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Mathematik

Lineare Gleichungen und Graphen

Lineare Funktion

Mathe1.195Aktualisiert 25. Sept. 20263 Seiten

Einfach erklärt: Lineare Funktionen leicht gemacht

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Paula ✨👀@paula_wn
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Lineare Funktionen sind überall um uns herum - von der Handyrechnung bis zum Benzinverbrauch. Sie zeigen uns, wie sich zwei Größen gleichmäßig zueinander verhalten, und sind eine der wichtigsten Grundlagen der Mathematik.
Lineare Funktion – Seite 1

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Lineare Funktionen verstehen

Lineare Funktionen oder Funktionen 1. Grades erkennst du sofort an ihrer Form: fxx = m·x + b. Das ist wie ein Bauplan für jede Gerade! Dabei ist m die Steigung (wie steil die Gerade ist) und b der y-Achsenabschnitt (wo die Gerade die y-Achse schneidet).

Bei fxx = ¾x - 2 steigt die Gerade also um ¾ für jeden Schritt nach rechts und startet bei -2 auf der y-Achse. Super praktisch zum Ablesen!

Wenn du einen Punkt und die Steigung hast, setzt du einfach ein: Bei m = 2 und P(1|3) rechnest du 3 = 2·1 + b, also b = 1. Fertig ist fxx = 2x + 1!

Merktipp: Die Steigung m zeigt dir, wie viele Einheiten die Gerade nach oben (oder unten) geht, wenn du einen Schritt nach rechts machst.

Lineare Funktion – Seite 2

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Funktionsgleichungen aus zwei Punkten

Mit zwei Punkten wird's nur minimal komplizierter! Zuerst berechnest du die Steigung mit der Formel m = y2−y1y₂-y₁/x2−x1x₂-x₁. Bei P₁(3|1) und P₂(9|7) ergibt das m = 7−17-1/9−39-3 = 1.

Dann setzt du einen beliebigen Punkt in fxx = mx + b ein: 1 = 1·3 + b, also b = -2. Deine Gleichung lautet fxx = x - 2.

Schnittpunkte zweier Geraden findest du mit dem Gleichsetzungsverfahren. Bei fxx = 0,5x + 2 und gxx = x - 1 setzt du gleich: 0,5x + 2 = x - 1. Nach Umformen erhältst du x = 2, und damit y = 1.

Praxis-Tipp: Kontrolliere dein Ergebnis, indem du den x-Wert in beide ursprünglichen Gleichungen einsetzt - beide müssen den gleichen y-Wert ergeben!

Lineare Funktion – Seite 3

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Nullstellen und Achsenabschnitte finden

Der Schnittpunkt aus dem vorigen Beispiel ist S(2|1) - einfach die x- und y-Koordinate zusammenfassen!

Nullstellen sind die Schnittpunkte mit der x-Achse. Du setzt fxx = 0 und löst nach x auf. Bei fxx = 2x - 4 rechnest du: 0 = 2x - 4, also x = 2. Die Nullstelle liegt bei (2|0).

Den y-Achsenabschnitt findest du, indem du x = 0 einsetzt. Bei fxx = x + 1 ist f(0) = 1, der Schnittpunkt also S(0|1). Bei fxx = 0,5x - 1 erhältst du f(0) = -1, also S0∣−10|-1.

Eselsbrücke: Nullstellen → x-Achse → setze y = 0. Y-Achsenabschnitt → y-Achse → setze x = 0.

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