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Grundlagen der Kreisgeometrie

Kugel

Mathe1.470Aktualisiert 20. Okt. 20263 Seiten

Grundlagen zu Kreis, Zylinder und Kugel: Formeln und Beispiele

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Luise @luiseptz
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In der Geometrie begegnest du täglich runden Formen - von Pizzastücken über Getränkedosen bis hin zu Fußbällen. Diese Formen haben alle mathematische Eigenschaften, die du berechnen kannst.
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Kreis - Die Grundlage aller runden Formen

Ein Kreis ist eine perfekt runde Figur, bei der alle Punkte vom Mittelpunkt M den gleichen Abstand haben. Dieser Abstand heißt Radius rr, und der doppelte Radius ist der Durchmesser dd.

Die wichtigste Zahl beim Kreis ist π (Pi) ≈ 3,14. Mit ihr berechnest du den Umfang: u = π · d oder u = 2π · r. Den Flächeninhalt findest du mit A = π · r².

Bei Kreisausschnitten (wie Tortenstücken) verwendest du den Mittelpunktswinkel α. Die Formel für die Fläche ist dann: A = α/360°α/360° · π · r². Das Pizza-Beispiel zeigt's: Ein 70°-Stück einer 30cm-Pizza kostet 1,75€ von den ursprünglich 9€.

Merktipp: π ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser - bei jedem Kreis gleich!

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Kreiszylinder und Kreiskegel - 3D wird's spannend

Ein Kreiszylinder (wie eine Dose) besteht aus zwei parallelen Kreisen und einer Mantelfläche. Das Volumen berechnest du mit V = π · r² · h, die Oberfläche mit A = 2π · r² + 2π · r · h.

Der Kreiskegel entsteht, wenn du alle Kreispunkte mit einem Punkt außerhalb verbindest. Hier ist das Volumen nur ein Drittel des Zylinders: V = 1/31/3 · π · r² · h. Bei der Oberfläche brauchst du die Mantellinie s, die du mit dem Pythagoras berechnest: s = √h2+r2h² + r².

Im Beispiel mit r = 4cm und h = 5cm wird s ≈ 6,4cm. Damit ergibt sich V ≈ 83,78cm³ und A ≈ 130,73cm².

Praxis-Tipp: Zylinder und Kegel unterscheiden sich im Volumen um den Faktor 3!

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Kugel - Die perfekte 3D-Form

Eine Kugel ist die Menge aller Punkte im Raum, die vom Mittelpunkt den gleichen Abstand r haben. Sie ist die "rundeste" aller Formen und kommt in der Natur häufig vor.

Die Formeln für die Kugel sind etwas komplizierter: Das Volumen ist V = 4/34/3 · π · r³ und die Oberfläche A = 4π · r². Diese Formeln musst du dir gut einprägen, da sie oft in Prüfungen vorkommen.

Am Fußball-Beispiel mit r = 10,5cm siehst du: Die Oberfläche beträgt 1385cm² und das Volumen 4849cm³. Diese Werte helfen dir zu verstehen, wie viel Luft in einen Ball passt oder wie viel Material für die Hülle nötig ist.

Wichtig: Bei der Kugel hängen alle Werte nur vom Radius ab - kein anderes Maß ist nötig!

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