Hilfsmittelfreier Teil - Grundlagen

Scheitelpunktform ist dein bester Freund bei quadratischen Funktionen! Bei der Funktion f$x$ = -6x² - 12x + 18 musst du durch quadratische Ergänzung zur Form f$x$ = -6$x+1$² + 24 kommen.

Die Transformationen zeigen dir, wie aus der Normalparabel y = x² deine Funktion entsteht. Hier wird gespiegelt (wegen dem Minus), um Faktor 6 gestreckt, um 1 nach links und um 24 nach oben verschoben.

Definitions- und Wertebereiche sind meist einfach: Bei Parabeln ist D = ℝ (alle reellen Zahlen), aber der Wertebereich hängt vom Scheitelpunkt ab. Bei f$x$ = ½$x-1$² - 2 ist W = [-2;+∞), weil der tiefste Punkt bei y = -2 liegt.

Tipp: Achte bei der mathematischen Kurzschrift auf die genaue Notation - f(3) = 12 bedeutet "an der Stelle 3 hat f den Wert 12".

Lineare Funktionen und Schnittpunkte

Lineare Funktionen aufstellen geht mit verschiedenen Infos: Zwei Punkte, ein Punkt plus Steigung, oder Steigungswinkel. Die Steigung berechnest du mit m = $y₂-y₁$/$x₂-x₁$ oder m = tan(α).

Schnittwinkel zwischen zwei Geraden findest du über die Formel mit den Steigungen beider Funktionen. Der Winkel α ergibt sich aus α = |arctan(m₁) - arctan(m₂)|.

Orthogonale Geraden haben Steigungen, die sich zu -1 multiplizieren. Wenn g die Steigung -3/2 hat, dann hat ihre Orthogonale die Steigung 2/3.

Bei parallelen Geraden ist die Steigung identisch - nur der y-Achsenabschnitt unterscheidet sich.

Merksatz: Für rechtwinklige Dreiecke muss das Produkt zweier Steigungen gleich -1 sein!

Anwendungsaufgabe - Der Zirkus-Salto

Realitätsbezug macht Parabeln spannend! Der Zirkuskünstler springt entlang f$t$ = -½t² + 2t + 1, wobei t die Zeit und f$t$ die Höhe ist.

Die Flugzeit findest du, indem du f$t$ = 0 setzt. Mit der Mitternachtsformel erhältst du t ≈ 4,45 Sekunden. Die Trampolinhöhe ist einfach f(0) = 1 Meter.

Für die maximale Höhe brauchst du den Scheitelpunkt. Mit t = -b/(2a) = 2 sekunden und f(2) = 3 Meter findest du das Maximum.

Schnittpunkte mit anderen Funktionen (wie dem Scheinwerfer) berechnest du durch Gleichsetzen der Funktionen. Das führt zu einer quadratischen Gleichung mit zwei Lösungen.

Praxis-Tipp: Mach dir bei Textaufgaben immer eine Skizze - das hilft beim Verständnis enorm!