Integralrechnung

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Einleitung: In diesem Text geht es um eine Klausur zur Integralrechnung. Es werden verschiedene Aufgaben gestellt, bei denen Stammfunktionen, Integrale, Flächeninhalte und Tangenten bestimmt werden sollen. Titel: Klausur zur Integralrechnung Aufgabe 1: a) Gegeben ist die Funktion f(x) = x³ + 6x² + x. Bestimmen Sie eine Stammfunktion F(x) von f(x). Antwort: F(x) = 1/4x⁴ + 2x³ + 1/2x² b) Gegeben ist die Funktion f(x) = 12/31. Bestimmen Sie das Integral von f(x) im Intervall von -1 bis 1. Antwort: Das Integral von f(x) im Intervall von -1 bis 1 ist 24/31. c) Gegeben ist die Funktion f(x) = x. Bestimmen Sie eine Stammfunktion F(x) von f(x). Antwort: F(x) = 1/2x² d) Gegeben ist die Funktion f(x) = -e^(-x) + 3x - 2. Bestimmen Sie eine Stammfunktion F(x) von f(x). Antwort: F(x) = e^(-x) + 3/2x² - 2x Aufgabe 2: Gegeben ist die Funktion f(x) = x² + 2x², x = 1/(1+x). a) Begründen Sie kurz, warum sämtliche Funktionswerte 0 sind. Antwort: Da x = 1/(1+x) gilt, kann man dies umformen zu x² + x - 1 = 0. Diese Gleichung hat die Lösungen x = (-1 ± √5)/2. Da x > 0 sein muss, bleibt nur x = (-1 + √5)/2 übrig. Setzt man dies in f(x) ein, erhält man f(x) = 0. Aufgabe 3: Gegeben ist die Funktion f(x) = x². a) Bestimmen Sie die Steigung der Tangente an f(x) im Punkt x = -3. Antwort: Die Steigung der Tangente an f(x) im Punkt x = -3 ist -6. b) Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche unter f(x) im Intervall von -4 bis 4. Antwort: Der Flächeninhalt der Fläche unter f(x) im Intervall von -4 bis 4 ist 32. c) Gegeben ist die Funktion f(x) = x³ - 9x² + 23x - 15 und die Gerade g(x) = 5x - 15. Bestimmen Sie den Flächeninhalt der von den Graphen von f und g eingeschlossenen Fläche. Antwort: Der Flächeninhalt der von den Graphen von f und g eingeschlossenen Fläche beträgt 10,67 m². d) Gegeben ist die Funktion f(x) = 0,5x² und die Tangente an f im Punkt P(3, 4, 5), die die x-Achse schneidet. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von f, der Tangente und der x-Achse begrenzt wird. Antwort: Der Inhalt der Fläche, die vom Graphen von f, der Tangente und der x-Achse begrenzt wird, beträgt 5,65 m².

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