Baumdiagramm & Vierfeldertafel

Pfadregeln im Baumdiagramm

Mehrstufige Zufallsexperimente lassen sich übersichtlich als Baum darstellen.

• Pfadmultiplikation: Wahrscheinlichkeit eines Pfades durch Multiplikation der Ast-Wahrscheinlichkeiten berechnen.
• Pfadaddition: Wahrscheinlichkeiten mehrerer Pfade für ein Ereignis einfach addieren.
• Komplementärregel: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten auf einer Stufe ergibt immer $1$ ($100\%$).

Laplace-Experimente & Vierfeldertafel

• Laplace-Experiment: Jedes Ergebnis hat exakt dieselbe Wahrscheinlichkeit, wie beim fairen Würfel ($P = \frac{1}{6}$).
• Vierfeldertafel: Veranschaulicht zwei Merkmale; perfekt zum Ablesen von Schnittwahrscheinlichkeiten.

💡 Tipp: Achte bei Aufgaben genau darauf, ob mit oder ohne Zurücklegen gezogen wird, da sich sonst die Wahrscheinlichkeiten auf der zweiten Stufe ändern.

Stochastische Unabhängigkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Gibt an, wie wahrscheinlich Ereignis $B$ ist, wenn Ereignis $A$ bereits eingetreten ist.

• Formel: $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
• Beispiel: Ziehen ohne Zurücklegen verändert die Chancen der nächsten Stufe.

Stochastische Unabhängigkeit prüfen

Zwei Ereignisse beeinflussen sich gegenseitig nicht.

• Bedingung: Es muss $P_A(B) = P(B)$ gelten.
• Prüfung in der Vierfeldertafel: Ist $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ wahr, sind die Ereignisse unabhängig.

💡 Tipp: Wenn im Baumdiagramm auf der zweiten Stufe überall die gleichen Wahrscheinlichkeiten stehen wie auf der ersten, ist das Experiment stochastisch unabhängig.

Kombinatorik & Bernoulli

Kombinatorik-Formeln

Bestimmung der Anzahl an Möglichkeiten für verschiedene Ziehungsarten.

• Mit Zurücklegen & mit Reihenfolge: Berechnung über $n^k$ (z. B. Passwort-Kombinationen).
• Ohne Zurücklegen & ohne Reihenfolge: Berechnung über den Binomialkoeffizienten $\binom{n}{k}$ (z. B. Lotto).

Bernoulli-Ketten

Ein Experiment mit nur zwei Ausgängen (Erfolg mit Chance $p$ oder Misserfolg mit $1-p$).

• Bernoulli-Formel: $P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$ für genau $k$ Treffer bei $n$ Versuchen.

💡 Tipp: Den Binomialkoeffizienten $\binom{n}{k}$ tippst du im Taschenrechner meistens mit der Taste "nCr" ein.

Binomialverteilung

Kumulierte Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeiten für Intervalle werden durch Addieren der Einzelwahrscheinlichkeiten zusammengefasst.

• Höchstens k Treffer: $P(X \le k) = P(X=0) + \dots + P(X=k)$
• Mindestens k Treffer: Berechnung über das Gegenereignis mit $P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)$.

Beispiel: 10-mal würfeln. Wahrscheinlichkeit für mehr als 4 Sechsen: $P(X > 4) = 1 - P(X \le 4)$.

💡 Tipp: Lies in Aufgabenstellungen ganz genau den Unterschied zwischen "weniger als" ($<$) und "höchstens" ($\le$) heraus.

Erwartungswert & Streuung

Erwartungswert und Fairness

Der Erwartungswert $E(X)$ zeigt, welches Ergebnis man auf lange Sicht durchschnittlich erhält.

• Berechnung: $E(X) = \sum x_i \cdot P(X=x_i)$
• Faires Spiel: Ein Spiel ist genau dann fair, wenn der Erwartungswert $E(X) = 0$ ist.
• Binomialverteilung: Hier gilt die vereinfachte Formel $\mu = n \cdot p$.

Standardabweichung

Ein Maß dafür, wie stark die Werte um den Erwartungswert streuen.

• Berechnung: Standardabweichung $\sigma = \sqrt{V(X)}$, wobei $V(X)$ die quadrierte Varianz ist.

💡 Tipp: Das Maximum einer Binomialverteilung (höchste Säule im Histogramm) liegt immer ganz nah am Erwartungswert $\mu$.

Histogramme & Kenngrößen

Histogramme manipulieren

Wie sich Änderungen der Parameter auf die Grafik der Binomialverteilung auswirken.

• Stichprobenumfang n: Ein größeres $n$ macht das Histogramm flacher und breiter.
• Erfolgswahrscheinlichkeit p: Ein größeres $p$ verschiebt das Maximum nach rechts.

Standardabweichung bei Bernoulli

• Formel: $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$

Beispiel: $n = 500$, $p = \frac{1}{6}$ $\sigma = \sqrt{500 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6}} \approx 8,3$

💡 Tipp: Wenn $n \cdot p \cdot (1-p) > 9$ ist, spricht man von einer breiten Verteilung, bei der die Sigma-Regeln angewendet werden dürfen.