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Methoden der höheren Analysis

U-Substitution

Mathe839Aktualisiert 25. Sept. 20262 Seiten

Partielle Integration & Substitution: Formeln, Anwendung und Beispiele

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Vivien@vivien_mfa
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Beim Integrieren stößt man schnell auf Produkte von Funktionen, die sich nicht einfach so auflösen lassen. Genau hier helfen zwei mächtige Werkzeuge der Integralrechnung: die partielle Integration und die Substitution. Diese Methoden funktionieren wie die Produkt- und Kettenregel der Ableitung, nur rückwärts. Wir zeigen dir, wie du sie Schritt für Schritt anwendest, um selbst komplizierte Integrale knackst.
Partielle Integration und Integration durch Substitution – Seite 1

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Partielle Integration

Die Produktregel rückwärts

Diese Methode nutzt du, wenn das Produkt zweier Funktionen im Integral steht.

  • Die Formel: ∫u⋅v′=[u⋅v]−∫u′⋅v\int u \cdot v' = [u \cdot v] - \int u' \cdot v
  • Ziel: Wähle u(x)u(x) so, dass seine Ableitung u′(x)u'(x) einfacher wird.

Beispiel: ∫3x⋅e2x dx\int 3x \cdot e^{2x} \, dx

  • u=3x→u′=3u = 3x \rightarrow u' = 3 und v′=e2x→v=12e2xv' = e^{2x} \rightarrow v = \frac{1}{2} e^{2x}
  • Einsetzen: [3x⋅12e2x]−∫3⋅12e2x dx=[34e2x(2x−1)][3x \cdot \frac{1}{2} e^{2x}] - \int 3 \cdot \frac{1}{2} e^{2x} \, dx = [\frac{3}{4} e^{2x} (2x - 1)]

💡 Tipp: Wähle als u(x)u(x) meistens Potenzfunktionen wie xx oder x2x^2, da diese beim Ableiten einfacher werden.

Partielle Integration und Integration durch Substitution – Seite 2

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Integration durch Substitution

Kettenregel rückwärts

Nutze diese Methode bei verketteten Funktionen, wenn die innere Ableitung als Faktor im Integral steht.

  • Substitution: Ersetze den inneren Teil g(x)g(x) durch die Variable zz.
  • Sonderfall: Steht die Ableitung im Zähler, gilt ∫g′(x)g(x) dx=ln⁡∣g(x)∣\int \frac{g'(x)}{g(x)} \, dx = \ln|g(x)|.

Beispiel: ∫4x⋅e−x2 dx\int 4x \cdot e^{-x^2} \, dx mit z=−x2→dzdx=−2xz = -x^2 \rightarrow \frac{dz}{dx} = -2x

  • Umschreiben: −2∫ez dz=−2ez-2 \int e^z \, dz = -2e^z
  • Rücksubstitution: F(x)=−2e−x2F(x) = -2e^{-x^2}

💡 Tipp: Vergiss bei bestimmten Integralen nicht, auch die Integrationsgrenzen für zz umzurechnen.

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