Mathe Abi Analysis

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2x+5 → 0=2x+5 → x = -2,5 hinreichende Bedingung: f"(x) *0 [f"(x) > 0 ➜ Tiefpunkt; f"(x) < 0 → Hochpunkt] f"(x)= 2 → f"(-2,5) = 2 * 0 oder Vorzeichenwechselkriterium f'(x-wert links vom Punkt) und f'(x-wert rechts vom Punkt) → unterschiedliche Vorzeichen = Extrempunkt [+zu-: Hochpunkt, - zu+: Tiefpunkt] Einsetzen des x-Wertes in f(x)→ Y-koordinate → E (xly) Wendepunkte notwendige Bedingung: Nullstellen der zweiten Ableitung f"(x)=0 hinreichende Bedingung: f"(x) = 0 Einsetzen des x-Wertes in f(x) → Y-koordinate → W (x ly) Tangenten Geradengleichung allgemein: y=m. x + b Geradengleichung Wendetangente +: y = f'(x₁). X + b • Steigung: x-Wert des Punktes in erste Ableitung einsetzen •Y-Achsenabschnitt (b): m, x- und y-wert einsetzen, dann umstellen e funktionen Eigenschaften 1 limeo (x-Achse) 84-8 2. f(0) = 1, da eᵒ=1 3. Steigung f'(x)=e* >o 4. e* #o 5. keine Extrempunkte 6. keine Sattelpunkte, Wendepunkte 7. f(x) = f'(x)=f"(x)... = F(x) Asymptote 5) Ableitungen: f₁, f", f" 6) Extrempunkte: n.B. f'(x)=0 ; h.B. F"(x) *0 (<0 → HP, >0→TP; sonst V2IJK) Kurvendiskussion Ablauf einer Kurvendiskussion A) Y-Achsenabschnitt: x=0 einsetze → f(0) =... 2) Symmetrie (Punktsymmetrie, Achsensymmetrie) 3) Grenzwertbetrachtung 4) Nullstellen Logarithmus 7) Wendepunkte: n.B. f"(x)=0 h. B. f(x) #0 oder VzWk mit f"(x) 8) wendetangente: tu: y=mx+b [m= f'(x)] e Ableiten Kettenregel f₁(x)=e* f'(x)=e* (natürliche Exponentialfunktion) ⇒ a(x)= x → a'(x)=1 f₂(x)=x²-3x a(x)=x²-3x a'(x) = 2x-3 e £3(x) = (x³-x²)² => a(x)= x²-x² → a'(x) = 3x²–2x f'(x)= äußere Ableitung innere Ableitung = 1 3x + 4 = In 3x + 4 = 0 4 x=3 ex 1 -2 In Logis fragen nach dem Exponenten" log₂ (8)=3 (Wie oft brauche die 2 (Multiplikation) um auf 8 zu kommen? → 3) logarithmus naturalis (In): Log. zur Basis e 3x+4 ↳ In (e*) = x Inx e =x in 5 = 5 In1 =o LO 5 H y Die Exponentialfunktion f mit f(x) = e* und x € ⓇR =e-Funktion Eulersche zahl e = lim ( 1₁ + ₁)" ; 2,7182818 2845... n+8 ex 2 X Produktregel f(x)=x².ex 4 u(x) V(x) Grenzwertbetrachtung f(x)= ex-x-1 Symmetrie bei e-Funktionen Y-Achse: f(-x) = f(x) Ursprung: -f(-x) = f(x) / f(-x) = -f(x) = f'(x) = u²°•v + u.v' ⇒f"(x) = u² • v + u.v² -e-x lim [e-x-1]: X4+80 ↓ = +00 Beispiel: Se-x dx dx ; uso -1 u(x) = x² -5 = y → U'(x) = 2x Uneigentliches Integral Flächeninhalt 0 bis + ∞ lim (-₁/4 + ₁) = ₁ 1 1 U+00 40441 (irrational) = 2x. e* + x². e* = (x² + 2x) e* = (2x+2). e* + (x²+2×). e* = [x² + 4x +2]e* [-e* [-e=]% ]" 2 -ex tim (o) ([F(b)] - [Fco)]) lim f(x). = b→+00 X v(x) = e* = v'(x) Exponentialfunktion =,, dominant" uenn Mischung von Funktionstypen =-e-“ + ₁ = − Ê× +1 - 1 Die Funktion F(x) heisst Stammfunktion von f(x), wenn F'(x) = f(x) Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI): Integrieren (Aufleiten) = Umkehrung vom Ableiter => F(X) gegeben: Ableiten zu f(x), f(x) gegeben: Integrieren zu F(x) F(x) = f(x) dx Beispiel: f(x)= 3x²-4 => F(x) = x³²³-4x+c (c= beliebig-> unendlich viele Stammfunktionen) Integral funktion: F(x) = f(x) dx (jede Integralfurtition = Stammfultition, aber nicht jede SF=IF) Så x" Aufleitungsformel: n+1 -Exponent erhöhen -Koeffizient 1 n+1 - и+л Bestimmung einer Stammfunktion / Flächenberechnung Integral von + von 1 bis 3 Flacheninhalt berechnen: -Teilabschnitte betrachten Beispiel: f(x)= x F(x)= (Ableiten: x">n-x^) Stammfunktion 3 > Nullstelle 3 - | | | | f(x) dx + f(x) dx Betrag der Abschnitte (! außerhalb !) Xo = [[F(X)]* ; ) + | [F(X)]) | = F(x₂)-F(-3)| + |F(3) - F(x₂) | L₂ am Ende addieren => Flächeninhalt ≤0 →Fehler SF von 12ahl-SF von 2. Zahl at + bt² dt = [ 1bf³+ ² at ² ] = F(3)-F(A) = ( ½ b 2 + 2a 9)-(£b (1)+2a-1) = 956+4Q Ľ Geometrische Definition Integral": Summe der orientierten Flächeninhalte zwischen dem Graphen einer Funktion of und Integral von f von a bis b→ [f(x) dx der X-Achse in einem Intervall von a bis b Integrale berechnen (Beispiel): Integral = Saldo / Bilanz der orientierten Flächen (Aufrechnung von + und-) [(fa) du = [H₂S][ - KCA)-F(₂) b •S² = -5² » S = -5° => 1+1 X 1+1 1 2 + C [ (gw)=f()) dx (= a(x). (HMF !) Menge Y optimale Schreibweise: Koeffizient und Variable trennen g++1 x+₁ Summenregel Faktorergel: [5 flu) dhe = 3. [floode [[A + gallder = [fielde + foglalder f(x) dx dx dx ^ X+^ ( Intervall - additivitat [fluddx + √f6dx = [ f(x) dx Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen/ Graphen: 1. Intervall berechnen: Schnittstellen berechnen f(x) = g(x) Loa,b (hk) dx (h(x)= Differenzfunktion) f(x) →xg³ dabei: Henn bekannt, oberer Graph - unterer Graph, sonst → negatives A → Betrag -> Mittelwertsatz der Integralrechnung: Fa: A: durchschnittliche Menge in 24h? [ f(x) dx Rotationskörper Volumina von Rotationskörpern um die x-Achse mithilfe von Integralen berechnen: V= π· f(x)² dx (erst quadrieren, dann Integral berechnen) L Achtung: binomische Formeln Volumina von Rotationskörpern um die y-Achse mithilfe von Integralen berechnen: •umstellen der Funktion von y = f(x) zu x = x= f'(y) → umstellen nach x →Variablentausch →Formel anwenden Beispielaufgabe: s. 308 A5 a) f(x)= a.x³ + bx² + c. x + d f'(x)= 3ax² + 2bx + C F"(x)= 6ax + 2b (I) Sy (010) (I) f(2)=4 → () f(2)=0 (IV) f'(2) = -3 I: Steckbriefaufgaben [: 11: → d=0 4= 8a + 4b + 2c 0= 12a + 2b 8a + 4b + 2C 12a + 2b 12a + 4b + C - -3= 12a +46 + C TR (EQN; 2) →> 1 = 0 =-3 12/6= - 1²/200 a= 3 15 f(x)=x²³ - 2ײ + 12x Trassierung = übergang zweier Funktionen Krümmungsverhalten f"(x)=0-> keine krümmung (Gerade, UP) f(x) > 0 linkskrümmung f"(x) 40 rechtskrümmung Formeln für Volumina Zylinder: V= r². I. h Kegel: V=²..h Kegelstumpf: V=· h·m. (r₂² +₁₂.5₂² +1²) Kugel: V=r²³. π Pyramide: • quadrat. G. ³v = ² •· a². h dreieckige 6.¹ V= allgemeine Funktion und Ableitungen aufstellen passend zum Grad der Funktion (hier: Funktion 3. Grades) C = 12 Formeln für Flächeninhalte allg. Dreieck: A= ²/2·a·h₂ Trapez: A=(a.c).h₂ Parallelogramm: A= a. h₂ sprungfrei: f(x) = g(x₁₂) => Graphen treffen sich in P knickfrei: f'(x) = g(x₁₂) => Graphen haben in P, die gleiche Steigung krümmungsruckfrei: f(xp.)= g"(Xp.) => gleiche Krümmung der Graphen in P₁ Bedingungen zu den versch. Informationen aus der Aufgabenstellung formulieren → eine Bedingung pro Variable; x ausgeschlossen (hier: 4 Variablen a, b, c, d → 4 Bedingungen) Lineares Gleichungssystem aus Bedingung aufstellen und ausrechnen } Variablen durch Ergebnisse des LGS ersetzen (g-h₂). h₂ (wenn alle) -PA g(x) f(x) Extremwertprobleme Beispiel: A=x.y soll max. sein y = f(x) 1) EB (Extremalbedingung) Was soll maximal/minimal sein ? 2) NB (Nebenbedingung) •Ersetzen der Variablen in der EB (Manchmal mehrere NB, abhängig von Zahl der Variablen) 3) ZF (Zielfunktion) 2(x) •Einsetzen der Variablen → neue Funktion (wird meist als kontrolle gegeben) 4) 1. und 2. Ableitung bestimmen 5) Extremstelle berechnen n. B. z'(x)=0 h.B. 2" (x) < 0 => HP 2"(x) > 0 TP 6) Ergebnis im D (Definitionsbereich) ? RE(Randextrema) +) Interpretation der Ergebnisse Probe Ableiten von Wurzelfunktionen f(x)=√√x²-2x = (x²-2x) * f'(x) = innere Ableitung äußere Ableitung i(x)=x²-2x i'(x)=2x-2 ^ a(x)= 2√x²=2x² 1 f'(x)=(²x-2). 2²√x²2x² = ▾ 2x-2 2.√√√x²2x x-1 √x²-2x Logarithmus-Funktionen = f'(x) A(x)= x - f(x) x A'(x); A"(x) A'(x)=0 →> x=a A" (a) < 0 => HP a € I [b; c] → A(b); A(c) In x = f(x) Ableiten von In-Funktionen h(x)= In (x²-x) II I # III IV i(x)= 3x²-1 1 h'(x)=x²-x· (3x²-1)