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Grenzprozesse
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Laureen 3003
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Zusammenfassung zum Thema Grenzprozesse. Inhalt: - Umwandeln periodischer Zahlen in Brüche ~Reinperiodisch und Gemischtperiodisch - Folgen ~Rekursiv und Explizit - Grenzwerte - Strategien zur Grenzwertbestimmung
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1. Grenzprozesse 1.1. Umwandeln periodischer Zahlen in Brüche Reinperiodische Zahlen: Gemischtperiodische Zahlen: Rekursiv: Explizit: A 1/4 1) Schreibe die Periode in den Zähler. 2) Schreibe in den Nenner 9en. Die Anzahl entspricht der Periodenlänge. 0,1 = -1/ 0,203= 0,324 1000 = 324,24 0,324. 10 = 3,24 X 0,324 1.2. Folgen Eine Folge von Zahlen wird mit an bezeichnet, wobei n ≥ 1 eine natürliche Zahl ist. Die dazugehörigen Folgeglieder (a₁; az; a3; ...) lassen sich wie folgt berechnen: X a3 = a₂ lim an = lim¹ = 0 7218 N-00 n . Durch die vorherige Zahl wird die nachfolgende Zahl berechnet. Dabei braucht man eine Anfangszahl. Bsp.: an+1 = = an mit a₁ = 1: a₂ = a₁. = 1. Für n = 2: Für n = 4: 2 2 3 4 5 Die Folge konvergiert gegen 0. 990 = 321 11 0,324 = NIH NIH || 22 Durch Einsetzen der Stellenzahl n lässt sich das n-te Folgeglied berechnen. Bsp.: an = (-²) ¹ a₂ = a4= || (-)² 1.3. Grenzwerte Bei manchen Folgen nähern sich die Zahlen an für größer werdenden einer festen Zahl g an. Diese Zahl g bezeichnet man als den Grenzwert (Limes) einer Folge. Man schreibt: 321 990 11 Jo |:990 16 1 1/4 203 999 lim an 140 X lim = n² =0 7804 Die Folge divergiert gegen ∞o. 2 1.4. Strategien zur Grenzwertbestimmung ● 13/0 n, n², √n, 2n wird für großen immer größer und divergiert deshalb gegen.co Wenn nicht offensichtlich ist, ob die Folge konvergiert oder divergiert, muss die höchsten Potenz ausgeklammert werden: Bsp.: wird für große n immer kleiner und konvergiert deshalb gegen 0 2n+1 lim 71-007 n²+1 lim n-∞0 2n² = lim n·(2+²) n-∞ n.1 = lim = lim...
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