Quadratische Funktionen leicht erklärt – Formeln, Scheitelpunkt & pq‑Formel

Die drei Funktionsformen

Darstellungsformen

Quadratische Funktionen treten in drei typischen Formen auf.

• Normalparabel: Die einfachste Form lautet $f(x) = x^2$.
• Scheitelpunktform: Zeigt direkt den Scheitelpunkt $S(d|e)$ über $f(x) = a(x-d)^2 + e$.
• Normalform: Die ausmultiplizierte Form lautet $f(x) = ax^2 + bx + c$.

Formenumrechnung

Beispiel: $f(x) = (x+2)^2 - 3$ (Scheitelpunktform)

1. Binomische Formel anwenden: $x^2 + 4x + 4 - 3$
2. Zusammenfassen zur Normalform: $x^2 + 4x + 1$

💡 Tipp: Achte beim Ablesen des Scheitelpunkts $S(d|e)$ auf das umgedrehte Vorzeichen bei $d$ in der Klammer.

Nullstellen mit der pq-Formel

Die pq-Formel anwenden

Gleichungen der Form $x^2 + px + q = 0$ löst du direkt mit der Formel $x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$.

• Voraussetzung: Vor dem $x^2$ darf keine Zahl stehen und auf einer Seite muss $= 0$ stehen.

Beispiel: $x^2 - 10x + 21 = 0$ mit $p = -10, q = 21$

1. Einsetzen: $x_{1,2} = 5 \pm \sqrt{25 - 21}$
2. Lösen: $x_{1,2} = 5 \pm 2 \Rightarrow x_1 = 7, x_2 = 3$

💡 Tipp: Steht eine Zahl vor dem $x^2$, teile zuerst die gesamte Gleichung durch diese Zahl.