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Grenzprozesse
14.12.2020
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1. Grenzprozesse 1.1. Umwandeln periodischer Zahlen in Brüche Reinperiodische Zahlen: Gemischtperiodische Zahlen: Rekursiv: Explizit: 1 X داع * 1/4 1 1) Schreibe die Periode in den Zähler. 2) Schreibe in den Nenner 9en. Die Anzahl entspricht der Periodenlänge. 0,1 = -1/ Bsp.: 0,324 0,324 0,324 x 1.2. Folgen Eine Folge von Zahlen wird mit an bezeichnet, wobei n ≥ 1 eine natürliche Zahl ist. Die dazugehörigen Folgeglieder (a₁; az; a3; ...) lassen sich wie folgt berechnen: . Für n = 2: lim an = lim = 0 1 n-∞ N 148 . Für n = 4: 1000 = 324,24 10 = 3,24 990 = 321 an+1 = an mit a₁ = 1: A₂ = a₁ + ² = 1 + 1 = 1/2 A3 = A₂ · 3= 1 · 2 = 11 2 3 4 5 Die Folge konvergiert gegen 0. Durch die vorherige Zahl wird die nachfolgende Zahl berechnet. Dabei braucht man eine Anfangszahl. 0,324 = Durch Einsetzen der Stellenzahl n lässt sich das n-te Folgeglied berechnen. Bsp.: an = (¹ a₂ = 1.3. Grenzwerte Bei manchen Folgen nähern sich die Zahlen an für größer werdende n einer festen Zahl g an. Diese Zahl g bezeichnet man als den Grenzwert (Limes) einer Folge. Man schreibt: 321 990 2 (-²)²³ a4 = • (-;-)* 0,203 = 1 |:990 203 999 X X lim an = lim ²n² = ∞0 318 12-004 Die Folge divergiert gegen ∞o. 2 1.4. Strategien zur Grenzwertbestimmung 11/10 nº ● wird für großen immer kleiner und konvergiert deshalb gegen 0 wird für großen immer größer und divergiert deshalb gegen co Wenn nicht offensichtlich ist, ob die Folge konvergiert oder divergiert,...
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muss die höchsten Potenz ausgeklammert werden: ● n •n, n², √n, 2n Bsp.: 2n+1 818 n lim n²+1 lim n-∞0 2n² = lim 818 = lim n48 n·(2+²) n.1 =lim == 2+⁰ = 2 n-∞ 1 n².(1+¹17) n².2 = lim 148 1+ n² = 2 1+0