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M LK Q1
1. Klausur (Schuljahr 2020/21 (1. HJ))
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1. Klausur Mathe LK Q1 (mit Erwartungshorizont) - ganzrationale Funktionen - Ableitung - Grenzwert - Extremwerte mit Nebenbedingungen - Ortskurven

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Name._ M LK Q1 1. Klausur (Schuljahr 2020/21 (1. HJ)) Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel- bis zu 45 Minuten Bearbeitungszeit Aufgabe 1 Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=x²-x. a) Untersuchen Sie f auf Symmetrie, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und Extremstellen. b) Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente. c) Zeigen Sie, dass die Tangenten in den äußeren beiden Nullstellen parallel verlaufen. Aufgabe 2 Gegeben ist die Ableitungsfunktion f'(x) = (x + 1)² (2x-4) einer Funktion f. Untersuchen Sie f mit Hilfe des Vorzeichenwechselkriteriums auf Extremstellen. 16.09.2020 Aufgabe 3 Gegeben ist der Graph einer Funktion f. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen jeweils wahr oder falsch sind und begründen Sie Ihre Entscheidungen. a) f(1) > f(-1) b) f'(-2) > f'(-1) c) f'(1,5) = 0 d) f"(-1) < 0 -2 0 0 Aufgabe 4 2 Bestimmen Sie a so, dass die Funktion f(x) = x³ + a x² an der Stelle x₁ = eine Extremstelle besitzt. Untersuchen Sie, ob es sich hierbei um ein Maximum oder um ein Minimum handelt. 1 Name.____ M LK Q1 1. Klausur (Schuljahr 2020/21 (1. HJ)) Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln -155 Minuten Bearbeitungszeit Aufgabe 5 Gegeben ist der Graph der ganzrationalen Funktion f (siehe Abbildung). a) Geben Sie die Wendestellen des Graphen an. b) Geben Sie das Krümmungsverhalten des Graphen an. c) Skizzieren Sie den Graphen der ersten Ableitung in dasselbe Koordinatensystem. a) Die Steigung von f an der Stelle x = -2 beträgt 3. b) Das Schaubild von...

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f hat im dargestellten Intervall genau eine Wendestelle. c) Das Schaubild von f hat im dargestellten Intervall einen Hochpunkt. d) Das Schaubild von f hat im dargestellten Intervall zwei Extremstellen. .5 e) Das Schaubild von f hat im dargestellten Intervall drei Tangenten, die parallel zur Geraden y=-2x + 1,5 sind. Graph von f -0.5 3 N ♡ Aufgabe 6 Gegeben ist der Graph der Ableitungsfunktion f' zu einer Funktion f. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen jeweils wahr oder falsch sind und begründen Sie Ihre Entscheidungen. 16.09.2020 -3 0 0.5 1.5 3 2 Name: M LK Q1 Aufgabe 8 1. Klausur (Schuljahr 2020/21 (1. HJ)) Aufgabe 7 (ohne Verwendung des GTR) Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 6x4 - 12x² + 4. a) Bestimmen Sie rechnerisch die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von f. b) Bestimmen Sie rechnerisch die Wendepunkte des Graphen von f. c) Untersuchen Sie rechnerisch das Krümmungsverhalten des Graphen von f. d) Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung der Tangente, welche den Graphen der Funktion f an der Stelle x 1,5 berührt. = 16.09.2020 Die Funktion g mit g(x) = -20x³ + 240x² - 420x-760 gibt den täglichen Gewinn eines Unternehmens in Euro an, wenn ihr Produkt in der Stückzahl x produziert wird. a) Bestimmen Sie g(3) und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. b) Berechnen Sie den monatlichen Gewinn des Unternehmens, wenn täglich eine Stückzahl von x = 5 hergestellt wird. c) Bestimmen Sie rechnerisch die Nullstellen der Funktion g und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang. d) Bestimmen Sie rechnerisch die Stückzahl x, für die das Unternehmen maximalen Gewinn erreicht. e) Bestimmen Sie rechnerisch die Stückzahl x im Intervall [2; 6], bei der eine Veränderung der Produktionsmenge die größte Auswirkung auf den Gewinn hat. WP f) Bestimmen Sie rechnerisch die Stückzahlen, für die der Gewinn über 500€ liegt. Aufgabe 9 (Tipp: V-Window z. B. einstellen auf: Xmin: -5; max: 15; Ymin: -1500; max: 1500; Alle anderen Einstellungen werden automatisch angepasst.) Gegeben ist eine Schar ganzrationaler Funktionen fk durch den Funktionsterm fk(x) = k²x³ + 6kx² +9x, k > 0. Die Graphen seien Gk. a) Untersuchen Sie fk in Abhängigkeit vom Parameter k. Bestimmen Sie insbesondere (1) die ersten 3 Ableitungen (zur Kontrolle: f'(x) = 6k²x+12k), (2) den Schnittpunkt mit der y-Achse, (3) die Anzahl und Lage der Schnittpunkte mit der x-Achse, (4) die Anzahl und den Typ der Extrempunkte (Hochpunkt oder Tiefpunkt) sowie (5) die Anzahl und den Typ der Wendepunkte in Abhängigkeit vom Parameter k (rechts-links oder links- rechts). b) Bestimmen Sie den Parameter k so, dass Gk durch den Punkt (-11) verlauft. c) Zeigen Sie, dass alle Graphen Gk an der Stelle x = 0 eine Tangente mit der Steigung 9 besitzen. Geben Sie die Tangentengleichung an. 3 Aufgabe 1 a) Symetrie f(-x) = ²/3 (-x) ³ - / (-x) Name f(x) (-) ²/² x=( 3 E 3 f(x) = ² x X 1 8 3x ⇒et f(x) = f(-x), a h. der X=0 und X² + Doles 23 2- X 2 X²-4 FO Graph ist nicht achsensymetrisch zury-Achse X 3 1 8 => f(x) = -f(x), a.h. der Graph punktsymmetrisch zum ist Ursprung Schnittpunkte €1=0 3/3x²³ - 3²+x=0 8 XEO (-) = x (x²-4) -O coleg x² = 4 X=2 V X = -2 8 3X filo = 0 = (010) f(2)=30³²³ - 3.2 # 116 Ab bolm J Schön! (210) A: Der Graph hat 3 Schnittpunkte mit der x-Achse (010) (210), (210) ✓ 23123 Schnittpunkte F(0) Th f(0) = 33.0³ - 13/10 A: Der Schnittpunkt mit d. y-Achse ist (010) am Punkt Extremstellen NB: f'(x) = 0 f" (x) = 2x² - 8² 3 2x² G (=) (=) EO 2x² = x²₁²= 1/2/3 XI 8 H y - Achse 14 4x=0 WP NB. f (x)=0 & wton HB: f'(x) = 0 f"(x) = 4x f^(²)=4-√²3 >0 > TP V €" (-√²/²) = 4( √ 3² ) -4. √ ² 1 + 1/3 1:2 →sind mögliche <O> HP A A: An den Stellen x = √²/² (ein TP) und X = = 1² (4in HP) liegen die Extrem stellen 6) Ansatz: y = mx + n Extremstellen F"(x) 70 x = 0 mögl WS HB: f(x) =0 ✓ f" (x) 70 €"" (x) = 4

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G

Cool, mit dem Lernzettel konnte ich mich richtig gut auf meine Klassenarbeit vorbereiten. Danke 👍👍

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f hat im dargestellten Intervall genau eine Wendestelle. c) Das Schaubild von f hat im dargestellten Intervall einen Hochpunkt. d) Das Schaubild von f hat im dargestellten Intervall zwei Extremstellen. .5 e) Das Schaubild von f hat im dargestellten Intervall drei Tangenten, die parallel zur Geraden y=-2x + 1,5 sind. Graph von f -0.5 3 N ♡ Aufgabe 6 Gegeben ist der Graph der Ableitungsfunktion f' zu einer Funktion f. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen jeweils wahr oder falsch sind und begründen Sie Ihre Entscheidungen. 16.09.2020 -3 0 0.5 1.5 3 2 Name: M LK Q1 Aufgabe 8 1. Klausur (Schuljahr 2020/21 (1. HJ)) Aufgabe 7 (ohne Verwendung des GTR) Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 6x4 - 12x² + 4. a) Bestimmen Sie rechnerisch die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von f. b) Bestimmen Sie rechnerisch die Wendepunkte des Graphen von f. c) Untersuchen Sie rechnerisch das Krümmungsverhalten des Graphen von f. d) Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung der Tangente, welche den Graphen der Funktion f an der Stelle x 1,5 berührt. = 16.09.2020 Die Funktion g mit g(x) = -20x³ + 240x² - 420x-760 gibt den täglichen Gewinn eines Unternehmens in Euro an, wenn ihr Produkt in der Stückzahl x produziert wird. a) Bestimmen Sie g(3) und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. b) Berechnen Sie den monatlichen Gewinn des Unternehmens, wenn täglich eine Stückzahl von x = 5 hergestellt wird. c) Bestimmen Sie rechnerisch die Nullstellen der Funktion g und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang. d) Bestimmen Sie rechnerisch die Stückzahl x, für die das Unternehmen maximalen Gewinn erreicht. e) Bestimmen Sie rechnerisch die Stückzahl x im Intervall [2; 6], bei der eine Veränderung der Produktionsmenge die größte Auswirkung auf den Gewinn hat. WP f) Bestimmen Sie rechnerisch die Stückzahlen, für die der Gewinn über 500€ liegt. Aufgabe 9 (Tipp: V-Window z. B. einstellen auf: Xmin: -5; max: 15; Ymin: -1500; max: 1500; Alle anderen Einstellungen werden automatisch angepasst.) Gegeben ist eine Schar ganzrationaler Funktionen fk durch den Funktionsterm fk(x) = k²x³ + 6kx² +9x, k > 0. Die Graphen seien Gk. a) Untersuchen Sie fk in Abhängigkeit vom Parameter k. Bestimmen Sie insbesondere (1) die ersten 3 Ableitungen (zur Kontrolle: f'(x) = 6k²x+12k), (2) den Schnittpunkt mit der y-Achse, (3) die Anzahl und Lage der Schnittpunkte mit der x-Achse, (4) die Anzahl und den Typ der Extrempunkte (Hochpunkt oder Tiefpunkt) sowie (5) die Anzahl und den Typ der Wendepunkte in Abhängigkeit vom Parameter k (rechts-links oder links- rechts). b) Bestimmen Sie den Parameter k so, dass Gk durch den Punkt (-11) verlauft. c) Zeigen Sie, dass alle Graphen Gk an der Stelle x = 0 eine Tangente mit der Steigung 9 besitzen. Geben Sie die Tangentengleichung an. 3 Aufgabe 1 a) Symetrie f(-x) = ²/3 (-x) ³ - / (-x) Name f(x) (-) ²/² x=( 3 E 3 f(x) = ² x X 1 8 3x ⇒et f(x) = f(-x), a h. der X=0 und X² + Doles 23 2- X 2 X²-4 FO Graph ist nicht achsensymetrisch zury-Achse X 3 1 8 => f(x) = -f(x), a.h. der Graph punktsymmetrisch zum ist Ursprung Schnittpunkte €1=0 3/3x²³ - 3²+x=0 8 XEO (-) = x (x²-4) -O coleg x² = 4 X=2 V X = -2 8 3X filo = 0 = (010) f(2)=30³²³ - 3.2 # 116 Ab bolm J Schön! (210) A: Der Graph hat 3 Schnittpunkte mit der x-Achse (010) (210), (210) ✓ 23123 Schnittpunkte F(0) Th f(0) = 33.0³ - 13/10 A: Der Schnittpunkt mit d. y-Achse ist (010) am Punkt Extremstellen NB: f'(x) = 0 f" (x) = 2x² - 8² 3 2x² G (=) (=) EO 2x² = x²₁²= 1/2/3 XI 8 H y - Achse 14 4x=0 WP NB. f (x)=0 & wton HB: f'(x) = 0 f"(x) = 4x f^(²)=4-√²3 >0 > TP V €" (-√²/²) = 4( √ 3² ) -4. √ ² 1 + 1/3 1:2 →sind mögliche <O> HP A A: An den Stellen x = √²/² (ein TP) und X = = 1² (4in HP) liegen die Extrem stellen 6) Ansatz: y = mx + n Extremstellen F"(x) 70 x = 0 mögl WS HB: f(x) =0 ✓ f" (x) 70 €"" (x) = 4