Lineare Gleichungssysteme & Gauß-Verfahren – einfach erklärt (12. Klasse GK)

Lineare Gleichungen & zwei Unbekannte

Lineare Gleichungen lösen

Ziel ist es, die Variable durch Äquivalenzumformung isoliert auf eine Seite zu bringen.

• Variable isolieren: Bring $x$ auf eine Seite, Zahlen auf die andere.
• Klammern auflösen: Vor dem Sortieren immer zuerst ausmultiplizieren.

Zwei Unbekannte

Gleichungssysteme mit zwei Variablen löst du durch geschicktes Umstellen und Ersetzen.

• Einsetzungsverfahren: Stelle eine Gleichung nach einer Variablen um und setze sie in die andere ein.

Beispiel: $2x - y = 3 - x \Rightarrow y = 3x - 3$ in II einsetzen.

💡 Tipp: Achte beim Auflösen von Klammern besonders auf das Minuszeichen vor der Klammer, da sich alle Vorzeichen darin umkehren.

Drei Unbekannte lösen

Das Einsetzungsverfahren

Auch Systeme mit drei Variablen lassen sich durch schrittweises Einsetzen auf eine einzige Unbekannte reduzieren.

• Variable wählen: Suche eine Gleichung, in der eine Variable möglichst ohne Vorfaktor steht.
• Schrittweise einsetzen: Drücke die erste Variable aus, setze sie in die anderen Gleichungen ein und wiederhole das für die zweite Variable.

Beispiel: Aus $x - y + 2z = 0$ folgt $x = y - 2z$. Diesen Term setzt du in die Gleichungen II und III ein.

💡 Tipp: Arbeite extrem ordentlich und schreibe die Gleichungen untereinander, um bei den vielen Schritten nicht den Überblick zu verlieren.

Das Gauß-Verfahren

Koeffizientenmatrix

Das Gauß-Verfahren vereinfacht das System, indem es nur mit den Zahlenwerten (Koeffizienten) arbeitet.

• Matrix-Schreibweise: Schreibe nur die Vorfaktoren der Variablen in eine Tabelle (Matrix).
• Ziel Dreiecksform: Erzeuge durch Zeilenoperationen Nullen unterhalb der Hauptdiagonale.

System lösen

Nach dem Erreichen der Dreiecksform rechnest du die Variablen von unten nach oben aus.

Beispiel: $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 11 & 8 \\ 0 & 0 & -106 & -106 \end{pmatrix} \Rightarrow -106z = -106 \Rightarrow z = 1$.

💡 Tipp: Versuche immer als ersten Schritt, oben links in der Matrix eine $1$ zu erzeugen, da das die weiteren Berechnungen stark vereinfacht.

Lösbarkeit von Systemen

Die drei Lösungsfälle

Ein lineares Gleichungssystem hat nicht immer genau ein eindeutiges Ergebnis.

• Eine Lösung: Die Matrix hat eine perfekte Dreiecksform ohne Nullzeilen.
• Unendlich viele: Eine komplette Zeile wird zu Null ($0 = 0$).
• Keine Lösung: Es entsteht ein Widerspruch wie $0 = 5$ in einer Zeile.

💡 Tipp: Wenn beim Rechnen eine Zeile wie $0 = 0$ entsteht, setze für eine Variable einfach einen freien Parameter (z.B. $t$) ein.