Alternativer Bildtext:

f hat im dargestellten Intervall genau eine Wendestelle. c) Das Schaubild von f hat im dargestellten Intervall einen Hochpunkt. d) Das Schaubild von f hat im dargestellten Intervall zwei Extremstellen. .5 e) Das Schaubild von f hat im dargestellten Intervall drei Tangenten, die parallel zur Geraden y=-2x + 1,5 sind. Graph von f -0.5 3 N ♡ Aufgabe 6 Gegeben ist der Graph der Ableitungsfunktion f' zu einer Funktion f. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen jeweils wahr oder falsch sind und begründen Sie Ihre Entscheidungen. 16.09.2020 -3 0 0.5 1.5 3 2 Name: M LK Q1 Aufgabe 8 1. Klausur (Schuljahr 2020/21 (1. HJ)) Aufgabe 7 (ohne Verwendung des GTR) Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 6x4 - 12x² + 4. a) Bestimmen Sie rechnerisch die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von f. b) Bestimmen Sie rechnerisch die Wendepunkte des Graphen von f. c) Untersuchen Sie rechnerisch das Krümmungsverhalten des Graphen von f. d) Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung der Tangente, welche den Graphen der Funktion f an der Stelle x 1,5 berührt. = 16.09.2020 Die Funktion g mit g(x) = -20x³ + 240x² - 420x-760 gibt den täglichen Gewinn eines Unternehmens in Euro an, wenn ihr Produkt in der Stückzahl x produziert wird. a) Bestimmen Sie g(3) und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. b) Berechnen Sie den monatlichen Gewinn des Unternehmens, wenn täglich eine Stückzahl von x = 5 hergestellt wird. c) Bestimmen Sie rechnerisch die Nullstellen der Funktion g und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang. d) Bestimmen Sie rechnerisch die Stückzahl x, für die das Unternehmen maximalen Gewinn erreicht. e) Bestimmen Sie rechnerisch die Stückzahl x im Intervall [2; 6], bei der eine Veränderung der Produktionsmenge die größte Auswirkung auf den Gewinn hat. WP f) Bestimmen Sie rechnerisch die Stückzahlen, für die der Gewinn über 500€ liegt. Aufgabe 9 (Tipp: V-Window z. B. einstellen auf: Xmin: -5; max: 15; Ymin: -1500; max: 1500; Alle anderen Einstellungen werden automatisch angepasst.) Gegeben ist eine Schar ganzrationaler Funktionen fk durch den Funktionsterm fk(x) = k²x³ + 6kx² +9x, k > 0. Die Graphen seien Gk. a) Untersuchen Sie fk in Abhängigkeit vom Parameter k. Bestimmen Sie insbesondere (1) die ersten 3 Ableitungen (zur Kontrolle: f'(x) = 6k²x + 12k), (2) den Schnittpunkt mit der y-Achse, (3) die Anzahl und Lage der Schnittpunkte mit der x-Achse, (4) die Anzahl und den Typ der Extrempunkte (Hochpunkt oder Tiefpunkt) sowie (5) die Anzahl und den Typ der Wendepunkte in Abhängigkeit vom Parameter k (rechts-links oder links- rechts). b) Bestimmen Sie den Parameter k so, dass Gk durch den Punkt (-11) verlauft. c) Zeigen Sie, dass alle Graphen Gk an der Stelle x = 0 eine Tangente mit der Steigung 9 besitzen. Geben Sie die Tangentengleichung an. 3 Aufgabe 1 a) Symetrie f(-x) = ²/3 (-x) ³ - / (-x) Name f(x) 3 f(x) = ² x X (-) ²/² x=( 3 E 8 3x ⇒et f(x) = f(-x), a h. der x² + X=0 und Doles 23 2- X 2 X²-4 FO Graph ist nicht achsensymetrisch zury-Achse X 3 1 8 => f(x) = -f(x), a.h. der Graph punktsymmetrisch zum ist Ursprung Schnittpunkte €1=0 3/3x²³ - 3²+x=0 8 XEO (-) = x (x²-4) -O coleg x² = 4 X=2 V X = -2 8 3X filo = 0 = (010) f(2)=30³²³ - 3.2 # 116 bolm Ab J Schön! (210) A: Der Graph hat 3 Schnittpunkte mit der x-Achse (010) (210), (210) ✓ 23123 Schnittpunkte F(0) Th f(0) = 3·0²³ - 13/0 A: Der Schnittpunkt mit d. y-Achse ist (010) am Punkt Extremstellen NB: f'(x) = 0 f" (x) = 2x² - 8² 3 2x² G (=) (=) EO 2x² = x²₁²= 1/3/20 XI 8 H y - Achse 14 4x=0 WP NB. f (x)=0 & wton HB: f'(x)=0 f"(x) = 4x f^(²)=4-√² >0 > TP V €" (-√²/²) = 4( √ 3² ) -4. √ ² 1 + 1/3 1:2 →sind mögliche <O> HP A A: An den Stellen x = √²/² (ein TP) und X = = 1² (4in HP) liegen die Extrem stellen 6) Ansatz: y = mx + n Extremstellen F"(x) 70 x = 0 mögl WS HB: f(x) =0 ✓ f" (x) 70 €"" (x) = 4 f" (0) = 4 WP: f(0) = 3·0²³-3.0 6 O WP (010) y = mx + n [m] f(0) = 2.0³²-9/3 1 y = - ³/3x +n WP Einsetzen. 0= √²/²·0+ 0=n F O (1 >O cubo y=-³x C) NS: (-210) ✓ (210) (-210) f₁ (-2) = 2₁ (-2)² = ! 32 n = 3² काल 16 = Q = A== • (-2) + n B 8 16 3 11 → +7 T&C m von (210) Û 6 y = mx + n F₁ (R) = 2.2² - 31/12 B = 8 d.h. es liegt eins rechts- links WP 11 com FM 8 Ansatz die Steigung ist gleich 32 y=^3² x + ³² 3 919 414 Toll! A: Da die Steigungen beider Tangenten gleich sind, verlaufen sie parallel ✓ [-] 8,5/AA 5/7 вд } st Rf A/\_\_^(x)=(x + 1)² (2x-2) A3 a) f(1) > € (-1) die b) f'(-2) > f '(-1) ist falsch da and sie die ist falsch, weil i coordinaten houten die Steigung bei es f'(-2) negativ und bei f'(-1) positiv st. c) ist wahr, weil dort ein Extremaum liegt. nicht d) stimmt, weil die Steigung positiv ist. fa (x)=x²³² + ax ² A4 Ansatz: fa (²5) = 0 3 ist wahr, weil Holes SP mit dem y-Yard Graph an f (1) größer ist (212) ²³ + a(²/2)² = 0 12+a-4 a 2.4 f(x) = x ²³ f'(x) = 3X €₁(x) = 6x - NITO a x ² 2X 2 2 =0 11 f" (1) = 63-1 TH FINA 8 >O damit an xo=2 ein Extrema liegt d.h. TP A: es liegt an dl. Stelle x₂= 132 ein Tiefpunkt (~) Teil 2 Ws Mornarono a) (JS: X₁ ~ -0,7₁ X₂= 0, X₂ = 0,7 AS b) Im 1 [-00; -0,7) [-00; -0,7) : Rechtskrummung Linkskru Linkskrümmung (0:0,7) Rechtskrümmung ( [0,7; +00) = Linkskrümmung : 1 (0,7; 0): : A6 a) Falsch, weil die Steigung negativ list. be wahr, well der Greph our 2 Extrempunkte hat c) Wahr, weit eter Cap die Funktion des Grades ist. d) Wahr, siehe siehe C b) Falsch, weil dier Grap f" zwei Extremen die Ch Falsch, denn die ES von f lentsprechen der US von f', a.b. hat, die in f (c) 4/6 WS sind 313 4/4 313 313 0/3 0/3 0/4 19 19 a) wahr, weil 2 NS A7 f(x) = 6x² - 12x² +4 a) NB: f'(x) = 0 f'(x) = 24x²³ - 24x 24x³-24x-O (=) 24x (x²-x) =0 24x =0 x=0 HB: f(x1=0 x²-1=0 1 X² =^^ V X.= -1 X €"(x) 70 f"(x) = 72x² - 24 f" (0) = 72·0²-24 =24 <O f" (1) = 72-1²-24 = 48 >0 €" (²-1) = 72 · (-1) ²-24 = 48 > O > d.h. не d.h. TP d.h. TP f(0) = 6.0¹-12.0² +4 = +4 -> HP (014) ((-1) = 6-1-12-14 = -2 IPMI-2 ECO-64012. CỬ2TP(112) 16) WP NB: F"(x)=0 KED 72x²²-24=0 C HB₁ f¹(x) = 0 ✓ F"(x) 70 f"(x) = 144 X F" (0,58) = 83, 52 €" (-0,58)= -83,52 KO # 72x² = 24 a € (0,58) = 6· 0,58"-12.0,58² +4 3 x 0,5% X₂=-0,68 = 0,64 WP (0,58 0,64) € (- 0,58) = 6· (-0,58) " - 12- (-0,58)² + 4 0,64 WP(-0,58 16,64) f(0,5) = X - 9,5 0,5 0 f(x7 4375 4 d.h. TP von f' d.h. HP yon f' 11 Кайттик → verhalter f(05) = 6-(0,5)² - 12- (05)² + 4 = 0,375 +3 +4 = 1,375 -0,$ 4375 6.05²-12-05 +4 = 0,375-3+4 =1375 Bitte mit Wurzeln und Brichen weiter- rechnen! Hier: +√4/3² A Af 9/M 0/6 5/5 -2 X₂ f(x) 52 N Krimmungs- verhalth -0,5 0,5 4 2 -2 1,375 1,375 -2 $2 7 N -1-0,5 f(-2) = 6· (-2)^ - 12-(-2)² + 4 = 96-48 +4 = 52 2 f(2)= 6·(2)-12-2² +4 = 96-48 +4 = 52 d) f(AS) = 6·1,5" - 12. 1,5² +4 30,375 - 27 +4 7.375 y=mx+n P (1,517,375) [m] €'(x) = 24x²³ - 24x € (1,5) 24.1,5²- -24 1,5 = 81-36 = 45 y = 45% +n 7,375=45×1,5+n 7,375 = 67,5 +n 1-67,5 n = − 60₁ 125 1 y = 45x60,125 * A A8 a) g(x) (#) > 1 = 9 (3) 400 töglichen Das Unternehmen hat einen Verlust wenn stars Proctuter tahr Stückzahl 3 von c) g² (x ) = 0 b) g(s) = 640 → fagl. Gewing. 64030= 19 200 € x A: -20x³ +240x² - 420 x-760 1 an ten 400€ das Produkt in produziert wird. -20 x³ + 240 x² - 2420x-760=0 (201x²³-12x² - 21x - 3×) =0) - 20x (x²-12x-21) 7600 -20%=ROMO IXA x12x2²0 wo -20 (x³ - 12x² - 21 x-37) = 0 Nad 58- -20(x (x²-12x -21-37))=0 ||| 20(x (x²-12x - 58)) ==0 4-12 2 X = -2² V → nachste sette $$$ 67194 X₁= €315₁7 x₂ = -3,2- X 1+760 1-760 3/3 3/4 [-] GTR verwenden! ㄷ 7/7 лл /13 20x (x²-12x-21)-760 =0 CTR 29, 30 A. Die Nullstellen zeigen die Produk- tionsmenge an, bei dem der Gewin bei Off liegt. M d) HP (711200) HP? NB: g(x) = 0 X = -1051 - 9(x) = -60x² + 480 x - 420 €²-60x² + 480 x - 420=0 1-60 1 x² + 8x + 7 ==0 VJ²-7² 2 4 ± √ 16-7 23,78 = 4± √9 =4+3 x = 7 HB: 9"( x ) / O X₁₂₁ = 1 € ( x ) = -120 × + 4.80 9 (7) = -120-2 + 480 i - 7200-36020 SHP (£(7) = 207 1200) A für x=7 erreicht das Unternehmen den maximalen Gewinn. Randwert betrachtung (e) WB NB: 9"(x) = 0 -120x +480-0 + 120x=4480 X = 4 HB: 9"(x170 9" (x) = - 120 9₁ (4)=-120 mögl. ws XO, d.h. HP bzw. +/- Bei x = 4 hat die Veränderung den... der Produktionsmenger größen Einfluss auf den Gewinn. €²X₁ = -1,517 x₁ = 4₁71 Grenzwerte: fi 500€ g(x) = 500 -20 x ²³ + 240x² - 420x - 760 = 500 1190 X3 = 8₁ 8 (im f(x) = - 00 lim f(x) = +∞0 X-> +∞ Ex-Were in X für die intervallen A: 1 [-00; -1,517] & [ 4,71; 8,8] beträgt der Gewinn über 500€ 8,5/11 [ Randwert- betrachtung 616 irrelevant [-] Beziehe dich hier auf den Sachkontext: ... Stückzahlen. 5 bis 8... [-] 3/3 15/2 5/8 [-] y-Koord. ist 0 (da SP mit x-Achse) 1A8 c) g(x) = 0 -20x²³² A9 f₁(x) = k²x² + 6kx² + 9x (1) f₁² (x)= 3k ² x ² + 12kx + 9 f₂² (x) = 6k²x + 12k ✓ f" (x) = 6k² +240x³²-420x-760=0 · 20 x²³-12x² - 21x + 38 = 0 X (x² - 12x - 21) -- 38 ✓ (2) f(0) = k ².0² + 66.0² +9.0 (3) f₁(x) x=1 X = X₂₁₂= 3 k²²x²²³ + 6kx² + 9x=0 =- 1 2 x (k²x² + 6kx + 9) = 0 X=0 = 6k 2 6k = -91²+1² -9k5+ O 0 2 6k+√9k²-9 +96²-9 (4) (96²-9 S + - (2) LSO Sy (010) A: 2 Schnittpunkte BE 3 6k lage: f(-5² +√96²9) = K². (- qk² + √92²-9)³ + 6k-(-**-* +962-9+6k -6€ +√96²-9 4 +1863+ 5462-54-275 " 79619 (4) Extrema (₁₁(x) = 0 3k²x² + 12kx +9=0:3² 2 k²x² + 4kx + 3 =0 x² + ²/² x + ²/₂ = 0 x 3 3 X = = = ² ²₁² = √(²) ² - ³/1/2 24 --3-√2-3 2 to ++ f X₁=0 x ₁₂ = - 1²/² 2 لا اله را 1 = (u) (² 6²²) = 66² - ( ² ) + 12k -12k+12k = 0 4 K (1) (S) √"(x) = 0 C&D f₁₂" (0) = 66² · 0 + 124 = 12k лак >0 db. TP S (₁) 6k²x + 12k = D 13 6k²x = -12k x = 1/²/2/2 ("""( ² ) = 6k ² 70 1:6k² - 27/ A: 1 WS r Г 10/13 VZW-Test 5/10 H.B. allgemein Typ des WPs Ansatz korrekt +3 [-] 3/4 2 6 1=-k² +6k - 9 s+k+6kMo 612 2 = −3 ±1 k A tr T H 4₁-2 T -1²-10 # 4₂ = -4 f_₂ (x) = 4x²³ - 12x² + 9x -2 y MX n f-₁ (x) = 16x²³ - 24 x² + 9x c) f(0) = (².0² +6k · 0² + 9x0 = 0 ( ₁ (0) = 36².0² + 12k-0+ 9 -) egal was man für ve einsetz es kommt immer 0 +9 = €9 raus. y=9x+n Rest feult Name: Aufgabe 1 a b C a Der Prüfling C begründet anhand der Exponentenregel, dass der Graph der Funktion f punktsymmetrisch zum Ursprung ist. (Alternativ: rechnerischer Nachweis mit f(-x) = -f(x)) Aufgabe 2 d Erwartungshorizont zur ersten Klausur im LK Mathematik 2020/21 bestimmt den Schnittpunkt mit der y-Achse (010) sowie die Schnittpunkte mit der x-Achse ((010), (210) und (-210)). bestimmt die Extremstellen mit Hilfe der notwendigen und der hinreichenden Bedingung (TP bei Ji stellt die Funktionsgleichung für die Wendetangente auf (t(x) = -x). bestimmt mit Hilfe der ersten Ableitung die Steigung in den äußeren beiden Nullstellen (m=5) und begründet, dass die Tangenten an diesen Stellen parallel sein müssen, da die Steigung an beiden Stellen gleich ist. Summe Aufgabe 1 X = Aufgabe 3 $. und HP bei x = - Der Prüfling weist (unter Verwendung der notwendigen und der hinreichenden Bedingung) anhand des Vorzeichenwechselkriteriums nach, dass f an der Stelle x = -1 einen Sattelpunkt und an der Stelle x = 2 einen Tiefpunkt besitzt. Summe Aufgabe 2 bfalsch", da die Steigung (und damit der Wert der ersten Ableitung) an der Stelle x = -2 kleiner (negativ) ist als an der Stelle x = -1 (positiv). Der Prüfling antwortet wahr", da der Funktionswert an der Stelle x = 1 größer ist als der Funktionswert an der Stelle x = -1. wahr", da die erste Ableitung die Tangentensteigung angibt und bei x = 1,5 eine Stelle mit waagerechter Tangente vorliegt. falsch", da der Graph an der Stelle x = -1 linksgekrümmt ist und dies darauf hinweist, dass die zweite Ableitung dort nicht negativ ist. (Vgl. Lehrbuch für den genauen Zusammenhang.) Summe Aufgabe 3 mögl. 2 8 10 13 4 33 mögl. err. 9 9 mögl. 2 3 3 3 err. 11 err. 1 Aufgabe 4 Aufgabe 5 a Der Prüfling gibt die Wendestellen des Graphen an (x= -0,7; x = 0; x = 0,7). b gibt das Krümmungsverhalten des Graphen an (Rechtskrümmung für x < -0,7 und 0<x<0,7 sowie Linkskrümmung für -0,7 <x<0 und x > 0,7). C C skizziert den Graphen der ersten Ableitung anhand der Stellen, an denen f waagerechte Tangenten hat (Nullstellen von f' beix=-1, x=0 und x = +1) und anhand der Wendestellen von f (lokale Minima von f' beix = -0,7 und x = 0,7, lokales Maximum bei x = 0). Summe Aufgabe 5 Aufgabe 6 a b Der Prüfling bestimmt die ersten beiden Ableitungen der Funktionenschar (f(x) = 3x² + 2ax und f (x) = 6x + 2a) und bestimmt a zunächst mit dem Ansatz fá () = 0 (a=- -3), anhand der zweiten Ableitung nachzuweisen, dass f(x) einen Tiefpunkt bei x = Summe Aufgabe 4 um dann besitzt. d e b Der Prüfling antwortet falsch", da der Funktionswert von f an der Stelle x = -2 sogar negativ ist (-3). falsch", da die Wendestellen von f den Extremstellen von f' entsprechen und f' im dargestellten Intervall zwei Extremstellen hat. Aufgabe 7 с wahr", da f' an der Stelle x = -3 einen VZW von positiv nach negativ hat. falsch", da bei x = 1,5 keine Extremstelle, sondern ein Sattelpunkt von f vorliegt. wahr", da f' an drei Stellen den Wert -2 annimmt und f damit an drei Stellen die Steigung -2 hat. Die Tangenten an diesen Stellen sind parallel zu y = -2x + 1,5, da sie die gleiche Steigung haben. Summe Aufgabe 6 Der Prüfling a bestimmt rechnerisch HP (014), TP (-11-2) und TP (11-2) (unter Verwendung von NB und HB). -3 (unter Verwendung von NB bestimmt rechnerisch die Wendepunkte W:(13) und W₂(- und HB). bestimmt rechnerisch das Krümmungsverhalten des Graphen von f, z. B. indem Werte der 2. Ableitung an beliebigen Stellen in den Intervallen bestimmt werden, die sich durch die mögl. 7 7 mögl. 3 4 6 13 mögl. 3 3 3 3 4 16 19 11 err. mögl. err. 6 err. err. 2 a d bestimmt rechnerisch die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f an der Stelle x = 1,5 (y = 45x-60,125). Summe Aufgabe 7 Aufgabe 8 b C d e Wendestellen ergeben (linksgekrümmt für x <- A f *<j>. x a Der Prüfling rechtsgekrümmt für - und für x> -√√< bestimmt g(3)=-400 mit Hilfe des GTR und erklärt, dass der tägliche Gewinn des Unternehmens -400 € beträgt (d.h. 400 € Verlust), wenn das Produkt mit der Stückzahl 3 produziert wird. bestimmt g(5)= 640 mit Hilfe des GTR und und berechnet z. B. mit 640 30= 19200 [€] den monatlichen Gewinn des Unternehmens. bestimmt mit Hilfe des GTR rechnerisch die Nullstellen der Funktion g (x= -1,08, x = 3,78 und x = 9,3) und erklärt, dass man die erste Nullstelle vernachlässigen kann, weil es keine negativen Stückzahlen geben kann und dass man anhand der weiteren Nullstellen den Bereich erkennen kann, in dem das Unternehmen überhaupt Gewinn macht (vgl. Aufgabenteil a), bei Stückzahlen zwischen 4 und 9). bestimmt mit Hilfe des GTR rechnerisch das lokale Maximum der Funktion (unter Verwendung der NB und HB; HP(7|1200); Begründung, dass dies auch das globale Maximum im Bereich [0;00) ist, da g(0)=-760 und lim g(x) = ∞) und erklärt, dass das Unternehmen bei der Stückzahl 7 den maximalen Gewinn erreicht. Aufgabe 9 bestimmt mit Hilfe des GTR rechnerisch die Wendestelle der Funktion g im Intervall [2; 6] (z. B. anhand der Extremstelle der ersten Ableitung in diesem Intervall, unter Verwendung der NB und der HB; Wendestelle bei x = 4) und erklärt, dass eine Änderung der Produktionsmenge an dieser Stelle die größte Auswirkung auf den Gewinn hat, da die Steigung hier maximal ist. rad bestimmt mit Hilfe des GTR rechnerisch die Stückzahlen, für die der Gewinn über 500€ liegt, mit dem Ansatz g(x)=500 (Intervall [= 4,7; = 8,8]; Maximum (711200)), also für Stückzahlen zwischen. 5 und 8. Summe Aufgabe 8 Der Prüfling (1) gibt die ersten drei Ableitungen an (f(x) = 3k²x² + 12kx +9; f(x) = 6k²x + 12k; f(x) = 6k²), (2) berechnet den Schnittpunkt mit der y-Achse (S,(010)), (3) berechnet die Schnittpunkte mit der x-Achse ((010) und (-10)), (4) berechnet die Extremstellen (mit NB und HB, bei x = -TP und bei x = - -HP), 41 mögl. err. 3 5 4 7 13 11 6 44 mögl. err. 3 2 8 13 3 b C -) und gibt an, dass es sich (5) berechnet die Wendestelle (mit NB und HB, Wendestelle bei x = - um eine Rechts-Links-Wendestelle handelt, weil an dieser Stelle ein Tiefpunkt der ersten Ableitung der Funktionenschar vorliegt (da f" (-)> > 0). Individuelle Lösung berechnet die Steigung an der Stelle x = 0 mit Hilfe der ersten Ableitung (m = 9) und gibt die Tangentengleichung an (y = 9x). Summe Aufgabe 9 Insgesamt sind folgende Punktwerte für die Lösungsqualitäten zu vergeben: Gesamt Die Klausur wird mit Ort / Datum: gut (plus) Unterschrift: 8.10.20 bewertet. 10 4 40 21FT