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Mathematik

Kongruenz- und Ähnlichkeitssätze für Dreiecke

Satz des Pythagoras

Mathe1.243Aktualisiert 20. Sept. 20265 Seiten

Mathe: 3. Klassenarbeit zum Satz des Pythagoras – Übungsaufgaben & Lösungen

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Marie@mx3rie_33
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Hast du dich schon mal gefragt, wie hoch eine Leiter an einer Wand reicht oder wie lang die Diagonale deines Handys ist? Die Antwort darauf liefert ein einziges, geniales Werkzeug der Geometrie: der Satz des Pythagoras. Dieses Material zeigt dir anhand typischer Klassenarbeitsaufgaben, wie du fehlende Seiten im rechtwinkligen Dreieck berechnest und Textaufgaben clever löst. Danach meisterst du jede Berechnung an rechtwinkligen Dreiecken im Schlaf.
Mathe 3. Klassenarbeit über Satz des Pythagoras – Seite 1

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Satz des Pythagoras berechnen

Die Grundformel anwenden

In jedem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse cc gilt die Formel a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2.

  • Hypotenuse: Die längste Seite cc, sie liegt direkt gegenüber vom rechten Winkel.
  • Katheten: Die beiden kürzeren Seiten aa und bb, die den rechten Winkel einschließen.

Beispiel:

  • Gegeben: a=8 cma = 8\text{ cm}, b=6 cmb = 6\text{ cm}
  • Rechnung: c=82+62=100=10 cmc = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10\text{ cm}

💡 Tipp: Wenn du eine Kathete suchst, musst du die Formel umstellen zu a=c2−b2a = \sqrt{c^2 - b^2} – subtrahiere immer das Quadrat der bekannten Kathete von der Hypotenuse.

Mathe 3. Klassenarbeit über Satz des Pythagoras – Seite 2

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Der Höhensatz und Kathetensatz

Sätze am Satzkreis

Mit den Formeln von Euklid berechnest du Abschnitte im geteilten Dreieck.

  • Hypotenusenabschnitte: Die Hypotenuse cc wird durch die Höhe hh in die Teile pp und qq geteilt (c=p+qc = p + q).
  • Kathetensatz: Es gilt a2=c⋅pa^2 = c \cdot p und b2=c⋅qb^2 = c \cdot q.
  • Höhensatz: Die Höhe bestimmst du mit h2=p⋅qh^2 = p \cdot q.

Beispiel:

  • Gegeben: p=8 cmp = 8\text{ cm}, q=2 cmq = 2\text{ cm}
  • Rechnung: h=8⋅2=16=4 cmh = \sqrt{8 \cdot 2} = \sqrt{16} = 4\text{ cm}

💡 Tipp: Zeichne dir bei diesen Aufgaben immer zuerst eine Skizze und markiere pp unter der Kathete aa und qq unter der Kathete bb.

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Sachaufgaben im Alltag lösen

Praxisprobleme visualisieren

Viele reale Aufgaben lassen sich auf ein rechtwinkliges Dreieck zurückführen.

  • Leiter-Aufgaben: Die Leiter ist immer die Hypotenuse cc, die Wandhöhe und der Bodenabstand sind die Katheten.
  • Baum-Aufgabe: Bricht ein Baum um, bilden der stehende Stamm und der Boden die Katheten, der abgeknickte Teil ist die Hypotenuse.
  • Rechteck-Diagonale: Die Diagonale teilt jedes Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke mit d2=a2+b2d^2 = a^2 + b^2.

Beispiel:

  • Gegeben: Wandabstand a=1,3 ma = 1,3\text{ m}, Leiterlänge c=6 mc = 6\text{ m}
  • Rechnung: Höhe h=62−1,32≈5,86 mh = \sqrt{6^2 - 1,3^2} \approx 5,86\text{ m}

💡 Tipp: Vergiss bei Sachaufgaben am Ende nie den Antwortsatz mit der passenden Maßeinheit.

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