Fächer

Fächer

Mehr

Produktregel und Kettenregel: Aufgaben mit Lösungen pdf 🧮

Öffnen

Produktregel und Kettenregel: Aufgaben mit Lösungen pdf 🧮
user profile picture

Lucy

@lucy_prz

·

13 Follower

Follow

Die Produktregel ist eine grundlegende Methode in der Differentialrechnung, die es ermöglicht, das Produkt zweier differenzierbarer Funktionen abzuleiten. Diese Regel ist besonders nützlich für komplexe Ableitungen und bildet die Basis für fortgeschrittene mathematische Konzepte.

  • Die Produktregel wird angewendet, wenn eine Funktion das Produkt zweier differenzierbarer Faktoren ist.
  • Die Formel lautet: (u·v)' = u'·v + u·v', wobei u und v die beiden Faktoren sind.
  • Bei drei Faktoren erweitert sich die Regel zu: (u·v·w)' = u'·v·w + u·v'·w + u·v·w'.
  • Die Regel kann mit anderen Ableitungsregeln wie der Kettenregel kombiniert werden, um komplexere Funktionen zu differenzieren.

5.2.2021

248

Produktregel: Eine Grundlage der Differentialrechnung

Die Produktregel ist ein fundamentales Konzept in der Differentialrechnung, das die Ableitung des Produkts zweier differenzierbarer Funktionen ermöglicht. Sie wird angewendet, wenn eine Funktion f(x) als Produkt zweier Faktoren u(x) und v(x) dargestellt wird: f(x) = u(x) · v(x).

Definition: Die Produktregel besagt, dass für eine Funktion f(x) = u(x) · v(x), wobei u und v differenzierbar sind, die Ableitung f'(x) = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x) ist.

Diese Regel lässt sich merken als: "Erster Faktor abgeleitet mal zweiter Faktor unverändert plus erster Faktor unverändert mal zweiter Faktor abgeleitet."

Example: Für f(x) = x² · x³ = x⁵ ergibt die Anwendung der Produktregel: f'(x) = 2x · x³ + x² · 3x² = 2x⁴ + 3x⁴ = 5x⁴, was der direkten Ableitung von x⁵ entspricht.

Die Produktregel kann auch auf Funktionen mit drei Faktoren erweitert werden:

Highlight: Bei drei Faktoren lautet die Produktregel: (u·v·w)' = u'·v·w + u·v'·w + u·v·w'

Example: Für f(x) = (2x²) · (3x⁴) ergibt die Anwendung der Produktregel: f'(x) = 4x · 3x⁴ + 2x² · 12x³ = 12x⁵ + 24x⁵ = 36x⁵

Die Produktregel kann auch in Kombination mit anderen Ableitungsregeln wie der Kettenregel oder der Quotientenregel angewendet werden, um komplexere Funktionen zu differenzieren.

Example: Für f(x) = (x³ + x²) · (x² + x) ergibt die Anwendung der Produktregel und anschließende Vereinfachung: f'(x) = 5x⁴ + 8x³ + 3x²

Die Beherrschung der Produktregel ist essentiell für fortgeschrittene mathematische Analysen und findet Anwendung in verschiedenen Bereichen wie Physik, Ingenieurwesen und Wirtschaftswissenschaften.

PRODUKTREGEL
Die Funktion f sei das Produkt der beiden differenzier-
baren Faktoren u und v.
f(x) = u(x) · V(X)
- Dann ist auch die Funktion

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

Knowunity wurde bei Apple als "Featured Story" ausgezeichnet und hat die App-Store-Charts in der Kategorie Bildung in Deutschland, Italien, Polen, der Schweiz und dem Vereinigten Königreich regelmäßig angeführt. Werde noch heute Mitglied bei Knowunity und hilf Millionen von Schüler:innen auf der ganzen Welt.

Ranked #1 Education App

Laden im

Google Play

Laden im

App Store

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

4.9+

Durchschnittliche App-Bewertung

13 M

Schüler:innen lieben Knowunity

#1

In Bildungs-App-Charts in 11 Ländern

950 K+

Schüler:innen haben Lernzettel hochgeladen

Immer noch nicht überzeugt? Schau dir an, was andere Schüler:innen sagen...

iOS User

Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Philipp, iOS User

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Lena, iOS Userin

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

Knowunity wurde bei Apple als "Featured Story" ausgezeichnet und hat die App-Store-Charts in der Kategorie Bildung in Deutschland, Italien, Polen, der Schweiz und dem Vereinigten Königreich regelmäßig angeführt. Werde noch heute Mitglied bei Knowunity und hilf Millionen von Schüler:innen auf der ganzen Welt.

Ranked #1 Education App

Laden im

Google Play

Laden im

App Store

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

4.9+

Durchschnittliche App-Bewertung

13 M

Schüler:innen lieben Knowunity

#1

In Bildungs-App-Charts in 11 Ländern

950 K+

Schüler:innen haben Lernzettel hochgeladen

Immer noch nicht überzeugt? Schau dir an, was andere Schüler:innen sagen...

iOS User

Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Philipp, iOS User

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Lena, iOS Userin

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

Produktregel und Kettenregel: Aufgaben mit Lösungen pdf 🧮

user profile picture

Lucy

@lucy_prz

·

13 Follower

Follow

Die Produktregel ist eine grundlegende Methode in der Differentialrechnung, die es ermöglicht, das Produkt zweier differenzierbarer Funktionen abzuleiten. Diese Regel ist besonders nützlich für komplexe Ableitungen und bildet die Basis für fortgeschrittene mathematische Konzepte.

  • Die Produktregel wird angewendet, wenn eine Funktion das Produkt zweier differenzierbarer Faktoren ist.
  • Die Formel lautet: (u·v)' = u'·v + u·v', wobei u und v die beiden Faktoren sind.
  • Bei drei Faktoren erweitert sich die Regel zu: (u·v·w)' = u'·v·w + u·v'·w + u·v·w'.
  • Die Regel kann mit anderen Ableitungsregeln wie der Kettenregel kombiniert werden, um komplexere Funktionen zu differenzieren.

5.2.2021

248

 

11

 

Mathe

16

Produktregel: Eine Grundlage der Differentialrechnung

Die Produktregel ist ein fundamentales Konzept in der Differentialrechnung, das die Ableitung des Produkts zweier differenzierbarer Funktionen ermöglicht. Sie wird angewendet, wenn eine Funktion f(x) als Produkt zweier Faktoren u(x) und v(x) dargestellt wird: f(x) = u(x) · v(x).

Definition: Die Produktregel besagt, dass für eine Funktion f(x) = u(x) · v(x), wobei u und v differenzierbar sind, die Ableitung f'(x) = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x) ist.

Diese Regel lässt sich merken als: "Erster Faktor abgeleitet mal zweiter Faktor unverändert plus erster Faktor unverändert mal zweiter Faktor abgeleitet."

Example: Für f(x) = x² · x³ = x⁵ ergibt die Anwendung der Produktregel: f'(x) = 2x · x³ + x² · 3x² = 2x⁴ + 3x⁴ = 5x⁴, was der direkten Ableitung von x⁵ entspricht.

Die Produktregel kann auch auf Funktionen mit drei Faktoren erweitert werden:

Highlight: Bei drei Faktoren lautet die Produktregel: (u·v·w)' = u'·v·w + u·v'·w + u·v·w'

Example: Für f(x) = (2x²) · (3x⁴) ergibt die Anwendung der Produktregel: f'(x) = 4x · 3x⁴ + 2x² · 12x³ = 12x⁵ + 24x⁵ = 36x⁵

Die Produktregel kann auch in Kombination mit anderen Ableitungsregeln wie der Kettenregel oder der Quotientenregel angewendet werden, um komplexere Funktionen zu differenzieren.

Example: Für f(x) = (x³ + x²) · (x² + x) ergibt die Anwendung der Produktregel und anschließende Vereinfachung: f'(x) = 5x⁴ + 8x³ + 3x²

Die Beherrschung der Produktregel ist essentiell für fortgeschrittene mathematische Analysen und findet Anwendung in verschiedenen Bereichen wie Physik, Ingenieurwesen und Wirtschaftswissenschaften.

PRODUKTREGEL
Die Funktion f sei das Produkt der beiden differenzier-
baren Faktoren u und v.
f(x) = u(x) · V(X)
- Dann ist auch die Funktion
keylock

Melde dich an, um den Inhalt freizuschalten. Es ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Werde Teil der Community

Verbessere deine Noten

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

Knowunity wurde bei Apple als "Featured Story" ausgezeichnet und hat die App-Store-Charts in der Kategorie Bildung in Deutschland, Italien, Polen, der Schweiz und dem Vereinigten Königreich regelmäßig angeführt. Werde noch heute Mitglied bei Knowunity und hilf Millionen von Schüler:innen auf der ganzen Welt.

Ranked #1 Education App

Laden im

Google Play

Laden im

App Store

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

4.9+

Durchschnittliche App-Bewertung

13 M

Schüler:innen lieben Knowunity

#1

In Bildungs-App-Charts in 11 Ländern

950 K+

Schüler:innen haben Lernzettel hochgeladen

Immer noch nicht überzeugt? Schau dir an, was andere Schüler:innen sagen...

iOS User

Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Philipp, iOS User

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Lena, iOS Userin

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.