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Mathematik

Flächenberechnungsmethoden mit Integralen

Fläche unter einer Kurve

MatheMathe403 aufrufe·Aktualisiert 22. Aug. 2026·2 Seiten

Integrale — kompletter Lernzettel: Regeln, Beispiele & Lösungen

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SM@madam_i

Die Integralrechnung gehört zu den wichtigsten Themen der Oberstufenmathematik, wirft...

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Integrale – Seite 1

Stammfunktionen und Flächen

Stammfunktion & Hauptsatz

Das Integrieren ist die Umkehrung des Ableitens.

  • Stammfunktion: Es gilt F′(x)=f(x)F'(x) = f(x). Die Menge aller Stammfunktionen ist F(x)+cF(x) + c.
  • Potenzregel: Für f(x)=a⋅xnf(x) = a \cdot x^n ist die Stammfunktion F(x)=an+1⋅xn+1F(x) = \frac{a}{n+1} \cdot x^{n+1}.
  • Hauptsatz: Berechnung über ∫abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a).

Fläche vs. Integral

Flächen unter der x-Achse sind negativ orientiert.

  • Nullstellen: Müssen im Intervall bestimmt werden, um Teilintegrale separat zu berechnen.
  • Betragsstriche: Verhindern, dass sich positive und negative Flächenanteile gegenseitig aufheben.
  • Differenzfunktion: Für die Fläche zwischen zwei Kurven nutzt man d(x)=f(x)−g(x)d(x) = f(x) - g(x).

Beispiel: Fläche für f(x)=x2f(x) = x^2 von 00 bis 22: ∫02x2dx=[13x3]02=83−0=83\int_{0}^{2} x^2 dx = [\frac{1}{3}x^3]_{0}^{2} = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}.

💡 Tipp: Berechne bei der Suche nach der tatsächlichen Fläche immer zuerst die Nullstellen, sonst heben sich positive und negative Flächen gegenseitig auf.

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Integrale – Seite 2

Anwendungen der Integralrechnung

Uneigentliche Integrale & Mittelwert

Grenzen können unendlich weit sein oder Funktionen asymptotisch verlaufen.

  • Uneigentliches Integral: Integration bis zu einer Grenze zz und anschließende Grenzwertbetrachtung mit lim⁡z→∞\lim_{z \to \infty}.
  • Mittelwert: Der durchschnittliche Funktionswert mm im Intervall [a;b][a;b] berechnet sich durch m=1b−a⋅∫abf(x)dxm = \frac{1}{b-a} \cdot \int_{a}^{b} f(x) dx.

Rotationskörper

Rotieren stetige Funktionen um die x-Achse, entstehen dreidimensionale Körper.

  • Volumenformel: Das Rotationsvolumen berechnest du mit V=π⋅∫ab(f(x))2dxV = \pi \cdot \int_{a}^{b} (f(x))^2 dx.

Beispiel: Volumen für f(x)=xf(x) = x von 00 bis 33: V=π⋅∫03x2dx=π⋅[13x3]03=9πV = \pi \cdot \int_{0}^{3} x^2 dx = \pi \cdot [\frac{1}{3}x^3]_{0}^{3} = 9\pi.

💡 Tipp: Vergiss beim Rotationsvolumen niemals das Quadrieren der Funktion f(x)f(x) sowie den Faktor π\pi vor dem Integral.

Wir dachten schon, du fragst nie...

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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha KlichAndroid-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

AnnaiOS-Nutzerin

Mathematik

Flächenberechnungsmethoden mit Integralen

Fläche unter einer Kurve

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Integrale – Seite 1

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Stammfunktionen und Flächen

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  • Stammfunktion: Es gilt F′(x)=f(x)F'(x) = f(x). Die Menge aller Stammfunktionen ist F(x)+cF(x) + c.
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Flächen unter der x-Achse sind negativ orientiert.

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💡 Tipp: Berechne bei der Suche nach der tatsächlichen Fläche immer zuerst die Nullstellen, sonst heben sich positive und negative Flächen gegenseitig auf.

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