Rein quadratische Gleichungen

Rein quadratische Gleichungen sind einfach zu erkennen und zu lösen. Sie enthalten nur x² und Zahlen.

Definition: Eine rein quadratische Gleichung hat die Form ax² = b, wobei a und b Zahlen sind.

Bei diesen Gleichungen kann man direkt die Wurzel ziehen, um die Lösungen zu finden.

Highlight: Es ist wichtig, immer an beide mögliche Lösungen zu denken - die positive und die negative Wurzel.

Beispiele für rein quadratische Gleichungen:

1. x² = 25 mit den Lösungen x₁ = -5 und x₂ = 5
2. 3x² = 48, umgeformt zu x² = 16, mit den Lösungen x₁ = -4 und x₂ = 4
3. 2x² - 128 = 0, umgeformt zu x² = 64, mit den Lösungen x₁ = -8 und x₂ = 8

Vocabulary: Lösungsmenge - Die Menge aller Lösungen einer Gleichung, z.B. L = {-5;5}

Es gibt auch Fälle, in denen rein quadratische Gleichungen nicht lösbar sind, nämlich wenn das Ergebnis eine negative Zahl ist, aus der keine reelle Wurzel gezogen werden kann.

Lösungsformel für quadratische Gleichungen

Die Lösungsformel ist eine universelle Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen.

Lösungsformel ohne Vorfaktor

Für Gleichungen der Form x² + px + q = 0 gilt die Formel:

x₁/₂ = -p/2 ± √((p/2)² - q)

Beispiel: x² + 14x + 24 = 0 p = 14, q = 24 Lösungen: x₁ = -12 und x₂ = -2

Lösungsformel mit Vorfaktor

Für Gleichungen der Form ax² + bx + c = 0 muss die Gleichung zuerst durch a geteilt werden, um die Standardform zu erhalten.

Beispiel: 3x² + 9x - 84 = 0 Nach Division durch 3: x² + 3x - 28 = 0 p = 3, q = -28 Lösungen: x₁ = -7 und x₂ = 4

Tipp: Achten Sie immer auf die Vorzeichen bei der Anwendung der Lösungsformel.

Highlight: Bei allen Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen ist es wichtig, daran zu denken, dass das Ergebnis nach dem Wurzelziehen sowohl positiv als auch negativ sein kann.

Diese Zusammenfassung bietet einen umfassenden Überblick über die verschiedenen Methoden zum Lösen von rein quadratischen Gleichungen und zum Verstehen von gemischt quadratischen Gleichungen. Die Quadratische Ergänzung Tipps und Tricks sowie die Anwendung der Lösungsformel sind wichtige Werkzeuge für Schüler, um diese Art von mathematischen Problemen zu meistern.