Die p-q-Formel und ihre Anwendung

Die p-q-Formel lautet: $X_{1/2} = \frac{-p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$. Diese Formel hilft dir dabei, quadratische Gleichungen schnell und sicher zu lösen.

So gehst du Schritt für Schritt vor: Erst prüfst du, ob es sich wirklich um eine quadratische Gleichung handelt. Dann stellst du die Gleichung so um, dass auf einer Seite nur 0 steht.

Wichtig ist, dass vor dem x² nur der Faktor 1 steht - falls nicht, teilst du die ganze Gleichung durch den entsprechenden Wert. Danach bestimmst du p (der Faktor vor dem x) und q (das absolute Glied ohne x).

Merktipp: Die Anzahl der Lösungen erkennst du am Wert unter der Wurzel - ist er positiv, hast du 2 Lösungen, ist er null, dann 1 Lösung, und ist er negativ, gibt es keine Lösung!

Fall 1 - Zwei Lösungen: Bei der Gleichung x² + 2x - 4 = 0 erhältst du mit p = 2 und q = -4 die Lösungen $X_1 = -1 + \sqrt{5}$ und $X_2 = -1 - \sqrt{5}$.

Fall 2 - Keine Lösung: Die Gleichung x² - 3x + 3 = 0 führt zu einem negativen Wert unter der Wurzel, weshalb es keine reelle Lösung gibt.

Fall 3 - Eine Lösung: Bei x² - 10x + 25 = 0 wird der Wert unter der Wurzel gleich null, sodass x = 5 die einzige Lösung ist.