Periodische Dezimalzahlen in Brüche umwandeln und Grenzwerte verstehen

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Laureen 3003

14.12.2020

Mathe

Grenzprozesse

Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Ableitungsregeln

Periodische Dezimalzahlen in Brüche umwandeln und Grenzwerte verstehen

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Dieser Leitfaden erklärt wichtige mathematische Konzepte wie periodische Dezimalzahlen in Brüche umwandeln, Folgen und Grenzwerte. Er bietet detaillierte Erklärungen und Beispiele für Studenten.

• Periodische Dezimalzahlen werden in Brüche umgewandelt, indem die Periode in den Zähler und 9en in den Nenner geschrieben werden.
• Folgen können rekursiv oder explizit dargestellt werden. Die rekursive Form berechnet jedes Glied aus dem vorherigen, während die explizite Form direkt das n-te Glied berechnet.
• Grenzwerte beschreiben das Verhalten von Folgen für sehr große n. Einige Folgen konvergieren gegen einen festen Wert, andere divergieren.
• Es werden Strategien zur Bestimmung von Grenzwerten vorgestellt, wie das Ausklammern der höchsten Potenz.

...

14.12.2020

338

1. Grenzprozesse
1.1. Umwandeln periodischer Zahlen in Brüche
Reinperiodische Zahlen:
Gemischtperiodische Zahlen:
Rekursiv:
Explizit:
1 X
دا

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Strategien zur Grenzwertbestimmung

Dieser Abschnitt stellt verschiedene Strategien zur Bestimmung von Grenzwerten vor. Für bestimmte Typen von Folgen lassen sich einfache Regeln anwenden.

Beispiel: Terme der Form 1/n^k werden für große n immer kleiner und konvergieren gegen 0, während Terme wie n, n², √n oder 2^n für große n immer größer werden und gegen unendlich divergieren.

Wenn der Grenzwert nicht offensichtlich ist, kann das Ausklammern der höchsten Potenz helfen.

Highlight: Bei komplexeren Ausdrücken ist es oft hilfreich, Zähler und Nenner durch die höchste vorkommende Potenz von n zu teilen.

Es werden konkrete Beispiele für die Anwendung dieser Strategien gegeben, wie etwa die Berechnung des Grenzwerts von $2n+1$ / $n²+1$ . Durch schrittweises Vorgehen und Vereinfachen wird gezeigt, wie man zum Ergebnis kommt.

Example: Für lim $n→∞$ $2n+1$ / $n²+1$ wird zunächst n² ausgeklammert, dann der Grenzwert der vereinfachten Form bestimmt, was schließlich zum Ergebnis 0 führt.

Diese Techniken sind wichtige Werkzeuge für das Berechnen von Grenzwerten von Folgen und bilden die Grundlage für weiterführende Konzepte in der Analysis.

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14. Dez. 2020

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@laureen3003

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Strategien zur Grenzwertbestimmung

Dieser Abschnitt stellt verschiedene Strategien zur Bestimmung von Grenzwerten vor. Für bestimmte Typen von Folgen lassen sich einfache Regeln anwenden.

Beispiel: Terme der Form 1/n^k werden für große n immer kleiner und konvergieren gegen 0, während Terme wie n, n², √n oder 2^n für große n immer größer werden und gegen unendlich divergieren.

Wenn der Grenzwert nicht offensichtlich ist, kann das Ausklammern der höchsten Potenz helfen.

Highlight: Bei komplexeren Ausdrücken ist es oft hilfreich, Zähler und Nenner durch die höchste vorkommende Potenz von n zu teilen.

Example: Für lim $n→∞$ $2n+1$ / $n²+1$ wird zunächst n² ausgeklammert, dann der Grenzwert der vereinfachten Form bestimmt, was schließlich zum Ergebnis 0 führt.

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Grenzprozesse und Umwandlung periodischer Zahlen

Dieser Abschnitt behandelt die Umwandlung von periodischen Dezimalzahlen in Brüche sowie grundlegende Konzepte zu Folgen und Grenzwerten. Bei der Umwandlung periodischer Zahlen wird die Periode in den Zähler geschrieben, während der Nenner aus einer entsprechenden Anzahl von Neunen besteht.

Beispiel: Die Zahl 0,324 wird umgewandelt zu 324/999.

Folgen werden mit an bezeichnet, wobei n eine natürliche Zahl ist. Sie können rekursiv oder explizit dargestellt werden.

Definition: Eine rekursive Darstellung berechnet jedes Folgeglied aus dem vorherigen, während eine explizite Darstellung direkt das n-te Glied berechnet.

Der Grenzwert einer Folge beschreibt, welchem Wert sich die Folgeglieder für sehr große n annähern.

Vocabulary: Der Grenzwert wird auch als Limes bezeichnet und mit lim an notiert.

Highlight: Einige Folgen konvergieren gegen einen festen Wert, während andere divergieren, also keinen Grenzwert besitzen.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Stefan S

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Samantha Klich

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Anna

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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