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Mathematih-Klausur: Stochastil Noah Norges 1. Teil A 1 a) E₁ = {(W₁ W₁R)} P(E₁) = = 60 · 6 · 1 = 0 = 3² 325 10 5 b) S2 = {(W₁U); (R, R); (R, U); (W.R)} (c) 315 S AA 9 12 W e) 6 (W), 4(R), n (G) P(G) = ₁ n = 5 R d) E₂ = {(R, R); (U.R):(2,4)} E₂ = {(W₁U} ~ 5 1 15 12 P(È) - 3 · § · 3 · 3 (- 45 : 3) 3 1 = 9 P(E₂J) = 1 - P(E₂ ) = 1 - ² = ² ✓ S P(G) ======~ → E, müven 5 galbe Kusel sein, damit die WK diese zuzichen 1/2 ist. 08.03 2022 Hor GK2 313 212 पाप 313 212 1 EF M (Hon) 3. Klausur Name: Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln Noah Nötger 2. Klausur: Stochastik Stochastik Allgemeine Hinweise: Beachten Sie, dass die Darstellung Ihrer Lösungen in die Bewertung mit zwei Punkten eingeht. Kommentieren Sie Ihre Lösungen so durch Zwischenschritte, Bemerkungen und Antwortsätze, dass der Lösungsweg klar nachvollziehbar wird Achten Sie auch darauf, den GTR sinnvoll und zeitsparend einzusetzen und dessen Nutzung durch entsprechende Kommentare deutlich zu machen. 08.03.22 Bei dem Operator ,,Berechne" oder dem Zusatz ,,rechnerisch" sind zudem Ansätze, Lösungswege und Ergebnisse explizit anzugeben. Runden Sie Ergebnisse falls nötig auf zwei Nachkommastellen. Hilfsmittel für Teil II: GTR und Formelsammlung Zeitvorgabe: 70 Minuten + Restzeit aus Teil I Viel Erfolg! X: Anzahl Kopf H: abs. Häufigkeit Aufgabe 2: Münzwurf (10 Punkte) Bei einem Zufallsexperiment wird eine normale Münze 3-mal geworfen und die Anzahl der geworfenen „Köpfe" notiert. Dies wird durch die Zufallsgröße X beschrieben. Nach 60 Ausführungen dieses Experiments ergibt sich folgende Häufigkeitsverteilung: 0 4 2 21 lub a) Berechnen Sie die durchschnittlich pro Lottoschein aufgetretene Anzahl richtig getippter Zahlen x. (2 P.) 1 25 3 10 b) Geben Sie eine passende Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X an und berechnen Sie den Erwartungswert u für die Anzahl an Köpfen beim dreifachen Münzwurf. (5 P.) c) Erklären Sie, wieso es zu einem Unterschied zwischen dem Erwartungswert u und dem arithmetischen Mittel x kommt. Wie müsste man das Experiment verändern, um eine Annäherung der Werte zu erzielen? (3 P.) Bitte wenden! EF M (Hon) Aufgabe 3: Vierfeldertafel und bedingte Wahrscheinlichkeit 3. Klausur In einem Hotel ergibt eine Befragung der Gäste, dass 40% aus beruflichen Gründen (Ereignis B) übernachten, die anderen geben private Reisegründe an. 70% der Gäste bleiben länger als eine Nacht (Ereignis L). 45% der Gäste reisen aus privaten Gründen und bleiben länger als eine Nacht. B a) Geben Sie den Sachverhalt in einer Vierfeldertafel an. (3 P.) B Summe Stochastik L 25% 45% V 70% ī 15% 15% 30% 69 08.03.22 (18 Punkte) Sumne 40% 60% 100% b) Stellen Sie den Sachverhalt in einem Baumdiagramm dar. Betrachten Sie dabei das Merkmal B auf der ersten Stufe und beschriften Sie alle Pfade und Pfadenden mit den passenden Wahrscheinlichkeiten. (4 P.) c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass.... 1)... Frau Direktorin Paulsen beruflich reist und mehrere Tage bleibt. 2) Herr Schmidt nur eine Nacht bleibt, wenn man weiß, dass er private Gründe hat. 3). Herr Müller aus einem beruflichen Grund reist, wenn man weiß, dass er nur eine Nacht gebucht hat. (7 P.) d) Überprüfen Sie rechnerisch, ob der Reisegrund Einfluss auf die Dauer des Aufenthalts nimmt. (4 P.) 313 EF M (Hon) 3. Klausur Aufgabe 4: Glücksrad Stochastik Ein Glücksrad hat einen schwarzen Sektor mit dem Winkel a und einen weißen Sektor mit dem Winkel 360°- a. Es wird zweimal gedreht. Der Spieleinsatz beträgt 5 €. Gewonnen hat man, wenn in beiden Fällen der gleiche Sektor kommt, dann erhält man eine Auszahlung von 8 €. Zunächst gilt: Der Winkel a des schwarzen Sektors sei 120°. Die Zufallsvariable X beschreibt den Gewinn in €. 08.03.22 (16 Punkte) a) Geben Sie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Gewinn an. (4 P.) b) Ist das Spiel fair? Nehmen Sie begründet Stellung. (4 P.) Der Winkel a des schwarzen Sektors soll nun so verändert werden, dass das Spiel fair wird. Dies ist der Fall, wenn die Gewinnwahrscheinlichkeit P(Gewinn) == beträgt. Geschafft c) Bestimmen Sie rechnerisch den Winkel a so, dass das Spiel fair wird, indem Sie ... 1) ... die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des schwarzen Sektors mit p annehmen und einen Term für die Gewinnwahrscheinlichkeit aufstellen und diesen vereinfachen, 2)... den Term so für p lösen, dass das Spiel fair wird, 3)... mit Hilfe von p den Winkel x ermitteln.. (8 P.) Mathematik-Klausur: Stochastik Noah Nötges // Teil 2 A1 a) (6) 10 M₁ = 0+G+1.25 +2.25 +3.200 60 X H P X WK 97 60 10 21 25 25 25 t = t· 60 X = 0·4 + 1·25+ 2.21 +3·10): 60 = 97/60 = 1,62 0 2 4/60 25/60 21/60 0,425 + 0,925 21 +2.60 3 4 + man 3 10/60 0,925 P=U·U·U 10 60 GO 11,62 c) Der Erwerbungswert bedrübt das zu erwartende stochastiche Ergebnis eines Versuches ider unendlich oft durchgeführt wurde. Es beruht also auf relation Zahlen Der arithmetiche Mettel ist da abcolate Durchschnitt. A Von daher mink viel öfters cals 60 ml werten, um eine Annäherung de beden bishe r zieten. zin er 08.03.2022 Hor I falsche 11 1 Verwendy von= 1/2 713 0₂₁) M = 1.0,125 +2.0₁825+ 3·0,825 = 1,5 (v) → Durschnitt 1,5 Köpfe kinn Dröfuatia vart 315 || Were 314 11 Ansah falsch 517 914 43 6) d P(Bah) 25% PCBT P(L) ✓ P(Z) 40% & P (L) = P(224) P(BnL) PCB) A Pz CZ) F P(LnB) 0.25 0,25 I L 15%45% P.(4) (PCB) 0,25 0,4 X 60% B P(Z) 2(3-2)= 0,15 P(B) 0,6 P(BnI) 0,15 = 0,5 = SOX. V = 0,625 = 62,5% Pz (B) = d) ↳ Aut stochasticctn bohämishat prüfen I 157 · = 0,25 = 25% 25%. J = P(L) - P(B) V 0.7 0,4 0.28 = Stochastische Abhängighest ✓ → Revesrund hat einen Einfluss auf die Dowwe des AG a Annahme: Beim Verlieren Gewinn = -56 X: Gewindel b) P(3€ Gain) = 360 120-360+ P(-566) = 1-$19 = 4/9 342 c) P (Gewinn) = 5/8 1) (P· P + P 360 360 360 2 t -5€ P 4/9 fair²: M = 0 M² 3-¾g + (-5). 4/9 = - V Das Spiel ich nicht fair, da madd(M#0] V 240 >60 + P :p² = 225) 2 V 240 268 man auf Damer Verliche 360 = P(Gewinn) = $18 1.360 p² + (1-p)² ✓ 5/8 P² + 1² +2p+p² = 5/8 V - 5/8 par to sas p² + 1²-2p+ p² - ¾/18 = 0 + S F 2) = 0,25² +0,₁75² = 0,625 = 5/8 qued 3) α= 0₁25 - 360° = 900 v 2= 0,75-360² = 2700 4/4 P₁ = 0,25 u 1₂ = 0,75 bzw P = 0,75 bau P=0,25 Notation A: Schwarz muss einer Wicked von 90° haben. oder 270° haben! 414 Notation God = nicht 3 818 M EF (Hon) Name: 1. Urnenexperimente 2. Aufgabe Münzwurf 3. Vierfeldertafel und bedingte 4. Wahrscheinlichkeiten Glücksrad Form/Darstellung Gesamt sehr gut 60-53 Noah Note: Unterschrift: 3. Klausur - Bewertung Kompetenz a) ... kann die gesuchte Wahrscheinlichkeiten berechnen. b)... kann die Ergebnismenge korrekt angeben. c)... kann das Experiment in einem Baumdiagramm darstellen und beschriften. d) ... kann die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses berechnen. e) ... kann die Anzahl bestimmen. a) ... kann das arithmetische Mittel berechnen. b) kann eine Wahrscheinlichkeitsverteilung angeben und den Erwartungswert berechnen. c) ... kann den Unterschied erklären und wie das Experiment verändert werden müsste. a)... kann den Sachverhalt in der Vierfeldertafel angeben. b)... kann den Sachverhalt in. einem Baumdiagramm darstellen und die Pfade beschriften. c) ... kann die gesuchten Wahrscheinlichkeiten bestimmen. d) ... kann auf stochastische Unabhängigkeit prüfen. a) ...... kann eine Wahrscheinlichkeitsverteilung angeben b) ... begründet Stellung nehmen, ob das Spiel fair ist. c)... kann den Winkel bestimmen. gut 52-45 gut befriedigend 44-37 (+) Kon Punktzahl Bemerkung 3 1/3 2 12 4 14 3 13 212 113 falsche 315 1.13 313 314 517 4 /4 4 14 414 8 18 212 52/60 ausreichend 36-29 8.3.22 FOR! towerdy= Notation Datum: bitte wiederholen/üben mangelhaft 28-13 X Tice ungenügend 12-0