Produktform und Vielfachheit von Nullstellen – Funktionen in Produktform einfach erklärt

Die Produktform

Nullstellen direkt ablesen

In der Produktform lässt sich die Funktion leicht analysieren.

• Produktform: Hat die Gestalt $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)...$
• Nullstellen: Die Werte $x_1, x_2...$ machen die Klammern zu Null.
• Leitkoeffizient: Der Faktor $a$ bestimmt das globale Verhalten für sehr große $x$-Werte.

💡 Tipp: Vorzeichen umdrehen: Bei der Klammer $(x - 3)$ liegt die Nullstelle bei $+3$.

Vielfachheit von Nullstellen

Verhalten am Graphen

Die Potenz einer Klammer bestimmt, wie der Graph die x-Achse schneidet.

• Einfache Nullstelle: Graph schneidet die x-Achse linear (z.B. bei $x_1$ in $(x-x_1)$).
• Doppelte Nullstelle: Graph berührt die Achse und kehrt um (Extrempunkt bei $(x-x_2)^2$).
• Dreifache Nullstelle: Graph schneidet die Achse als Sattelpunkt (bei $(x-x_3)^3$).

💡 Achtung: Unterscheide $(x - 2)^2$ (doppelte Nullstelle bei $2$) von $(x - 2)(x - 8)$ (zwei einfache Nullstellen).

Funktionen aufstellen

Funktionsgleichung ermitteln

Aus den Nullstellen und einem Zusatzpunkt $P$ bestimmst du die Gleichung.

• Ansatz: Nullstellen in die Produktform einsetzen.
• Punktprobe: Punkt $P(x|y)$ einsetzen, um den Streckfaktor $a$ zu berechnen.

Beispiel: Nullstellen bei $-4$ und $+2$, Punkt $P(2|3)$ gegeben.

• Ansatz: $f(x) = a(x + 4)(x - 2)$
• $a$ berechnen: $3 = a(2 + 4)(2 - 2)$ -> $a$ bestimmen.

💡 Tipp: Der Grad der Funktion entspricht der Summe aller Vielfachheiten der Nullstellen.