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Mathematik

Logarithmische und Exponentialfunktionen

Logarithmen

Mathe277Aktualisiert 22. Sept. 20262 Seiten

Logarithmen einfach erklärt: Definition, Rechenregeln und Beispiele

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Felix Kemnitzer@felixkemnitzer_2933f1
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Wenn bei einer Exponentialgleichung die Unbekannte im Exponenten steht, stießen wir mit normalem Rechnen schnell an unsere Grenzen. Genau für dieses Problem gibt es den Logarithmus, der als mathematisches Werkzeug die Umkehrung des Potenzierens darstellt. Diese Zusammenfassung zeigt dir, wie du Logarithmen richtig aufschreibst, Gleichungen schrittweise nach $x$ auflöst und mit den wichtigsten Rechenregeln vereinfachst.
Logarithmen – Seite 1

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Logarithmus Grundlagen

Definition & Schreibweise

Der Logarithmus löst die Gleichung bx=ab^x = a nach dem Exponenten xx auf.

  • Basis bb: Die Zahl, die unten an der Logarithmus-Schreibweise steht.
  • Numerus aa: Der Potenzwert, von dem der Logarithmus gesucht wird.

Gleichungen lösen

Vor dem Logarithmieren musst du die Basis mit dem Exponenten isolieren.

  • Beispiel: 13⋅7x=83⇒7x=8313⇒x=log⁡7(8313)≈0,95313 \cdot 7^x = 83 \Rightarrow 7^x = \frac{83}{13} \Rightarrow x = \log_7(\frac{83}{13}) \approx 0,953

💡 Achtung: Subtrahiere oder dividiere Faktoren vor der Basis immer zuerst, bevor du den Logarithmus anwendest.

Logarithmen – Seite 2

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Logarithmengesetze

Summen und Differenzen

Multiplikation und Division im Numerus lassen sich in einzelne Logarithmen aufteilen.

  • Produktregel: log⁡b(u⋅v)=log⁡b(u)+log⁡b(v)\log_b(u \cdot v) = \log_b(u) + \log_b(v)
  • Quotientenregel: log⁡b(uv)=log⁡b(u)−log⁡b(v)\log_b(\frac{u}{v}) = \log_b(u) - \log_b(v)

Kehrwertregel

Ein negatives Vorzeichen dreht den Numerus als Kehrbruch um.

  • Kehrwert: −log⁡b(a)=log⁡b(1a)-\log_b(a) = \log_b(\frac{1}{a})

💡 Tipp: Die Gesetze funktionieren nur, wenn die Logarithmen dieselbe Basis haben.

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