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Integralrechnung

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 A = ?
Berechnung:
U₁ = ₁ •f.co) + 1
U₁ = 3²2
Obersumme und Untersumme
Streifenmethode des Archimedes
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Leah

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-Ober- und Untersumme -Streifenmethode -Ober- und Untersumme gegen n -Trapezmethode -Flächeninhaltsfunktion -Stammfunktion -Unbestimmtes Integral -Integrationsregeln -Anfangwertproblem

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A = ? Berechnung: U₁ = ₁ •f.co) + 1 U₁ = 3²2 Obersumme und Untersumme Streifenmethode des Archimedes Verwendung Rechtechie gleicher Breite und fcx)=x². Viele unterschiedliche Ideen können angewendet werden, um die Fläche annähernd zu berechnen.. a) Rechteche unter der Krumm linie" → Untersumme. 6.) Rechteche. Ober der , Krumm linie". →Obersumme 1. Rüchgriff auf "altes Wissen" (Rechtech, Trapez.... 2. Flache berechnen mit waltem. Wissen" Annäherung! 3. Genaue Berechnung der. Annäherung, mittels Grenzwertbildung worzer durch Aus klammern der gleichen Streifenbreite. +9₁: f(t) - ú • f ( t ) * • f ( ² ) |f(x) = x² Berechnung.. 104 = { ₁ ( f ( ² ) + f(x) + f (2) + fan). .Oy = 152 Damit gilt: U₁ < A ≤ 04 32. <A ²352 Die Genauigkeit för A. hann durch eine Erhöhung der Streifenzahl geschenen. -15. Obersumme und Untersumme mit Streifenbreite gegen unendlich schmal Benötigte Summenformer: 1.² +2²+...+ m² = t·m· (m+))· (2m + 1) Un NIS f(x)=x² 2/1/2 ***** 30 Tu=ū ·Ty = ū T₁ = n- n 1 7 = SAL 33 A = 33. FE f(x)=x² H 7 Un = = 1· Lo² + . Un = = 1₁ [ 0 ² + = 1/² + Un = √³ · [0² + 1² +2²+.+ (n − 1)²] On = 11² [ = 1² . n Un = n²³ · 6 · (n-1)·n. (2n-1). .Un=ㅎ . . . 끔. 램 2n- Un ≤A≤ On. (NEN) => lim Un ≤A ≤ lim On ndo noo 2 0.125 +0,5+ 1.125 +1 0.5+1.12 2 2,75 2,75 T₁ = 2170 ~...

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0₁34.FE. 8 I GRENZWERT VON .n →∞0 lim Un = lim (7. n. 1-²²¹₁ 2n-¹) = 6·1·1·2= 1/2/3 + On = 1²³ · [ 1 ² + 2 ² + ..n²] 2 lim On = lim (t⋅ ⋅n+² 2n+ 1) = 6·1·1·2 = 1/3 ·O₂ = n/² · 1² ·n・ (n+1). (2n+1) ・ On = = ² · n. n + !.. 2 3/1² + +1²] 1 · Beispiel: fcx = x², 1 = [0₁1], Tu + + (n=1)² ] ci+b 2n+1 A Trapez a = fcx.). .b= f(x₂) h= Streifenbreite. (1-¹)²] 2 'h [0² +0125²0125² +0.5² +0,5² +0,75² 01752 +1²] 2 2. + Trapezmethode 1/2 aushlammern | Summenformel. ausulammern | Summen formel genauer als Streifen methode, aber aufwendiger zu rechnen .f(x)=x² On = [ ( \ ) ² + ( 2 \ ) ² + ... + (n \ ) ² ] · On = 쥬 ₁ X ² ² 2₁ X ² On On = = = = On² X ² 1 1² +2²+... n²)] (n(n+1) (2n+1)) r. £. (n+1)· (2n+1). · n+¹.2n+l A. (X)™ lim. On fcx) = 2x² +1 F(x)=√x³+x 3X <A> Hauptsatz über Flächeninhaltsfunctioner. ·I· Ao¹ (x) = f(x) I. Ao (O) = 0 ·F'(x) = f(x). 2 F(x) = 3x³ + x +2 F(x)= x³ + x.-2 Flächeninhaltsfunktion lim (X². n+¹ ²n+¹) = 3x² ngo √(2x² + 1) dx = ³x³ + x + C => Menge aller Stammfunktionen Menge aller Stammfunuationen: F(x) = ²/³x³ + x +C₁ CER additive Uonstante x^ ·Potenzregel: √x" dx = x² + c с n+1 A(x) = f(x) leichtere Bestimmung Stammfunktion Unbestimmtes Integral Integrationskonstante. Integrationsregeln (ne Z₁n #1) Summenregel: √(fcx) + g(x) dx = √fcxdx + √gcx³dx Fautorregel: Sa fcx) dx = a: Sfoxidx = a F(x) = F(x) + G (X). (a EIR) Lineare Hettenregel: Sf(ax+b)dx = a₁∙ √fcax+b)dx=d.F(ax+b) (ab ER₁ a‡0) . Exponentialregel: Se* dx=e* +c Sinusregel+ Uosinusregel: Ssin (x) dx = −cos (x) + C Scos.cx) dx = sin (X) + C Bestimmen von der Integrations constante.... f(x) = x. , P. (1 11.5) Fc (x)=√x dx = = x² +C Fc. (1) .= 1₁5. 1₁5 = 1/2 + C. C=1 F₁(x) = {x² +1 Anfangswertproblem. 1-0.5

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