Parameterform, Normalenform und Koordinatenform leicht erklärt

Die drei Ebenenformen verstehen

Stell dir vor, du hast drei Punkte A$1|2|-2$, B(0|5|0) und C$5|0|-2$ und willst daraus eine Ebene beschreiben. Mit diesen drei Darstellungsformen bekommst du verschiedene "Sprachen" für dieselbe Ebene.

Die Parameterform startet mit einem Punkt und zwei Richtungsvektoren. Du berechnest die Richtungsvektoren, indem du von Punkt A zu den anderen beiden Punkten gehst: $\overrightarrow{AB} = (-1, 3, 2)$ und $\overrightarrow{AC} = (4, -2, 0)$. Damit wird deine Ebene zu: $\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$.

Für die Normalenform brauchst du den Normalenvektor durch das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren: $\vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ -10 \end{pmatrix}$. Die Normalenform wird dann: $(\vec{x} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$.

Die Koordinatenform ist am einfachsten zu lesen: 2x + 4y - 5z = 20. Du erhältst sie, indem du die Normalenform ausmultiplizierst und vereinfachst.

Tipp: Die Koordinatenform eignet sich am besten für Berechnungen, während die Parameterform gut für das Verständnis ist!