Matrizen und lineare Abbildungen – einfache Grundlagen und Beispiele

Matrizen & Rechenregeln

Grundlagen & Operationen

Matrizen sind rechteckige Anordnungen von Zahlen mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten.

• Addition: Nur bei identischer Dimension möglich; es wird elementweise addiert.
• Multiplikation: $A \cdot B$ klappt nur, wenn die Spaltenanzahl von $A$ gleich der Zeilenanzahl von $B$ ist.
• Inverse Matrix: Erfüllt $A \cdot A^{-1} = E$ (Einheitsmatrix); existiert nur bei quadratischen Matrizen.

LGS als Matrix

Lineare Gleichungssysteme lassen sich kompakt als erweiterte Koeffizientenmatrix schreiben.

Beispiel: $x + 2y = 3 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & | & 3 \end{pmatrix}$

💡 Tipp: Bei der Matrix-Multiplikation gilt das Kommutativgesetz nicht, also fast immer $A \cdot B \neq B \cdot A$.

Lineare Abbildungen

2D & 3D Abbildungen

Matrizen können Punkte und Vektoren im Raum verschieben, spiegeln, drehen oder projizieren.

• Spiegelung: Multiplikation mit einer Spiegelungsmatrix, z. B. $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ für die x-Achse.
• Drehung (2D): Drehung um den Ursprung mit dem Winkel $\phi$ über die Matrix $M = \begin{pmatrix} \cos\phi & -\sin\phi \\ \sin\phi & \cos\phi \end{pmatrix}$.
• Hintereinanderausführung: Zwei Abbildungen werden durch Multiplikation ihrer Matrizen kombiniert ($M = M_2 \cdot M_1$).

Projektionen & Streckung

• Projektion: Bildet Punkte auf Achsen oder Ebenen ab (z. B. z-Koordinate wird Null).
• Zentrische Streckung: Multiplikation aller Koordinaten mit dem Streckfaktor $k$.

💡 Tipp: Achte bei der Kombination von Abbildungen auf die Reihenfolge: Die zuerst ausgeführte Abbildung steht ganz rechts.

Kern, Fixpunkte & Eigenwerte

Besondere Punktmengen

Bestimmte Punkte verhalten sich unter Abbildungen ganz charakteristisch.

• Kern: Alle Punkte, die durch die Abbildung auf den Nullpunkt $(0|0)$ landen.
• Fixpunktmenge: Alle Punkte, die durch die Abbildung genau auf sich selbst abgebildet werden.

Eigenwerte & Eigenvektoren

Ein Eigenvektor behält bei der Abbildung seine Richtung bei und wird nur um den Eigenwert $\lambda$ gestreckt.

• Gleichung: Es gilt die Grundbeziehung $A \cdot \vec{x} = \lambda \cdot \vec{x}$.
• Berechnung: LGS $(A - \lambda \cdot E) \cdot \vec{x} = \vec{0}$ aufstellen und nach $\lambda$ sowie dem Vektor auflösen.

💡 Tipp: Der Nullvektor $\vec{0}$ ist per Definition niemals ein Eigenvektor.