Sinus & Kosinus am Einheitskreis – einfache Erklärung zu Grad- und Bogenmaß

Sinus und Kosinus am Einheitskreis

Koordinaten am Kreis

Der Einheitskreis hat den Radius $r = 1$. Jeder Punkt $P(x|y)$ auf der Kreislinie lässt sich direkt durch die Winkelfunktionen beschreiben.

• Kosinuswert: Entspricht der $x$-Koordinate (Ankathete), also $x = \cos(\alpha)$.
• Sinuswert: Entspricht der $y$-Koordinate (Gegenkathete), also $y = \sin(\alpha)$.
• Punktschreibweise: Jeder Punkt hat die Koordinaten $P(\cos(\alpha) | \sin(\alpha))$.

💡 Tipp: Merk dir einfach: Kosinus ist der Korridor ($x$-Achse) und Sinus ist die Säule ($y$-Achse).

Elementare Kreisteile

Bogenlänge und Sektorfläche

Ein Mittelpunktswinkel $\alpha$ bestimmt einen Kreisbogen $b$ und einen Kreissektor mit der Fläche $A_s$. Beide Größen sind proportional zum Winkel.

• Kreisbogen $b$: Berechnet sich über $b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r$.
• Sektorfläche $A_s$: Berechnet sich über $A_s = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot r^2\pi$.

Beispiel: Für $r = 2$ und $\alpha = 90^\circ$: $b = \frac{90^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot 2 = \pi \approx 3,14$

💡 Tipp: Der Bruch $\frac{\alpha}{360^\circ}$ gibt dir einfach an, welchen Anteil des gesamten Kuchens du gerade betrachtest.

Beliebige Winkel

Erweiterung der Definition

Am Einheitskreis können wir Sinus, Kosinus und Tangens für Winkel weit über $90^\circ$ hinaus und sogar für negative Winkel definieren.

• Tangens: Ist definiert als das Verhältnis $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ (für $\cos(\alpha) \neq 0$).
• Drehrichtung: Positive Winkel drehen sich gegen den Uhrzeigersinn, negative im Uhrzeigersinn.

💡 Tipp: Achte auf das Vorzeichen: Im zweiten Quadranten (links oben) ist der Kosinus negativ, aber der Sinus positiv.

Symmetrien am Einheitskreis

Winkelbeziehungen

Durch Spiegelungen am Einheitskreis lassen sich Winkel im zweiten, dritten und vierten Quadranten auf spitze Winkel zurückführen.

• Zweiter Quadrant: Es gilt $\sin(\alpha) = \sin(180^\circ - \alpha)$ und $\cos(\alpha) = -\cos(180^\circ - \alpha)$.
• Vierter Quadrant: Es gilt $\sin(\alpha) = -\sin(360^\circ - \alpha)$ und $\cos(\alpha) = \cos(360^\circ - \alpha)$.

💡 Tipp: Skizziere dir bei Vorzeichenfragen immer schnell die vier Quadranten des Einheitskreises auf.

Das Bogenmaß

Eine neue Einheit für Winkel

Das Bogenmaß beschreibt die Weite eines Winkels über die Länge des dazugehörigen Kreisbogens im Verhältnis zum Radius.

• Verhältnis: Der Quotient $\frac{b}{r}$ ist für jeden Winkel konstant.
• Definition: Dieses Verhältnis nennt man Bogenmaß $\alpha_{RAD}$ eines Winkels.

💡 Tipp: Im Einheitskreis ($r=1$) ist das Bogenmaß exakt so lang wie der Kreisbogen selbst.

Umrechnung Grad- und Bogenmaß

Von Grad zu Radiant

Winkel können im Gradmaß ($\alpha_{DEG}$) oder im Bogenmaß ($\alpha_{RAD}$) angegeben werden.

• Umrechnungsformel: $\frac{\alpha_{DEG}}{\alpha_{RAD}} = \frac{360^\circ}{2\pi}$
• Wichtige Entsprechung: Ein voller Kreis hat $360^\circ \mathrel{\widehat{=}} 2\pi$ und ein halber Kreis $180^\circ \mathrel{\widehat{=}} \pi$.

Beispiel: Winkel $90^\circ$ ins Bogenmaß umrechnen: $\alpha_{RAD} = 90^\circ \cdot \frac{2\pi}{360^\circ} = \frac{\pi}{2}$

💡 Tipp: Stelle deinen Taschenrechner für das Bogenmaß immer auf RAD und für das Gradmaß auf DEG um.

Periodische Funktionen

Die Kosinuskurve

Trägt man die Werte von $\cos(x)$ für alle reellen Zahlen $x$ (im Bogenmaß) in ein Koordinatensystem ein, erhält man die Kosinuskurve.

• Periodische Funktion: Die Funktionswerte wiederholen sich in regelmäßigen Abständen $P$.
• Periode der Kosinusfunktion: Nach einer vollen Drehung von $2\pi$ (bzw. $360^\circ$) wiederholt sich der Graph.

💡 Tipp: Eine Funktion ist periodisch, wenn sich ihr Graph nach einer Verschiebung um die Periode $P$ in $x$-Richtung selbst deckt.