Lineare Gleichungssysteme leicht erklärt: Einsetzungs-, Gleichsetzungs- und Additionsverfahren

Gleichsetzungsverfahren

Dieses Verfahren nutzt du, wenn beide Gleichungen leicht nach derselben Variablen aufgelöst werden können.

So funktioniert es

• Gleichsetzen: Löse beide Gleichungen nach der gleichen Variablen auf und setze sie gleich (z. B. $I = II$).
• Lösen: Berechne die erste Variable und setze sie in eine Ausgangsgleichung ein, um die zweite zu erhalten.

Beispiel:

• $y = 43 - 2x$ und $y = 29 - x$ gleichsetzen: $43 - 2x = 29 - x$
• Nach $x$ auflösen liefert $x = 14$.

💡 Tipp: Vergiss am Ende nie die Lösungsmenge $L = \{(x|y)\}$ aufzuschreiben.

Einsetzungsverfahren

Das Einsetzungsverfahren ist ideal, wenn eine Variable in einer Gleichung bereits völlig alleine steht.

Schritt für Schritt

• Einsetzen: Stelle eine Gleichung nach einer Variablen um und setze diesen Term in die andere Gleichung ein.
• Ausrechnen: Löse die neue Gleichung auf und ermittle so Schritt für Schritt beide Variablen.

Beispiel:

• $x = 4 - 4y$ in $3x + 2y = -3$ einsetzen: $3 \cdot (4 - 4y) + 2y = -3$
• Vereinfachen liefert $12 - 10y = -3$, also $y = 1,5$.

💡 Tipp: Setze beim Einsetzen von Termen immer eine Klammer herum, um Vorzeichenfehler zu vermeiden.

Additionsverfahren

Dieses Verfahren rettet dich, wenn vor einer Variablen in beiden Gleichungen die gleiche Zahl mit verschiedenen Vorzeichen steht.

Addieren und Eliminieren

• Addieren: Addiere beide Gleichungen zeilenweise, sodass eine Variable komplett wegfällt.
• Ergebnis: Berechne die übrig gebliebene Variable und bestimme danach die andere.

Beispiel:

• $2x + 5y = 3$ plus $x - 5y = 9$ rechnen.
• Das ergibt $3x = 12$, woraus direkt $x = 4$ folgt.

💡 Tipp: Wenn die Vorzeichen vor der gleichen Zahl identisch sind, subtrahierst du die Gleichungen einfach voneinander.

Der schnelle Methoden-Check

Welches Verfahren bringt dich bei welcher Aufgabe am schnellsten ans Ziel?

Die richtige Wahl

• Gleichsetzen: Perfekt, wenn beide Gleichungen schon nach der gleichen Variable aufgelöst sind.
• Einsetzen: Ideal, wenn vor einer Variable keine Zahl steht (z. B. einfach nur $+x$ oder $-y$).
• Addieren: Die beste Wahl, wenn sich Variablen durch Addition direkt aufheben (z. B. $+5y$ und $-5y$).

💡 Tipp: Jedes der drei Verfahren führt immer zum selben Ergebnis – wähle einfach das bequemste.