Fächer

Für Unternehmen

SchoolGPT

Karriere

SchoolAI

Knowunity Pro

App öffnen

Fächer

Die Kugelgleichung verständlich erklärt

25

1

user profile picture

maria

2.12.2025

Mathe

Kugelgleichung

Mathematik

Grundlagen der Kreisgeometrie

Kugel

911

•

2. Dez. 2025

•

4 Seiten

Die Kugelgleichung verständlich erklärt

user profile picture

maria

@maria_r

Kugeln sind dreidimensionale geometrische Objekte, die ihr in der analytischen... Mehr anzeigen

Page 1
Page 1
Page 1
Page 1
1 / 4
2 Bestimmung von Mittelpunkt und Radius einer Kugel ©x₁² + x² + x² + 4x₂ - 6x₂ + 8%, -7 = 0 x² + 4x₁ + x²₂ -6%₂₁ + x² + 8x₂ = 7 %²³₁ + 4x +

Mittelpunkt und Radius einer Kugel bestimmen

Manchmal bekommt ihr eine Kugelgleichung in ausgeschriebener Form und müsst daraus Mittelpunkt und Radius herausfinden. Das macht ihr durch quadratisches Ergänzen - genau wie bei Parabeln, nur in drei Dimensionen.

Der Trick ist, dass ihr bei jeder Variable die binomische Formel rückwärts anwendet. Aus x12+4x1x_1^2 + 4x_1 wird dann (x1+2)2−4(x_1 + 2)^2 - 4, weil ihr die 4 als konstanten Term addieren müsst.

Wenn ihr die Lage von Punkten zur Kugel überprüfen wollt, berechnet ihr einfach den Abstand vom Punkt zum Mittelpunkt. Ist dieser Abstand gleich dem Radius, liegt der Punkt auf der Kugel. Ist er kleiner, liegt er innerhalb - ist er größer, außerhalb.

Merktipp: Bei der quadratischen Ergänzung nehmt ihr die Hälfte des linearen Koeffizienten, quadriert sie und addiert sie auf beiden Seiten der Gleichung.

2 Bestimmung von Mittelpunkt und Radius einer Kugel ©x₁² + x² + x² + 4x₂ - 6x₂ + 8%, -7 = 0 x² + 4x₁ + x²₂ -6%₂₁ + x² + 8x₂ = 7 %²³₁ + 4x +

Kugelgleichungen aufstellen

Die Kugelgleichung funktioniert wie die Kreisgleichung, nur mit einer zusätzlichen Dimension. Für eine Kugel mit Mittelpunkt M(m1,m2,m3)(m_1, m_2, m_3) und Radius rr lautet sie: (x1−m1)2+(x2−m2)2+(x3−m3)2=r2(x_1 - m_1)^2 + (x_2 - m_2)^2 + (x_3 - m_3)^2 = r^2.

Liegt der Mittelpunkt im Ursprung, vereinfacht sich das zu x12+x22+x32=r2x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = r^2. Das ist die einfachste Form einer Kugelgleichung.

Ihr könnt die Gleichung auch als Vektorgleichung schreiben: (x⃗−m⃗)2=r2(\vec{x} - \vec{m})^2 = r^2. Das ist oft praktischer, wenn ihr mit Vektoren rechnet.

Klausurtipp: Kontrolliert eure Kugelgleichung, indem ihr den Mittelpunkt einsetzt - ihr müsst r2r^2 erhalten!

2 Bestimmung von Mittelpunkt und Radius einer Kugel ©x₁² + x² + x² + 4x₂ - 6x₂ + 8%, -7 = 0 x² + 4x₁ + x²₂ -6%₂₁ + x² + 8x₂ = 7 %²³₁ + 4x +

Kugel-Ebene Berührung und Schnittkreise

Eine Kugel berührt eine Ebene, wenn der Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und Ebene genau dem Radius entspricht. Diesen Abstand berechnet ihr mit der Hesse'schen Normalform.

Die Formel dafür lautet: d=∣ax1+bx2+cx3−d∣a2+b2+c2d = \frac{|ax_1 + bx_2 + cx_3 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}. Setzt einfach die Koordinaten des Mittelpunkts ein und ihr habt den Abstand.

Falls die Ebene die Kugel schneidet (also $d < r$), entsteht ein Schnittkreis. Dessen Radius berechnet ihr mit r′=r2−d2r' = \sqrt{r^2 - d^2} - das ist der Pythagoras in 3D.

Praxistipp: Zeichnet euch immer eine kleine Skizze! So seht ihr sofort, ob eure Rechnung plausibel ist.

2 Bestimmung von Mittelpunkt und Radius einer Kugel ©x₁² + x² + x² + 4x₂ - 6x₂ + 8%, -7 = 0 x² + 4x₁ + x²₂ -6%₂₁ + x² + 8x₂ = 7 %²³₁ + 4x +

Kugeln mit Geraden und Ebenen

Eine Gerade kann eine Kugel auf drei verschiedene Arten treffen: gar nicht (Passante), einmal berühren (Tangente) oder zweimal schneiden (Sekante). Das findet ihr heraus, indem ihr die Geradengleichung in die Kugelgleichung einsetzt.

Dabei entsteht eine quadratische Gleichung für den Parameter tt. Hat sie keine Lösung, ist die Gerade eine Passante. Eine Lösung bedeutet Tangente, zwei Lösungen bedeuten Sekante mit zwei Schnittpunkten.

Bei Kugel-Ebene-Problemen vergleicht ihr den Abstand dd zwischen Kugelmittelpunkt und Ebene mit dem Radius. Ist d>rd > r, gibt's keinen Schnittpunkt. Bei d=rd = r berührt die Ebene die Kugel, und bei d<rd < r schneidet sie einen Kreis aus der Kugel.

Rechencheck: Setzt eure gefundenen Schnittpunkte immer in beide ursprünglichen Gleichungen ein - sie müssen beide erfüllt sein!



Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

Beliebteste Inhalte: Kugel

Geometrische Körper: Kreis, Zylinder, Kugel

Entdecken Sie die wichtigsten Formeln und Berechnungen für Kreise, Zylinder und Kugeln. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen, Beispiele und Formeln für Umfang, Fläche und Volumen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Geometrie vertiefen möchten.

MatheMathe
10

Kugelgeometrie und Schnittpunkte

Entdecken Sie die Grundlagen der Kugelgeometrie, einschließlich der Kugelgleichung, der Berechnung von Schnittpunkten zwischen Kugeln und der Position von Punkten relativ zur Kugel. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Erklärung der Konzepte und Methoden, die für das Verständnis der Geometrie von Kugeln erforderlich sind. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen vertiefen möchten.

MatheMathe
12

Kugelgeometrie: Schnittpunkte

Erforschen Sie die Konzepte der Kugelgeometrie, einschließlich der Berechnung von Schnittpunkten zwischen Kugeln und Ebenen, der Bestimmung von Tangentialebenen sowie der Analyse von Abständen zwischen Punkten und Kugeln. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über die relevanten Formeln und Methoden zur Lösung geometrischer Probleme in der Kugelgeometrie.

MatheMathe
12

Beliebteste Inhalte in Mathe

Quadratische Funktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen quadratischer Funktionen und Parabeln. Lernen Sie, wie man Funktionsgleichungen bestimmt, Nullstellen findet und die verschiedenen Formen (Scheitelpunkt-, allgemeine und faktorisierte Form) anwendet. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse vertiefen möchten.

MatheMathe
8

Kombinatorik und Wahrscheinlichkeiten

Entdecken Sie die Grundlagen der Stochastik, einschließlich Kombinatorik, Bernoulli-Experimente, bedingte Wahrscheinlichkeiten und die Vierfeldertafel. Erfahren Sie mehr über Histogramme, Erwartungswert und Standardabweichung sowie die Pfadregeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Ideal für Studierende der Statistik und Mathematik.

MatheMathe
11

Integrationsregeln und Anwendungen

Entdecken Sie die grundlegenden Rechenregeln für unbestimmte und bestimmte Integrale, einschließlich der Potenzregel, Summenregel und Substitutionsregel. Lernen Sie, wie man Stammfunktionen findet und die Fläche unter Graphen mit bestimmten Integralen berechnet. Ideal für Studierende der Mathematik und Ingenieurwissenschaften.

MatheMathe
11

Vektoren in Crash-Simulationen

Entdecken Sie die Anwendung von Vektoren in der Fahrzeugentwicklung, insbesondere bei Crash-Simulationen von Porsche. Dieser Lernzettel behandelt die Grundlagen von Vektoren, deren Addition, Subtraktion, Skalare Multiplikation und die Prüfung von Orthogonalität. Ideal für Mathematik- und Ingenieurstudierende, die sich auf das Abitur vorbereiten. Quellen: Abitur Skript Mathematik Stark Verlag.

MatheMathe
11

Mathematik Abitur Zusammenfassung

Umfassende Zusammenfassung für das Mathematik Abitur, die Analysis, analytische Geometrie und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrationsregeln, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die Untersuchung von Funktionen. Ideal für die Prüfungsvorbereitung.

MatheMathe
13

Mathe Abi: Analysis, Vektoren, Stochastik

Umfassender Lernzettel für das Abitur in Mathematik, der die Themen Analysis, Vektoren und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrale, Vektorgeometrie, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mehr. Ideal zur Vorbereitung auf Prüfungen.

MatheMathe
11

Lineare Funktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der linearen Funktionen: Erfahren Sie, wie man Punkte testet, Wertetabellen erstellt, Funktionen zeichnet und die Steigung sowie den y-Achsenabschnitt bestimmt. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Anleitung zur Umformung von Gleichungen in die Normalform und zur Bestimmung von Schnittpunkten. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten.

MatheMathe
9

Integralrechnung Grundlagen

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Einführung in die Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächeninhalten unter und zwischen Graphen. Er behandelt wichtige Konzepte wie das Integralzeichen, die Bestimmung von Ober- und Untersummen, sowie die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.

MatheMathe
11

Lineare Funktionen verstehen

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Übersicht über lineare Funktionen, einschließlich der allgemeinen Formel, der Bestimmung von Funktionsgleichungen, der Steigung und der Nullstellen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten. Enthält Beispiele und Schritt-für-Schritt-Anleitungen zur Berechnung von Schnittpunkten und zur Analyse von Graphen.

MatheMathe
11

Beliebteste Inhalte

Der zerbrochene Krug von Heinrich von Kleist

Hier steht so ziemlich alles drinnen von Zusammenfassungen der einzelnen Auftritte bis hin zu den einzelnen Perosn und noch einiges mehr

DeutschDeutsch
12

Der zerbrochene Krug: Analyse

Diese umfassende Analyse von 'Der zerbrochene Krug' von Heinrich von Kleist bietet eine detaillierte Kapitelzusammenfassung, Charakterisierungen, historische Kontexte, sowie den Aufbau und die sprachlichen Merkmale des Dramas. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder tiefere Einblicke in Kleists Werk gewinnen möchten.

DeutschDeutsch
11

Der zerbrochene Krug

Szenenzusammenfassunfen, Figurenkonstellationen, Aufbau des Stücks, Sprache und Stilbesonderheiten, Aussageabsicht, Thematik, Interpretation

DeutschDeutsch
11

Neurobiologie: Synapsen & Aktionspotentiale

Entdecken Sie die Grundlagen der Neurobiologie mit Fokus auf den Aufbau und die Funktionen von Nervenzellen, Ruhe- und Aktionspotentialen sowie der Rolle von Synapsen. Diese Zusammenfassung behandelt auch EPSP und IPSP, die Erregungsübertragung und die Bedeutung von Neurotoxinen. Ideal für Studierende der Biologie und Neurobiologie.

BiologieBiologie
12

Szenenanalyse Der Zerbrochene Krug

Szenenanalyse behandelt einen Ausschnitt aus dem 7. Auftritt (S.29-31 V.498-536) aus dem Lustspiel „Der Zerbrochene Krug“ von Heinrich von Kleist.

DeutschDeutsch
12

Abilernzettel Heimsuchung 2025

Figurenkonstellation, Kapitel Zusammenfassung, Charaktere, Motive, Deutungsansätze,

DeutschDeutsch
11

der zerbrochene Krug übersicht

Mindmap zum zerbrochenem Krug

DeutschDeutsch
11

Der zerbrochene Krug

Szenen Zusammenfassung

DeutschDeutsch
12

Zusammenfassung Schreiben

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Anleitung zum Verfassen von Zusammenfassungen in Englisch. Er behandelt wichtige Aspekte wie die Struktur einer Zusammenfassung, die Verwendung von Schlüsselvokabular und formale Sprache. Ideal für Schüler, die ihre Fähigkeiten in der Textzusammenfassung verbessern möchten.

EnglischEnglisch
11

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Mathematik

Grundlagen der Kreisgeometrie

Kugel

 

Mathe

•

911

•

2. Dez. 2025

•

4 Seiten

Die Kugelgleichung verständlich erklärt

user profile picture

maria

@maria_r

Kugeln sind dreidimensionale geometrische Objekte, die ihr in der analytischen Geometrie mathematisch beschreiben könnt. Ihr lernt, wie ihr Kugelgleichungen aufstellt, Mittelpunkte und Radien bestimmt und die Lage von Punkten, Geraden oder Ebenen zur Kugel untersucht.

2 Bestimmung von Mittelpunkt und Radius einer Kugel ©x₁² + x² + x² + 4x₂ - 6x₂ + 8%, -7 = 0 x² + 4x₁ + x²₂ -6%₂₁ + x² + 8x₂ = 7 %²³₁ + 4x +

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Mittelpunkt und Radius einer Kugel bestimmen

Manchmal bekommt ihr eine Kugelgleichung in ausgeschriebener Form und müsst daraus Mittelpunkt und Radius herausfinden. Das macht ihr durch quadratisches Ergänzen - genau wie bei Parabeln, nur in drei Dimensionen.

Der Trick ist, dass ihr bei jeder Variable die binomische Formel rückwärts anwendet. Aus x12+4x1x_1^2 + 4x_1 wird dann (x1+2)2−4(x_1 + 2)^2 - 4, weil ihr die 4 als konstanten Term addieren müsst.

Wenn ihr die Lage von Punkten zur Kugel überprüfen wollt, berechnet ihr einfach den Abstand vom Punkt zum Mittelpunkt. Ist dieser Abstand gleich dem Radius, liegt der Punkt auf der Kugel. Ist er kleiner, liegt er innerhalb - ist er größer, außerhalb.

Merktipp: Bei der quadratischen Ergänzung nehmt ihr die Hälfte des linearen Koeffizienten, quadriert sie und addiert sie auf beiden Seiten der Gleichung.

2 Bestimmung von Mittelpunkt und Radius einer Kugel ©x₁² + x² + x² + 4x₂ - 6x₂ + 8%, -7 = 0 x² + 4x₁ + x²₂ -6%₂₁ + x² + 8x₂ = 7 %²³₁ + 4x +

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Kugelgleichungen aufstellen

Die Kugelgleichung funktioniert wie die Kreisgleichung, nur mit einer zusätzlichen Dimension. Für eine Kugel mit Mittelpunkt M(m1,m2,m3)(m_1, m_2, m_3) und Radius rr lautet sie: (x1−m1)2+(x2−m2)2+(x3−m3)2=r2(x_1 - m_1)^2 + (x_2 - m_2)^2 + (x_3 - m_3)^2 = r^2.

Liegt der Mittelpunkt im Ursprung, vereinfacht sich das zu x12+x22+x32=r2x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = r^2. Das ist die einfachste Form einer Kugelgleichung.

Ihr könnt die Gleichung auch als Vektorgleichung schreiben: (x⃗−m⃗)2=r2(\vec{x} - \vec{m})^2 = r^2. Das ist oft praktischer, wenn ihr mit Vektoren rechnet.

Klausurtipp: Kontrolliert eure Kugelgleichung, indem ihr den Mittelpunkt einsetzt - ihr müsst r2r^2 erhalten!

2 Bestimmung von Mittelpunkt und Radius einer Kugel ©x₁² + x² + x² + 4x₂ - 6x₂ + 8%, -7 = 0 x² + 4x₁ + x²₂ -6%₂₁ + x² + 8x₂ = 7 %²³₁ + 4x +

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Kugel-Ebene Berührung und Schnittkreise

Eine Kugel berührt eine Ebene, wenn der Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und Ebene genau dem Radius entspricht. Diesen Abstand berechnet ihr mit der Hesse'schen Normalform.

Die Formel dafür lautet: d=∣ax1+bx2+cx3−d∣a2+b2+c2d = \frac{|ax_1 + bx_2 + cx_3 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}. Setzt einfach die Koordinaten des Mittelpunkts ein und ihr habt den Abstand.

Falls die Ebene die Kugel schneidet (also $d < r$), entsteht ein Schnittkreis. Dessen Radius berechnet ihr mit r′=r2−d2r' = \sqrt{r^2 - d^2} - das ist der Pythagoras in 3D.

Praxistipp: Zeichnet euch immer eine kleine Skizze! So seht ihr sofort, ob eure Rechnung plausibel ist.

2 Bestimmung von Mittelpunkt und Radius einer Kugel ©x₁² + x² + x² + 4x₂ - 6x₂ + 8%, -7 = 0 x² + 4x₁ + x²₂ -6%₂₁ + x² + 8x₂ = 7 %²³₁ + 4x +

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Kugeln mit Geraden und Ebenen

Eine Gerade kann eine Kugel auf drei verschiedene Arten treffen: gar nicht (Passante), einmal berühren (Tangente) oder zweimal schneiden (Sekante). Das findet ihr heraus, indem ihr die Geradengleichung in die Kugelgleichung einsetzt.

Dabei entsteht eine quadratische Gleichung für den Parameter tt. Hat sie keine Lösung, ist die Gerade eine Passante. Eine Lösung bedeutet Tangente, zwei Lösungen bedeuten Sekante mit zwei Schnittpunkten.

Bei Kugel-Ebene-Problemen vergleicht ihr den Abstand dd zwischen Kugelmittelpunkt und Ebene mit dem Radius. Ist d>rd > r, gibt's keinen Schnittpunkt. Bei d=rd = r berührt die Ebene die Kugel, und bei d<rd < r schneidet sie einen Kreis aus der Kugel.

Rechencheck: Setzt eure gefundenen Schnittpunkte immer in beide ursprünglichen Gleichungen ein - sie müssen beide erfüllt sein!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

25

Smarte Tools NEU

Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen

Probeklausur
Quiz
Flashcards
Aufsatz

Ähnliche Inhalte

Analytische Geometrie: Vektoren & Abstände

Entdecken Sie die Grundlagen der analytischen Geometrie mit Fokus auf Vektoren, Abstandsberechnungen und Schnittpunkte in 3D-Koordinatensystemen. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie die Berechnung von Höhen, Volumen von Pyramiden und die Eigenschaften von gleichschenkligen Dreiecken. Ideal für Schüler der 12. Klasse zur Vorbereitung auf Klausuren.

MatheMathe
13

Vektoren und Geometrie

Diese Klausur behandelt die Grundlagen der Vektorgeometrie, einschließlich der Berechnung von Abständen, der Orthogonalität von Vektoren und der Eigenschaften von Quadern und Würfeln. Ideal für Schüler der Q1 GK, die sich auf Prüfungen vorbereiten. Enthält sowohl einen taschenrechnerfreien Teil als auch einen Teil mit Taschenrechner. Punkte: 15.

MatheMathe
11

Strahlensätze und Flächeninhalte

Entdecken Sie die Strahlensätze und deren Anwendung auf geometrische Formen. Diese Zusammenfassung behandelt die grundlegenden Konzepte der Geometrie, die Beziehung zwischen parallelen Linien und die Berechnung von Flächeninhalten. Ideal für das 3. Studienvierteljahr im Mathematik-Fernabitur. Themen: Strahlensätze, Maßeinheiten, Flächenberechnung.

MatheMathe
11

Analytische Geometrie: Lagebeziehungen

Entdecken Sie die Grundlagen der analytischen Geometrie mit einem Fokus auf Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie Kollinearität, Schnittpunkte, Winkelberechnung und das Skalarprodukt. Ideal für die Vorbereitung auf Klausuren und das Verständnis von Vektoren und deren Anwendungen in der Geometrie.

MatheMathe
13

Vektoren und Dreiecke

Entdecken Sie die Konzepte der Vektoren und Dreiecke anhand von Beispielen aus Lambacher Schweizer S. 146-150. Diese Zusammenfassung behandelt die Berechnung von Vektoren, die Bestimmung von Kollinearität und die Eigenschaften von gleichschenkligen Dreiecken. Ideal für Schüler, die sich auf Geometrie und Vektorrechnung vorbereiten.

MatheMathe
11

Lineare Algebra: Grundlagen und Anwendungen

Entdecken Sie die wesentlichen Konzepte der linearen Algebra, einschließlich Vektoren, linearen Gleichungssystemen, Abstandsberechnungen und der Geometrie im dreidimensionalen Raum. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zu Themen wie orthogonalen Linien, Eliminationsmethoden und der Lagebeziehung von Geraden und Ebenen. Ideal für Schüler, die sich auf das ABI vorbereiten.

MatheMathe
13

Beliebteste Inhalte: Kugel

Geometrische Körper: Kreis, Zylinder, Kugel

Entdecken Sie die wichtigsten Formeln und Berechnungen für Kreise, Zylinder und Kugeln. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen, Beispiele und Formeln für Umfang, Fläche und Volumen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Geometrie vertiefen möchten.

MatheMathe
10

Kugelgeometrie und Schnittpunkte

Entdecken Sie die Grundlagen der Kugelgeometrie, einschließlich der Kugelgleichung, der Berechnung von Schnittpunkten zwischen Kugeln und der Position von Punkten relativ zur Kugel. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Erklärung der Konzepte und Methoden, die für das Verständnis der Geometrie von Kugeln erforderlich sind. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen vertiefen möchten.

MatheMathe
12

Kugelgeometrie: Schnittpunkte

Erforschen Sie die Konzepte der Kugelgeometrie, einschließlich der Berechnung von Schnittpunkten zwischen Kugeln und Ebenen, der Bestimmung von Tangentialebenen sowie der Analyse von Abständen zwischen Punkten und Kugeln. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über die relevanten Formeln und Methoden zur Lösung geometrischer Probleme in der Kugelgeometrie.

MatheMathe
12

Beliebteste Inhalte in Mathe

Quadratische Funktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen quadratischer Funktionen und Parabeln. Lernen Sie, wie man Funktionsgleichungen bestimmt, Nullstellen findet und die verschiedenen Formen (Scheitelpunkt-, allgemeine und faktorisierte Form) anwendet. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse vertiefen möchten.

MatheMathe
8

Kombinatorik und Wahrscheinlichkeiten

Entdecken Sie die Grundlagen der Stochastik, einschließlich Kombinatorik, Bernoulli-Experimente, bedingte Wahrscheinlichkeiten und die Vierfeldertafel. Erfahren Sie mehr über Histogramme, Erwartungswert und Standardabweichung sowie die Pfadregeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Ideal für Studierende der Statistik und Mathematik.

MatheMathe
11

Integrationsregeln und Anwendungen

Entdecken Sie die grundlegenden Rechenregeln für unbestimmte und bestimmte Integrale, einschließlich der Potenzregel, Summenregel und Substitutionsregel. Lernen Sie, wie man Stammfunktionen findet und die Fläche unter Graphen mit bestimmten Integralen berechnet. Ideal für Studierende der Mathematik und Ingenieurwissenschaften.

MatheMathe
11

Vektoren in Crash-Simulationen

Entdecken Sie die Anwendung von Vektoren in der Fahrzeugentwicklung, insbesondere bei Crash-Simulationen von Porsche. Dieser Lernzettel behandelt die Grundlagen von Vektoren, deren Addition, Subtraktion, Skalare Multiplikation und die Prüfung von Orthogonalität. Ideal für Mathematik- und Ingenieurstudierende, die sich auf das Abitur vorbereiten. Quellen: Abitur Skript Mathematik Stark Verlag.

MatheMathe
11

Mathematik Abitur Zusammenfassung

Umfassende Zusammenfassung für das Mathematik Abitur, die Analysis, analytische Geometrie und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrationsregeln, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die Untersuchung von Funktionen. Ideal für die Prüfungsvorbereitung.

MatheMathe
13

Mathe Abi: Analysis, Vektoren, Stochastik

Umfassender Lernzettel für das Abitur in Mathematik, der die Themen Analysis, Vektoren und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrale, Vektorgeometrie, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mehr. Ideal zur Vorbereitung auf Prüfungen.

MatheMathe
11

Lineare Funktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der linearen Funktionen: Erfahren Sie, wie man Punkte testet, Wertetabellen erstellt, Funktionen zeichnet und die Steigung sowie den y-Achsenabschnitt bestimmt. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Anleitung zur Umformung von Gleichungen in die Normalform und zur Bestimmung von Schnittpunkten. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten.

MatheMathe
9

Integralrechnung Grundlagen

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Einführung in die Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächeninhalten unter und zwischen Graphen. Er behandelt wichtige Konzepte wie das Integralzeichen, die Bestimmung von Ober- und Untersummen, sowie die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.

MatheMathe
11

Lineare Funktionen verstehen

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Übersicht über lineare Funktionen, einschließlich der allgemeinen Formel, der Bestimmung von Funktionsgleichungen, der Steigung und der Nullstellen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten. Enthält Beispiele und Schritt-für-Schritt-Anleitungen zur Berechnung von Schnittpunkten und zur Analyse von Graphen.

MatheMathe
11

Beliebteste Inhalte

Der zerbrochene Krug von Heinrich von Kleist

Hier steht so ziemlich alles drinnen von Zusammenfassungen der einzelnen Auftritte bis hin zu den einzelnen Perosn und noch einiges mehr

DeutschDeutsch
12

Der zerbrochene Krug: Analyse

Diese umfassende Analyse von 'Der zerbrochene Krug' von Heinrich von Kleist bietet eine detaillierte Kapitelzusammenfassung, Charakterisierungen, historische Kontexte, sowie den Aufbau und die sprachlichen Merkmale des Dramas. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder tiefere Einblicke in Kleists Werk gewinnen möchten.

DeutschDeutsch
11

Der zerbrochene Krug

Szenenzusammenfassunfen, Figurenkonstellationen, Aufbau des Stücks, Sprache und Stilbesonderheiten, Aussageabsicht, Thematik, Interpretation

DeutschDeutsch
11

Neurobiologie: Synapsen & Aktionspotentiale

Entdecken Sie die Grundlagen der Neurobiologie mit Fokus auf den Aufbau und die Funktionen von Nervenzellen, Ruhe- und Aktionspotentialen sowie der Rolle von Synapsen. Diese Zusammenfassung behandelt auch EPSP und IPSP, die Erregungsübertragung und die Bedeutung von Neurotoxinen. Ideal für Studierende der Biologie und Neurobiologie.

BiologieBiologie
12

Szenenanalyse Der Zerbrochene Krug

Szenenanalyse behandelt einen Ausschnitt aus dem 7. Auftritt (S.29-31 V.498-536) aus dem Lustspiel „Der Zerbrochene Krug“ von Heinrich von Kleist.

DeutschDeutsch
12

Abilernzettel Heimsuchung 2025

Figurenkonstellation, Kapitel Zusammenfassung, Charaktere, Motive, Deutungsansätze,

DeutschDeutsch
11

der zerbrochene Krug übersicht

Mindmap zum zerbrochenem Krug

DeutschDeutsch
11

Der zerbrochene Krug

Szenen Zusammenfassung

DeutschDeutsch
12

Zusammenfassung Schreiben

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Anleitung zum Verfassen von Zusammenfassungen in Englisch. Er behandelt wichtige Aspekte wie die Struktur einer Zusammenfassung, die Verwendung von Schlüsselvokabular und formale Sprache. Ideal für Schüler, die ihre Fähigkeiten in der Textzusammenfassung verbessern möchten.

EnglischEnglisch
11

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user