gleichungssystheme – Seite 1

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Gleichsetzungs- & Einsetzungsverfahren

Gleichsetzungsverfahren

Perfekt, wenn beide Gleichungen nach derselben Variable (y=…y = \dots) aufgelöst sind.

  • Gleichsetzen: Setze die Terme gleich: 6x−4=3x+26x - 4 = 3x + 2.
  • Auflösen: Löse nach xx auf (x=2x = 2) und berechne danach yy.

Einsetzungsverfahren

Nutze dies, wenn nur eine Gleichung nach einer Variable aufgelöst ist.

  • Einsetzen: Setze den Term der einen in die andere Gleichung ein.
  • Beispiel: y=3x−4y = 3x - 4 in 3x+2y=103x + 2y = 10 einsetzen ergibt 3x+2(3x−4)=103x + 2(3x - 4) = 10.

💡 Tipp: Vergiss beim Einsetzen niemals, die Klammern um den eingesetzten Term zu setzen.

Gleichungssystheme – Seite 2

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Das Additionsverfahren

Gleichungen addieren

Ideal, wenn vor einer Variable gegensätzliche Zahlen stehen (z. B. −2y-2y und 2y2y).

  • Addieren: Addiere beide Gleichungen, damit eine Variable komplett wegfällt.
  • Anpassen: Multipliziere Gleichungen vorher, falls keine Gegenzahlen vorliegen.

Anzahl der Lösungen

Ein Gleichungssystem hat nicht immer genau ein Ergebnis.

  • Eine Lösung: Die Geraden schneiden sich in einem Punkt.
  • Keine Lösung: Die Geraden sind parallel (z. B. 0=50 = 5).
  • Unendlich viele: Die Geraden liegen aufeinander (z. B. 0=00 = 0).

💡 Tipp: Multipliziere immer die gesamte Gleichung, nicht nur die Variable.

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