Quadratische Funktionen – Hauptform, Produktform & Scheitelform einfach erklärt

Die drei Funktionsformen

Darstellungsformen im Überblick

Quadratische Funktionen treten in drei typischen Formen auf.

• Hauptform: $f(x) = ax^2 + bx + c$, ideal zum Ablesen des $y$-Achsenabschnitts $c$.
• Produktform: $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ zeigt dir sofort die Nullstellen $x_1$ und $x_2$.
• Scheitelform: $f(x) = a(x - d)^2 + e$ verrät dir direkt den Scheitelpunkt $S(d|e)$.

Umrechnung zur Hauptform

Durch einfaches Ausmultiplizieren kommst du immer zur Hauptform zurück.

Beispiel: Produktform $f(x) = (x-3)(x+1)$ ausmultiplizieren:

1. Klammern auflösen: $x^2 + x - 3x - 3$
2. Zusammenfassen: $x^2 - 2x - 3$

💡 Tipp: Achte beim Ablesen des Scheitelpunkts $S(d|e)$ aus der Scheitelform immer auf das umgedrehte Vorzeichen bei $d$ in der Klammer.

Nullstellen und Scheitelpunkt berechnen

Nullstellen mit der ABC-Formel

Mit der Mitternachtsformel berechnest du die Nullstellen für die Produktform.

• Formel: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
• Beispiel: Für $x^2 - 2x - 3 = 0$ gilt: $x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2}$
• Ergebnis: $x_1 = 3$ und $x_2 = -1$

Scheitelpunkt berechnen

Den Scheitelpunkt $S(x_s | y_s)$ bestimmst du direkt aus der Hauptform.

• Formel für $x_s$: $x_s = -\frac{b}{2a}$
• Berechnung $y_s$: Setze $x_s$ in die Funktion ein: $y_s = f(x_s)$

💡 Tipp: Wenn du die Nullstellen $x_1$ und $x_2$ bereits kennst, liegt $x_s$ immer genau in deren Mitte.