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Mathematik

Grundlagen der Kreisgeometrie

Kugel

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5. Feb. 2026

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Die Kugelgleichung verständlich erklärt

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maria

@maria_r

Kugeln sind dreidimensionale geometrische Objekte, die ihr in der analytischen... Mehr anzeigen

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2 Bestimmung von Mittelpunkt und Radius einer Kugel $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 4x_1 - 6x_2 + 8x_3 - 7 = 0$ $x_1^2 + 4x_1 + x_2^2 - 6x_2 + x_3^

Mittelpunkt und Radius einer Kugel bestimmen

Manchmal bekommt ihr eine Kugelgleichung in ausgeschriebener Form und müsst daraus Mittelpunkt und Radius herausfinden. Das macht ihr durch quadratisches Ergänzen - genau wie bei Parabeln, nur in drei Dimensionen.

Der Trick ist, dass ihr bei jeder Variable die binomische Formel rückwärts anwendet. Aus x12+4x1x_1^2 + 4x_1 wird dann (x1+2)2−4(x_1 + 2)^2 - 4, weil ihr die 4 als konstanten Term addieren müsst.

Wenn ihr die Lage von Punkten zur Kugel überprüfen wollt, berechnet ihr einfach den Abstand vom Punkt zum Mittelpunkt. Ist dieser Abstand gleich dem Radius, liegt der Punkt auf der Kugel. Ist er kleiner, liegt er innerhalb - ist er größer, außerhalb.

Merktipp: Bei der quadratischen Ergänzung nehmt ihr die Hälfte des linearen Koeffizienten, quadriert sie und addiert sie auf beiden Seiten der Gleichung.

2 Bestimmung von Mittelpunkt und Radius einer Kugel $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 4x_1 - 6x_2 + 8x_3 - 7 = 0$ $x_1^2 + 4x_1 + x_2^2 - 6x_2 + x_3^

Kugelgleichungen aufstellen

Die Kugelgleichung funktioniert wie die Kreisgleichung, nur mit einer zusätzlichen Dimension. Für eine Kugel mit Mittelpunkt M(m1,m2,m3)(m_1, m_2, m_3) und Radius rr lautet sie: (x1−m1)2+(x2−m2)2+(x3−m3)2=r2(x_1 - m_1)^2 + (x_2 - m_2)^2 + (x_3 - m_3)^2 = r^2.

Liegt der Mittelpunkt im Ursprung, vereinfacht sich das zu x12+x22+x32=r2x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = r^2. Das ist die einfachste Form einer Kugelgleichung.

Ihr könnt die Gleichung auch als Vektorgleichung schreiben: (x⃗−m⃗)2=r2(\vec{x} - \vec{m})^2 = r^2. Das ist oft praktischer, wenn ihr mit Vektoren rechnet.

Klausurtipp: Kontrolliert eure Kugelgleichung, indem ihr den Mittelpunkt einsetzt - ihr müsst r2r^2 erhalten!

2 Bestimmung von Mittelpunkt und Radius einer Kugel $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 4x_1 - 6x_2 + 8x_3 - 7 = 0$ $x_1^2 + 4x_1 + x_2^2 - 6x_2 + x_3^

Kugel-Ebene Berührung und Schnittkreise

Eine Kugel berührt eine Ebene, wenn der Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und Ebene genau dem Radius entspricht. Diesen Abstand berechnet ihr mit der Hesse'schen Normalform.

Die Formel dafür lautet: d=∣ax1+bx2+cx3−d∣a2+b2+c2d = \frac{|ax_1 + bx_2 + cx_3 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}. Setzt einfach die Koordinaten des Mittelpunkts ein und ihr habt den Abstand.

Falls die Ebene die Kugel schneidet (also $d < r$), entsteht ein Schnittkreis. Dessen Radius berechnet ihr mit r′=r2−d2r' = \sqrt{r^2 - d^2} - das ist der Pythagoras in 3D.

Praxistipp: Zeichnet euch immer eine kleine Skizze! So seht ihr sofort, ob eure Rechnung plausibel ist.

2 Bestimmung von Mittelpunkt und Radius einer Kugel $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 4x_1 - 6x_2 + 8x_3 - 7 = 0$ $x_1^2 + 4x_1 + x_2^2 - 6x_2 + x_3^

Kugeln mit Geraden und Ebenen

Eine Gerade kann eine Kugel auf drei verschiedene Arten treffen: gar nicht (Passante), einmal berühren (Tangente) oder zweimal schneiden (Sekante). Das findet ihr heraus, indem ihr die Geradengleichung in die Kugelgleichung einsetzt.

Dabei entsteht eine quadratische Gleichung für den Parameter tt. Hat sie keine Lösung, ist die Gerade eine Passante. Eine Lösung bedeutet Tangente, zwei Lösungen bedeuten Sekante mit zwei Schnittpunkten.

Bei Kugel-Ebene-Problemen vergleicht ihr den Abstand dd zwischen Kugelmittelpunkt und Ebene mit dem Radius. Ist d>rd > r, gibt's keinen Schnittpunkt. Bei d=rd = r berührt die Ebene die Kugel, und bei d<rd < r schneidet sie einen Kreis aus der Kugel.

Rechencheck: Setzt eure gefundenen Schnittpunkte immer in beide ursprünglichen Gleichungen ein - sie müssen beide erfüllt sein!



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Entdecken Sie die Grundlagen der Kugelgeometrie, einschließlich der Kugelgleichung, der Berechnung von Schnittpunkten zwischen Kugeln und der Position von Punkten relativ zur Kugel. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Erklärung der Konzepte und Methoden, die für das Verständnis der Geometrie von Kugeln erforderlich sind. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen vertiefen möchten.

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Entdecken Sie die wichtigsten Formeln und Berechnungen für Kreise, Zylinder und Kugeln. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen, Beispiele und Formeln für Umfang, Fläche und Volumen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Geometrie vertiefen möchten.

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

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Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

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Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

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Rohan U

Android-Nutzer

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Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

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Paul T

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Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Grundlagen der Kreisgeometrie

Kugel

 

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•

959

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5. Feb. 2026

•

4 Seiten

Die Kugelgleichung verständlich erklärt

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Kugeln sind dreidimensionale geometrische Objekte, die ihr in der analytischen Geometrie mathematisch beschreiben könnt. Ihr lernt, wie ihr Kugelgleichungen aufstellt, Mittelpunkte und Radien bestimmt und die Lage von Punkten, Geraden oder Ebenen zur Kugel untersucht.

2 Bestimmung von Mittelpunkt und Radius einer Kugel $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 4x_1 - 6x_2 + 8x_3 - 7 = 0$ $x_1^2 + 4x_1 + x_2^2 - 6x_2 + x_3^

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Mittelpunkt und Radius einer Kugel bestimmen

Manchmal bekommt ihr eine Kugelgleichung in ausgeschriebener Form und müsst daraus Mittelpunkt und Radius herausfinden. Das macht ihr durch quadratisches Ergänzen - genau wie bei Parabeln, nur in drei Dimensionen.

Der Trick ist, dass ihr bei jeder Variable die binomische Formel rückwärts anwendet. Aus x12+4x1x_1^2 + 4x_1 wird dann (x1+2)2−4(x_1 + 2)^2 - 4, weil ihr die 4 als konstanten Term addieren müsst.

Wenn ihr die Lage von Punkten zur Kugel überprüfen wollt, berechnet ihr einfach den Abstand vom Punkt zum Mittelpunkt. Ist dieser Abstand gleich dem Radius, liegt der Punkt auf der Kugel. Ist er kleiner, liegt er innerhalb - ist er größer, außerhalb.

Merktipp: Bei der quadratischen Ergänzung nehmt ihr die Hälfte des linearen Koeffizienten, quadriert sie und addiert sie auf beiden Seiten der Gleichung.

2 Bestimmung von Mittelpunkt und Radius einer Kugel $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 4x_1 - 6x_2 + 8x_3 - 7 = 0$ $x_1^2 + 4x_1 + x_2^2 - 6x_2 + x_3^

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Kugelgleichungen aufstellen

Die Kugelgleichung funktioniert wie die Kreisgleichung, nur mit einer zusätzlichen Dimension. Für eine Kugel mit Mittelpunkt M(m1,m2,m3)(m_1, m_2, m_3) und Radius rr lautet sie: (x1−m1)2+(x2−m2)2+(x3−m3)2=r2(x_1 - m_1)^2 + (x_2 - m_2)^2 + (x_3 - m_3)^2 = r^2.

Liegt der Mittelpunkt im Ursprung, vereinfacht sich das zu x12+x22+x32=r2x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = r^2. Das ist die einfachste Form einer Kugelgleichung.

Ihr könnt die Gleichung auch als Vektorgleichung schreiben: (x⃗−m⃗)2=r2(\vec{x} - \vec{m})^2 = r^2. Das ist oft praktischer, wenn ihr mit Vektoren rechnet.

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2 Bestimmung von Mittelpunkt und Radius einer Kugel $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 4x_1 - 6x_2 + 8x_3 - 7 = 0$ $x_1^2 + 4x_1 + x_2^2 - 6x_2 + x_3^

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Kugel-Ebene Berührung und Schnittkreise

Eine Kugel berührt eine Ebene, wenn der Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und Ebene genau dem Radius entspricht. Diesen Abstand berechnet ihr mit der Hesse'schen Normalform.

Die Formel dafür lautet: d=∣ax1+bx2+cx3−d∣a2+b2+c2d = \frac{|ax_1 + bx_2 + cx_3 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}. Setzt einfach die Koordinaten des Mittelpunkts ein und ihr habt den Abstand.

Falls die Ebene die Kugel schneidet (also $d < r$), entsteht ein Schnittkreis. Dessen Radius berechnet ihr mit r′=r2−d2r' = \sqrt{r^2 - d^2} - das ist der Pythagoras in 3D.

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Kugeln mit Geraden und Ebenen

Eine Gerade kann eine Kugel auf drei verschiedene Arten treffen: gar nicht (Passante), einmal berühren (Tangente) oder zweimal schneiden (Sekante). Das findet ihr heraus, indem ihr die Geradengleichung in die Kugelgleichung einsetzt.

Dabei entsteht eine quadratische Gleichung für den Parameter tt. Hat sie keine Lösung, ist die Gerade eine Passante. Eine Lösung bedeutet Tangente, zwei Lösungen bedeuten Sekante mit zwei Schnittpunkten.

Bei Kugel-Ebene-Problemen vergleicht ihr den Abstand dd zwischen Kugelmittelpunkt und Ebene mit dem Radius. Ist d>rd > r, gibt's keinen Schnittpunkt. Bei d=rd = r berührt die Ebene die Kugel, und bei d<rd < r schneidet sie einen Kreis aus der Kugel.

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Bruchrechnung verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der Bruchrechnung: Erweitern, Kürzen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Brüchen. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und Erklärungen zu echten, unechten und gleichnamigen Brüchen sowie zu Kehrwerten. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in der Bruchrechnung vertiefen möchten.

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Beliebtester Inhalt

Der zerbrochene Krug: Analyse

Diese umfassende Analyse von 'Der zerbrochene Krug' von Heinrich von Kleist bietet eine detaillierte Kapitelzusammenfassung, Charakterisierungen, historische Kontexte, sowie den Aufbau und die sprachlichen Merkmale des Dramas. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder tiefere Einblicke in Kleists Werk gewinnen möchten.

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Der zerbrochene Krug von Heinrich von Kleist

Hier steht so ziemlich alles drinnen von Zusammenfassungen der einzelnen Auftritte bis hin zu den einzelnen Perosn und noch einiges mehr

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Der zerbrochene Krug

Szenenzusammenfassunfen, Figurenkonstellationen, Aufbau des Stücks, Sprache und Stilbesonderheiten, Aussageabsicht, Thematik, Interpretation

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Abilernzettel Heimsuchung 2025

Figurenkonstellation, Kapitel Zusammenfassung, Charaktere, Motive, Deutungsansätze,

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Inhaltsverzeichnis Heimsuchung Jenny Erpenbeck

Zusammenfassung der Kapitel aus Heimsuchung Q1

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Zusammenfassung Heimsuchung

ein Zusammenfassung vom Buch Heimsuchung hinsichtlich auf eine literarische Erörterung

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Szenenanalyse Der Zerbrochene Krug

Szenenanalyse behandelt einen Ausschnitt aus dem 7. Auftritt (S.29-31 V.498-536) aus dem Lustspiel „Der Zerbrochene Krug“ von Heinrich von Kleist.

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Literarische Erörterung: Der zerbrochene Krug

Literarische Erörterung der Abilektüre mit Auflistung wichtiger Textstellen

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Der zerbrochene Krug Lernzettel & Zusammenfassung

Der zerbrochene Krug, Die wichtigsten Informationen zusammengefasst, Lernzettel

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4.6/5

App Store

4.7/5

Google Play

Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer

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Stefan S

iOS-Nutzer

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Samantha Klich

Android-Nutzerin

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Anna

iOS-Nutzerin

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Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer