Kollineare Vektoren - Grundlagen

Stell dir vor, du willst checken, ob zwei Pfeile parallel zueinander sind - genau das machst du bei kollinearen Vektoren! Du untersuchst, ob ein Vektor das Vielfache des anderen ist.

Nehmen wir das Beispiel: $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} -8 \\ -16 \end{pmatrix}$. Du setzt die Gleichung $\vec{a} \cdot x = \vec{b}$ auf.

Dann rechnest du für jede Komponente:

• I: $1 \cdot x = -8 \rightarrow x = -8$
• II: $4 \cdot x = -16 \rightarrow x = -4$

Fazit: Die Vektoren sind nicht kollinear, weil sie keinen gemeinsamen Multiplikator haben $-8 ≠ -4$.

💡 Merktipp: Kollineare Vektoren haben immer den gleichen Multiplikator für alle Komponenten!

Kollineare Vektoren - Positives Beispiel

Hier siehst du, wie's funktioniert, wenn Vektoren tatsächlich kollinear sind! Mit $\vec{a} = \begin{pmatrix} 0,5\\0,25\\0,75 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} -4\\-2\\-6 \end{pmatrix}$ rechnest du wieder jede Komponente durch.

Die Rechnung ergibt:

• I: $0,5x = -4 \rightarrow x = -8$
• II: $0,25x = -2 \rightarrow x = -8$
• III: $0,75x = -6 \rightarrow x = -8$

Bingo! Alle drei Rechnungen ergeben denselben Wert x = -8. Das bedeutet: $\vec{b} = -8 \cdot \vec{a}$, die Vektoren sind also kollinear.

🎯 Prüfungstipp: Wenn alle Multiplikatoren identisch sind, dann sind die Vektoren kollinear - so einfach ist das!