Grenzwertuntersuchungen in der Analysis

Die systematische Untersuchung von Grenzwerten ist ein fundamentales Werkzeug der Analysis. Bei der Betrachtung von Funktionen an bestimmten Stellen können verschiedene Fälle auftreten: Stetigkeit, hebbare Lücken oder Polstellen.

Merke: Bei der Grenzwertuntersuchung ist es wichtig, zwischen dem Verhalten im Unendlichen und dem Verhalten an speziellen Stellen zu unterscheiden.

Die Bestimmung von Asymptoten hilft bei der Visualisierung des Funktionsverhaltens. Horizontale Asymptoten ergeben sich aus dem Grenzwert für x → ±∞, während vertikale Asymptoten an Polstellen auftreten. Schiefe Asymptoten können durch polynomiale Division ermittelt werden.

Beispiel: Bei der Funktion f(x) = (x³ + x)/(x² + 1) ergibt sich für x → ∞ eine schiefe Asymptote y = x + 0.

Exponentialfunktionen und Integralrechnung

Exponentialfunktionen der Form f(x)=a·bˣ mit b>0 bilden eine wichtige Funktionsklasse. Der Anstieg lässt sich über den natürlichen Logarithmus berechnen, wobei die Ableitung f'(x)=ln(b)·bˣ beträgt.

Beispiel: Die Funktion f(x)=2ˣ hat die Ableitung f'(x)=ln(2)·2ˣ.

Die Integralrechnung als Umkehrung der Differentiation führt zu Stammfunktionen. Das unbestimmte Integral ∫f(x)dx beschreibt die Menge aller Stammfunktionen und unterscheidet sich nur durch eine Konstante C.

Grundlegende Integrationsregeln wie die Faktor-, Summen- und Potenzregel ermöglichen die systematische Berechnung von Integralen. Bei der Verkettungsregel muss besonders auf die äußere und innere Funktion geachtet werden.

Integralrechnung: Bestimmte Integrale verstehen und berechnen

Das bestimmte Integral ist ein fundamentales Konzept der höheren Mathematik, das uns erlaubt, Flächen unter Funktionsgraphen exakt zu berechnen. Im Gegensatz zum unbestimmten Integral haben wir hier konkrete Integrationsgrenzen, die den zu berechnenden Bereich eindeutig festlegen.

Definition: Das bestimmte Integral einer Funktion f(x) von a bis b wird geschrieben als ∫[a→b] f(x)dx und berechnet die Fläche zwischen der Funktionskurve und der x-Achse im Intervall [a,b].

Die Berechnung erfolgt nach der fundamentalen Regel: F(b) - F(a), wobei F(x) die Stammfunktion von f(x) ist. Diese Methode, auch als "Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung" bekannt, vereinfacht die Flächenberechnung erheblich. Betrachten wir beispielsweise das Integral ∫[2→3,5] 2x dx. Die Stammfunktion ist hier F(x) = x², und wir erhalten durch Einsetzen: (3,5²) - (2²) = 12,25 - 4 = 8,25.

Beispiel: Bei komplexeren Funktionen wie ∫[1→3] 3x² dx berechnen wir zunächst die Stammfunktion F(x) = x³ und setzen dann die Grenzen ein: 3³ - 1³ = 27 - 1 = 26.