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Mathematik

Volumenberechnung und Raummessung

Volumen eines Zylinders

Mathe1.544Aktualisiert 16. Sept. 20264 Seiten

Mathearbeit Kreis, Zylinder und Pyramide – Übungen mit Lösungen

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Wie berechnet man eigentlich das Volumen eines riesigen Dieselölbehläters oder die Glasfläche der berühmten Louvre-Pyramide? Diese typischen Prüfungsfragen der 9. Klasse wirken oft komplizierter, als sie sind. Diese Zusammenfassung zeigt dir Schritt für Schritt, wie du Kreisflächen, Zylinder, Pyramiden und zusammengesetzte Körper im Handumdrehen berechnest und jede Mathearbeit meisterst.
Mathearbeit Kreis, Zylinder, Pyramide – Seite 1

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Kreis und zusammengesetzte Flächen

Kreisberechnung

Mit dem Radius rr lässt sich jeder Kreis knacken.

  • Flächeninhalt: A=π⋅r2A = \pi \cdot r^2
  • Umfang: U=2⋅π⋅rU = 2 \cdot \pi \cdot r

Kreisausschnitt

Für Teilstücke (z.B. 90∘90^\circ-Winkel) nutzt man den Bruchteil des Vollkreises.

  • Formel: ASektor=π⋅r2⋅α360∘A_{Sektor} = \pi \cdot r^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}

Beispiel: Gegeben A=500.000 m2A = 500.000\text{ m}^2. Radius berechnen: r=500.000π≈398,94 mr = \sqrt{\frac{500.000}{\pi}} \approx 398,94\text{ m}.

💡 Tipp: Achte bei Aufgaben immer darauf, ob der Durchmesser dd oder der Radius rr gegeben ist, da r=d2r = \frac{d}{2} ist.

Mathearbeit Kreis, Zylinder, Pyramide – Seite 2

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Berechnungen am Zylinder

Zylinder-Formeln

Ein Zylinder besteht aus zwei kreisförmigen Grundflächen und dem Mantel.

  • Oberfläche: O=2⋅G+MO = 2 \cdot G + M mit G=π⋅r2G = \pi \cdot r^2
  • Mantelfläche: M=2⋅π⋅r⋅hM = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h
  • Volumen: V=π⋅r2⋅hV = \pi \cdot r^2 \cdot h

Liter-Umrechnung

Volumen im Sachzusammenhang bestimmen.

  • Umrechnung: 1 dm3=1 Liter1\text{ dm}^3 = 1\text{ Liter}

Beispiel: V=226.194 cm3≈226,19 dm3=226,19 lV = 226.194\text{ cm}^3 \approx 226,19\text{ dm}^3 = 226,19\text{ l}.

💡 Tipp: Wenn die Oberfläche OO und die Mantelfläche MM gegeben sind, berechnest du die Grundfläche über G=O−M2G = \frac{O - M}{2}.

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Pyramide und zusammengesetzte Körper

Quadratische Pyramide

Berechnungen an einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche A=a2A = a^2.

  • Volumen: V=13⋅a2⋅hV = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h
  • Höhe der Seitenfläche (hsh_s): Bestimmung über Pythagoras: hs=h2+(a2)2h_s = \sqrt{h^2 + (\frac{a}{2})^2}

Zusammengesetzte Körper

Volumen von Hohlkörpern (z.B. Topf mit Aussparung).

  • Restvolumen: VGesamt=VKo¨rper−VHohlraumV_{Gesamt} = V_{Körper} - V_{Hohlraum}

Beispiel: Pyramide mit a=35 ma = 35\text{ m}, h=21,65 mh = 21,65\text{ m}: V=13⋅352⋅21,65≈8840,42 m3V = \frac{1}{3} \cdot 35^2 \cdot 21,65 \approx 8840,42\text{ m}^3.

💡 Tipp: Bei abgezogenen Innenzylindern vergrößert sich die Oberfläche des Gesamtkörpers um die innere Mantelfläche des Lochs.

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