Alternativer Bildtext:

zurücklegen % ZoZ p (E) = { r P 13/12 2-maliges Ziehen->2-stufiges ZE b b b) B: ,,kein rot" bzw. ,,2 x blau" P(B) = P(bb) = 48 c),jeweils 1 x rot & 1 x blau" P(C)= P(rb) + P(br) b (n=7) 2. Zug/Stufe 243 d. h. 2 Ergebnisse gehören zum Ereignis! Laplace Regel: Anzahl der zum Ereignis gehörenden Ergebnisse (günstige Ergebnisse) Anzahl aller möglichen Ergebnisse des Zufallsversuchs © Baumdiagramme Produktregel entlang des Pfades multiplizieren Summenregel: alle Enden der Pfade zsm.:100% -1.Stufe: 100% -2.Stufe (je Pfad): 100% @SIP_AND_STUDY Bedingte Wahrscheinlichkeit PA (B) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B, wenn man weiß, dass A eingetreten ist. Es gilt: P₁(B)= Beispiel P(AnB) P(A) PA (F) = STOCHASTISCHE (UN-)ABHÄNGIGKEIT Vereinigungszeichen P(AB) Bzw. P₂(A)= P(B) = P(FAG) 0,25 5 = P(AG) = 0,625= 62,5% 0,4 ↑ Günstige Fälle Alle möglichen Fälle Kenngrössen empirisch (Statistik) -charakterisiert durch x und s B B Σ A P(ANB) P(AB) P(A) APAB) PAB) P(A) Σ P(B) P(B) 1 F Σ AG 0,15 0,45 0,6 AG 0,15 0,25 0,4 0,3 0,7 1 Zwei Ereignisse A,B mit P(A)>0 und P(B)>0 heißen unabhängig, wenn gilt: P(AnB)=P(A) P(B)| > theoretisch (Stochastik) -Prognosen zu empirischen Kenngrößen x und s -charakterisiert durch Erwartungswert Hund theoret. Standardabweichung ->beschreibt Streuung der W'keitsverteilung um den Erwartungswert Erwartungswert (X)=√Var(x) Stochastische Unabhängigkeit Es gilt: zwei Ereignisse E und F sind genau dann unabhängig voneinander, wenn gilt: P(F)=P(F) P(EnF)=P(E) P(F) d.h. E ist vorher schon eingetreten! Andernfalls sind E und F voneinander abhängig (bedingen einander) Ĵ 202 Es gilt: P (F) + P(F) ->bedingte W'keit X₁ به P(xi) 2 (111) 1 36 P(En F) <=> PE (F)=P(E) Varianz Var(X)= (x₁ -H)³²p. = (x₂-H)²p₂ + + (x₂-H)² p ¡A Erwartungswert 3 (112) (211) 21 36 13 4 (212) (113) (311) 3 1 36 12 5 (114) (411) (213)(312) 2|= 36 9 12 (616) 1 36 1 Erwartungswert M = 2 +3 +4· 36 1 13 b t +5. = 7 M=X₂₁· P(X₁) + X₂ P(X₂)... Wenn der Erwartungswert =0 ist, ist das Spiel fair. (0€ Einsatz) Bei 7€ Einsatz-Erwartungswert: 7 Man muss den Einzahlungswert mit dem Einsatz verrechnen, um Gewinn zu machen @SIP AND STUDY Beispiel: Einseitiger Signifikanztest linksseitiger Test H₂p 2 Po Ablehnungsbereich Annahmebbereich n=100 p=70% x-5% => a=-62 A=[62: 100] A=[0: 61] Vorgehensweise: 1. Zufallsgröße X und Nullhypothese Ho festlegen 2. Welche Art von Test (linksseitig/rechtsseitig) 3. Annahme-/Ablehnungsbereich bestimmen >InversBinomial(n.p.a) 1. Ho: p=0.7 H₁ p <0.7 2. linksseitiger Test 3. A= [a: 100] >linksseitig: >rechtsseitig: 100%-X 4. Überprüfen, ob angegebener Wert im Annahmebereich liegt >Ja? Hypothese wird bestätigt >Nein? Hypothese wird verworfen 5. Ggf. Irrtumswahrscheinlichkeit berechnen P(X≤ a)> 5% CAS: InversBinomial(100, 0,7, 0,05) HYPOTHESENTESTS rechtsseitiger Test Hip ≤ Po 4. Angegebener Wert: 78 >stimmt, da 78 im Annahmebereich liegt Annahmebbereich 5. P(A)=P(X<61)=0,034 >CAS: Binomial(100,0.7.0..61) n=100 p=70% x-5% 1. Ho: p=0.7 H₁ p >0.7 2. rechtsseitiger Test 3. A= [0 : b] =>b=77 A=[0:77] A-[78: 100] Ablehnungsbereich P(X< b) >95% CAS: InversBinomial(100, 0.7.0.95) Fehler bei Hypothesentests Fehler 1. Art (Irrtumsw'keit) -eine richtige Hypothese wird fälschlicherweise verworfen! 5. P(A)=P(X278)=0,048 >CAS: Binomial(100, 0.7.78_100) P(A)-P(X259) mit n-100 A-[59-100] HP-0.5 Fehler 2. Art -eine falsche Hypothese wird fälschlicherweise angenommen 4. Angegebener Wert: 78 >stimmt nicht, da 78 im Ablehnungsbereich liegt >Hypothese wird verworfen P(A)=P(X₂58) mit Puin = 0.7 A=[0:58] Zweiseitiger Hypothesentest Nullhypothese: H₂ P= Po Gegenhypothese: H₂₁: P# Po 。 [0; a-^] a [a;b] b [b+in] Ablehnungsbereich Annahmebbereich Vorgehensweise: 1 Zufallsgröße X und Nullhypothese Ho festlegen 2. Signifikanzniveau halbieren (für oberen und unteren Ablehnungsbereich) 3. Annahme-/Ablehnungsbereiche berechnen >CAS: InversBinomial(n.p.) >a: 을 >b: 100%-% 4. Überprüfen, ob angegebener Wert im Annahmebereich liegt >Ja? Hypothese trifft zu >Nein? Hypothese wird verworfen 5. Ggf. Irrtumsw'keit berechnen >Binomial(n. p. 0..(a-1))+ Binomial(n. p. (b+1)_n) 2 3. Beispiel: 1. X-Anzahl der Käufer n-100 p-15% -5% Ho: p = 0.15 H₂; p + 0.15 x = 5% => 2=2,5% Ablehnungsbereich P(X≤ a)>0,025- 2,5% P(X< b)>0,975- 97,5% InversBinomial(100, 0.15.0,025)-> a=8 InversBinomial(100. 0.15. 0.975)=> b=22 A-[8:22] A-[07] [23.100] 4. Angegebener Wert: 22 >Die Hypothese kann bestätigt werden, weil der Wert im Annahmebereich liegt. 5. P(A)=P(X<7)+ P(X223) ↑*0.0122 beträgt höchstens 5%, da x=5% Das Signifikanzniveau ist die maximale Irrtumsw'keit (z.B. 5% oder %). Sie ist die Höchstw keit, die Hypothese zu verwerfen, obwohl sie zutrifft/richtig ist. sie ist die Wkeit des Ablehnungsbereiches. @SIP_AND_STUDY Binomialverteilung Vorgehensweise: 1. Erwartungswert H berechnen 2. Standardabweichung berechnen 3. Sigmaintervall bestimmen H-O= a + 0 = b BINOMIALVERTEILUNG I I [H-OH+0] Runden (in Intervall hinein) 4. Wahrscheinlichkeiten der Sigmaintervalle berechnen P(a < X < b)= =>CAS: Binomial(n.p.a...b) Standardabweichung -> als sinnvollste "Abweichung vom Erwartungswert o(x)=√n p q o √n.p.(^1-p) P(M-0≤x≤M+0) ≈ 68,3% P(5,6 ≤ x ≤ 10,4) ≈ 68,3% Erwartungswert Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit n und p(Erfolgsw'keit) => q (Misserfolgsw'keit) Beispiel: an => H(x)ist keine Wkeit I mit H = H(x)= n-p im Histogramm (Säulendiagramm) =>CAS: Binomial (n. p) kann man den Enwartungswert ablesen (s. höchste Säule) H=n-p 1. H=10 0,6 = 6 2. n=10 p=0.6 3. I= [57] 1₂5= [39] Is=[2:10] In Intervall hinein runden! X= Anz. der Treffer Erwartungswert H(x)gibt die im Mittel zu erwartende Anzahl an Treffern 10-Intervall: H-d=4,45 +0=7,55 20-Intervall: H-20=2,9 μ+20=9,1 30-Intervall μ-30-1,35 +30=10,65 Вло;ав =√n-p.(1-P) √10-0,6-(1-0,6)' ~1,55 4. P (5 < X <7)≈ 0.666 P26 (3< X <9) 0,982 30 (2<x< 10) 0,998 CAS: Binomial(10, 0,6,5..7) 0,05- Binomialkoeffizient: nCr(n. k) W'keit für genau k Treffer: Binomial (n.p.{k}) kumulierte W'keit von 0 bis k: Binomial (n.p.O...k) Zwischenw'keit: Binomial (n. p. 3..10) ..Gib die W'keit davon an, für entweder 1, 2 oder 3." Lösung: CAS-Befehle 99,9% P(H-0<x<H+0) ~ 68,3% P(H-20<x<H+20) 95,4% P(H-30<x<H+ 30) 99,7% 4 P(X-r) 40 P(1)+P(2)+P(3) >ablesen+berechnen Sigma-Regeln 45 68% 50 P(H1,640< X <H+ 1,640) * 90% P(H1,960< X<H+ 1,960) 95% P(H2,58 < X <H+ 2,580) ~ 99% n-125 p= 0,4 60 20 30 Anzahlr 70° @SIP AND STUDY Bernoulli-Formel >als besondere W'keitsverteilung Bernoulli-Experimente sind ZE bei denen es genau 2 Ausgänge gibt: Erfolg: Misserfolg! Z.B. 6-maliges Würfeln (6 als Erfolg) Erfolgsw'keit: Misserfolgsw'keit: q= 2/ Amzani der Place =>P(X=2)= 15-()*)* genau 2x eine 6 bei Gwürfen 슴 p= genau k Erfolge P(X=k)-(k) p²qnk ↑ BINOMIALVERTEILUNG II Die Anzahl der Pfade kann man z.B. m.H.d. Pascal'schen Dreiecks bestimmen mit q-1-p Anzahl der Pfade 4 5 10 10 6 15 20 15 1.2 2.2 3 Fakultät 3.2 4.2 k-Anzahl der Erfolge n= Anzahl der Durchführungen/Länge der Bernoulli-Kette p= Erfolgswahrscheinlichkeit q-1-p Misserfolgsw'keit (2) ist der sogenannte Binomialkoeffizient, mit dem man die Anzahl der Pfade berechnet für k Treffer 31 = 3-2-1-6 n! = n(n-1)-(n-2)... n! Es gilt: () (n-k)! Mindestens-Mindestens mindestens-Aufgaben gesucht sind der Parameter p und der Parameter n Beispiel: Farbblindheit x= Anzahl der Farbblinden gesucht: In einem Land sind 4% der männlichen Bevölkerung farbenblind. Wie groß muss eine Gruppe von Männern im Land mind. Seinn, damit zu mindestens 90%, mindestens einer aus der Gruppe farbenblind ist? >n ist gesucht p=0,04% k>1 Gegenw'keit Binomialkoeffizient ohne Taschenrechner n= 6; k=2 oder P(X > 1)2 0,9 1- P(X=0) 20,9 1-(5)-0,04 0,96"> 0,9 +1 6! 2! (6-2)! 2^ 1- 0,96 2 0,9 -1 -0,962-0,1 0,96 <0,1 log n=log0.96 0.1=1099,96 *56.41 Exp. Logarithmus von 0,1 zur Basis 0,96 =>A: mind. 57 Männern 6! 21 41 (2) - 6:5 die gleiche Anzahl an Faktoren runterzählen 6.5.4 (3) = 1·2·3 hochzohlen bis k= 3 Geogebra: nCr(n. k) CAS: Löse(1-Binomial(n. 0,04 . {0})>0,9) n=56.40... mind. 57 Männer anderes Bsp: p gesucht: Löse(1-Binomial(100, p. 0.3)20.5) @SIP AND STUDY BINOMIALVERTEILUNG III Histogramme hier α.5% AP(X-k) Ablehnungsbereich 2,5% Zur Darstellung einer Binomialverteilung B >Die Höhe der jeweiligen Säule gibt die W'keit für X-k (Treffer) an. Die Breite der Säulen beträgt je 1! Es gilt: P(X=0)++P(X=n) = 1 = 100% => Flächeninhalt der Säulen insgesamt= 11 Histogramm.. Hier geht es um die Fläche" 2=2,5% ->Annäherung durch Kurve, also durch einen Fkt.graphen der sogenannten Glockenfunktion PM, und zugehöriger Integralfunktion Smodx Annonmatreich =>HP bestimmen ->Erwartungswert H und zugehörige W'keit =>WP bestimmen->Wendestellen ergeben die Breite der Glockenkurve (H-0: μ+0) 95% Alehnungsbereich 2,5% Thk ↑ -2,5% Einfluss der Parameter n und P Änderung von n bei festem p Änderung von p bei festem n -größeres n: Erwartungswert, Streuung größer -größeres p: Verteilung wandert nach rechts -Verteilung wird breiter, flacher >Erwartungswert wird größer P(X=K) festes p=0,4 0,2+ 0,1+ O n=15 n=30 10 auf Binomialverteilungen D 20 K P(X= k) 0,2+ 0,1 P=03 p=0,4 10 festes n=20 20 k @SIP AND STUDY ALLGEMEINES Disjunkte Mengen F Zahlenmengen E und F sind hier disjunkte Mengen (keine gemeinsamen Ergebnisse) >P(EVF)=P(E)+ P(F) => (dass entweder E oder F eintritt) F Vereiningungsereignis oder Vereinigungsmenge: Euf (Ergebnisse, die in E oder liegen) Es gilt: P(EUF) = P(E)+ P(F)-P(EF) Scnnittmenge in E & F doppelt enthalten 7 1 IN 0 100 0 Teilmenge -17 Durchschnittsereignis => NCZ (..Teilmenge von") (..enthalten in") F E Schnittmenge: En F (alle Ergebnisse, die zu E und F gehören) und Komplementärereignis Ereignismenge E& Gegenereignismenge E Es gilt: P(E)= 1-P(E) E @SIP AND STUDY Allgemeines Definition (geometrisch) Die Menge aller Pfeile, die in Länge, Richtung (parallel) und Orientierung (Pfeilspitze) übereinstimmen, heißt Vektor. Ein Vektor kann durch unendlich viele Pfeile angegeben werden, die von einem Ausgangspunkt zu einem Zielpunkt führen. Man benötigt aber lediglich einen Repräsentanten. Koordinatenebenen In der x,x,-Ebene, wenn x,-0 ist P (P₁1 P₂10) In der x₂x3-Ebene, wenn x₁=0 ist P (01 P₂1 P.) In der x,x,-Ebene, wenn x₂-0 ist P (P₁101P) Allgemein gilt mit A (al al a3) und B ( bal b₂l b₂) OB-OA hinten minus vorne" Vektor VEKTORRECHNUNG I Spiegelung oder an der KO-Ebene *^ (21314) Arten von Vektoren Nullvektor: Der Vektor der Länge 0 heißt Nullvektor und besitzt keine Richtung und Orientierung. Gegenvektor: Der Vektor, der mit a in Länge und Richtung übereinstimmt, aber eine entgegengesetzte Orientierung hat, heißt Gegenvektor zu and Ortsvektor Der Vektor (3), mit dem man vom Ausgangspunkt 0 (010) zum Endpunkt A (212) gelangt, heißt Ortsvektor OA= (2) zum Punkt A ✓ Gegenvektor X. (Bodenebene) *A (2131-4) z.B. an der x,x₂-Ebene →X-Koordinate ändert das Vorzeichen Einheitsvektor a Der Vektor heißt Einheitsvektor zum Vektor a, wenn | | 1 und und a dieselbe Richtung haben. Rechengesetze Kommutativgesetz a+b=b+d Assoziativgesetz (b + c) = (a + b) + Kommutativgesetz r (sa) =(r·s) a Assoziativgesetz r (a+b)= r drb₁ (r + s) a=ra+sa =-2 -'^ -λ. Rechnen mit Vektoren 1) Vektoraddition Die Vektoren werden ,,aneinander gehängt." Der Summenvektor läuft vom Anfangspunkt von zum Endpunkt von b BC 1 → Es gilt: a b geometrisch Laufe Vektor OA und AB zu M"! OM = OA+AB =OA+ (08-0A) =0A+208-20A = 0A+ OB (0A 08) ⇒d-b=b+d a D₂ 0₁-b 19₂ X₂4 → Koordinatenweise addieren 2) Vektorsubtraktion Der Differenzvektor verläuft vom Ende von b zum Ende nd bzw. Vom Anfang von - zum Ende von d AB AB *C a+b A (2 1 11-2); B(-5 1 119) A M B AB=0B - OA=() OMOA AB 3) Skalar- Multiplikation (Multiplikation mit dem Faktor re IR) Es gilt: r =)) Z.B. r 3 ã Mittelpunkt einer Strecke Der Vektor a wird hier mit r-3 vervielfacht. Multipliziert man einen Vektor mit einem Skalar (mit re IR), so erhält man einen Vektor, der in Richtung und Orientierung übereinstimmt, oder r-mal so lang ist. Koeffizienten Linearkombination Eine Summe bzw. Differenz von Vielfachen von Vektoren nennt man Linearkombination Z.B. r·a+s.b+t.c 2.0 + 4.C 26-3 etc. Formeln oder oder OM = OA + ² ABM (0₂ + b²|a₁ +²²+²) M = ² (0+ 0) OM- OA+ AB=() M (-1,5 1 11 3,5) oder: M (a₁ + b²a₁ + b₂a₂+ b) M (2+(-5) | ^+^-2+9) M (-1,5 1 11 3,5) oder: OM= (OA+ 0B8) @SIP_AND_STUDY PARAMETERFORM IN KOORDINATENFORM IE: X² = (-₁) +r · (²³) + s (8) 11 RV₂ || RV₂ 1. Normalenvektor berechnen =RV₁x RV₂ Koordinatengleichung aufstellen KREUZPRODUKT/VEKTORPRODUKT 1. Vektor 1 zweimal untereinander schreiben 2. Vektor 2 ebenfalls zweimal untereinander schreiben (rechts daneben, bündig mit der anderen Reihe) 3. Obersten und untersten Zahlen wegstreichen. 4. Über Kreuz multiplizieren 2. d berechnen d=n-SV -9 -Kreuzprodukt (3) Skalarprodukt 0·2+11+5-(-2) ->E 0.x₂+x₂ + 5x₂ -9 XetSX, ong EBENENFORMEN 1) Parameter darstellung Ex=prv sw* Stützvektor Spannvektoren 2) Normalengleichung Stützuektor (* -p).ñ-0 (bzw. x-n-p-n-0) Normalenvektor -Vxw als Normalenvektor von E 3) Koordinatengleichung 200 Xon=p²h MX₂ Xanax d mit p-OP und pe E 4) Hesse 'sche Normalenform ges. d (R; E) | RF-4 VEKTORRECHNUNG II Vielfaches der Länge von 5-0-(-40) -^(-1)-(5-0) 15.05.(-1))/ KOORDINATENGLEICHUNG AUFSTELLEN MIT 3 PUNKTEN A(21210); B(4 131 1); ((51812) a.x₂ + b-x₂+ c-x₂= d 1. Die Punkte A, B, C jeweils für x einsetzen > die Zahl de 0 ist frei wählbar 2. LGS lösen NORMALENGLEICHUNG, KOORDINATENGLEICHUNG AUFSTELLEN: Eine Ebene durch P( 41113) hat den Normalenvektor = (3) p-OP und n in (X-P)-n=0 einsetzen [x-(3)]. (³) - > E: 2x₁ - x₂ + 5x₂= d d berechnen: für X₁, X₂, X, die Koordinaten des Punktes P( 41113) einsetzen > d= 2-4-1-1+ 5.3 = 22 >> E: 2x₁-x₂+ 5x₂ = 22 Anwendungen des Vektorprodukts Volumen eines Spats V= 6. h Flächeninhalt eines Parallelogramms A=g h Ap= lax b Flacheninhalt eines Dreiecks Ap= 1 Ap = |AB X ACI 2 Vektoren sind dann parallel zueinander, wenn gilt: T= r. V mit re R & sind vielfache voneinander! ū ūIV Parallelität von Vektoren d.h. gleiche Richtung Man sagt auch und sind linear abhängig oder kollinear oder: o=U+r. V Drei Vektoren , und sind genau dann linear abhängig, wenn ein Vektor als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann. d.h. wenn: rb + s. c = x0 = k·a² + r b ² + s č wobei 6- Ap-lax b) // V-|(ax 5) -<| Nullvektor mit k, r, se IR, nicht alle 0 Die Vektoren sind linear unabhängig, wenn: = k·+r·b+snur erfüllt für k=r=s=0 Volumen einer Pyramide (eines Spats) Vay = 3 Vspat k( x 6). Spat wie ein Quader nur mit Parallelogrammen als Seitenflächen Geometrisch 3 Vektoren heißen komplanar, wenn sie linear abhängig sind. Sie liegen in einer Ebene. 7=d+2b 2 Vektoren heißen kollinear, wenn sie Vielfache voneinander sind Sie sind parallel zueinander. 7 U=P.V @SIP_AND_STUDY Lage von Gerade-Ebene 1) PARALLELITAT a) Paramteterform g ll E, wenn die beiden Spannvektoren Vielfache des Richtungsvektors von g sind. b) Koordinatenform der Normalenvektor n von E ist orthogonal zum RV von g ne Lug ist ablesbar an Koordinatenform 2) GERADE DURCHSTÖBT EBENE/ LIEGT IN EBENE a) Parameterform g() + r. (..) EX=() + s()++ (...) >Gleichsetzen: X₂=X₂ >>(..) + r. (..) = (...) + S - (...) + + · (...) > LGS lösen I LGS hat eindeutige Lsg. >g durchstößt E II. LGS hat unendlich viele Lsg >g-E (Gerade liegt in Ebene) III LGS hat keine Lösung >g II E (parallel) b) Koordinatenform g. x = () • r·()*² E: 2x₁+ 3x₂-x₂= 2 >einsetzen von X...X²₂=X₂=... > 2.(r.) + 3. (..r...)-(.r.) = 2 > Lösen der linearen Gleichung LAGEBEZIEHUNGEN >> r-1 (g durchstößt E) oder >>0.r 30 (keine Lsg >parallel) 0 = 30 oder >>0.r 0 (unendlich viele Lsg.>g=[) 0 = 0 Lage Ebene-Ebene 1) PARALLELITÄT (E, II E₂) die Normalenvektoren sind Vielfache voneinander -r-0₂ 2) SCHNITTGERADE ODER IDENTITÄT a) beide Ebenen in Parameterform E₁ X=()+r() + s. (...) E₂X=()+()+u • (..) >gleichsetzen: XXe, > LGS mit 4 Unbekannten I LGS hat eindeutige Lsg > Schnittgerade (noch bestimmen!) II LGS hat keine Lsg > E, II E₂ (parallel) III LGS hat unendlich viele Lsg. > {₁=E₁₂ b) E, in Parameterform und E₂ in Koordinatenform E₁ X=()+r()+5. (..) ——×····· E₂: 2x₁+ 3x₂= 23 >einsetzen von x.=rs; x₂= rs ; x₂= r. s. in Ebenengleichung von E₂ >2.) 3.) 4-( ) = 2 +4 >Gleichung mit 2 Parametern >s in Abhängigkeit von r angeben >> so...r > in E einsetzen >>Schnittgerade ⇒gll h 2. Überprüfe auf Identität Ah? oder Beg? OA OB + SV oder OB = OA + ru identisch Lagebeziehung zweier Geraden 1. Parallelitat überprüfen ull also = t-V? 1) Winkel zwischen 2 Vektoren uov cos(x) = - mit 0°<< 180° S gh echt parallel Innl cos (a)= In 2) Winkel zwischen 2 Geraden luov cos(a)= Tu-1 0° ≤x≤ 90° => arccosd 3) Winkel zwischen 2 Ebenen a ?° cos => a? arccosd 0° ≤x≤ 90° >Die Normlenvekoren der Ebenen schließen den gleichen Winkel ein, wie die Ebenen Nein 2. Überprüfen auf Schnitt durch Gleichsetzen: X₂ = Xn →lösen des LGS 165 hot Lsg Schnittwinkel Bsp: g&h schneiden sich Schnittpunkt bestimmen mit = (3) und ✓ = (3) CAS arccosd g & h sind windschief zueinander ↓ fertig 1) lul-√30 u. V =√14 2) V-18 => COS (x)=√√=0,878 16S hat keine Lsg cos" oder arccos => 28.56* Skalarprodukt (u,v) abs(u) abs(v) U-V oder: arccosd \ lul Ivl 4) Zwischen Gerade g und Ebene E sin(a)= Tun arcsind CAS 18 arccosd => α= 28.56 √14 @SIP_AND_STUDY Abstand Punkt-Gerade P hat von g verschiedene Entfernungen. Die kleinste dieser Entfernungen ist der Abstand von P zu g. >Abstand als orthogonale Verbindung hier: d(Pg)-IPQI mit PQ9 Ist IPQI der Abstand von P zu g, so nennt man Q den Lotfußpunkt von P auf g 1. Möglichkeit 1 Allgemeinen Punkt der Geraden aufstellen 2 Vektor aus dem OV des Punktes und des allgemeinen Punktes aufstellen 3 Betrag des Vektors berechnen Mit GTR t ausrechnen 5. d(t) berechnen d'(t) bilden und 0 setzen >t berechnen 7 Wert für t in d(t) einsetzen 8 Lotfußpunkt berechnen >Wert für t in allgemeine Form P eingeben 2. Moglichkeit 1 Allgemeinen Punkt der Geraden aufstellen 2. Vektor aus dem OV des Punktes und des allgemeinen Punktes aufstellen 3. Skalarprodukt aus allgem. Punkt und RV berechnen >t berechnen 4 Lotfußpunkt berechnen >t in allgem. Form P einsetzen 5. Vektor von Lotfußpunkt F und Punkt R berechnen 6. Betrag von FR berechnen >Abstand des Punktes 3. Möglichkeit d(Righ Für den Flacheninhalt des Parallelogramms gilt: Ap d (R; g) (Ap= g.h) bzw. Mit Hilfe des Vekorprodukts Ap-lux PŘI >gleichsetzen & umstellen lud(R; g)-lux PŘI lux PŘI lu ⇒d(R; g) >Abstand des Punktes von der Geraden gl 2(4171-12) A Pc (-5+4t 12+ 3t 16-25) PER 3. a(t) IPRI √(9-4t)² + (5-3t)² + (-18+ 2 t) ²¹ •√296²-174t+430 4. d'(t) 0 t. 3 R(4171-12) ^. 9 S. (8) 13 →Der Abstand des Punktes R von g beträgt also 13 LE 6 Einsetzen uon t-3 in P 2 · * · (8) - + - ( 1 ) /4-(-5+4t)) -12-(6-2)/ -18-2t (5) 3. 9 F(71/10) · * · ( 1 ) +- (1) Pel-5+4t 12+3t16-2E) PER - (2-12+8+) (3:46) /4-(-5+4+)) -12-(6-2)/ -- =>(9-4t) 4+ (5-3t) 3+ (-18+2+) -O t=3 4. t3 in allgem. Form Pe =>F(711110) 6 F-(-)-(3) 6. FRI-√3)²+(-4)² + 12²-√165 -13 ABSTÄNDE 1. Allgemeine Punkte für die Geraden aufstellen 2. Einen gemeinsamen Vektor aus den beiden Punkten aufstellen 3. Das Skalarprodukt aus dem Vektor und den jeweiligen RV bilden 4 LGS lösen 5. Werte für Parameter jeweils in Geradengleichungen einsetzen >2 Punkte 6. Vektor aus beiden Punkten aufstellen 7 Betrag vom Vektor ausrechnen >Abstand Abstand zweier Punkte Allgemein d(P; Q) = IPQI 3-dimensional d(0, A)-10AI mit OA - (8) = √² +0¹+03 Punktion dem Alastond berechnet wird Abstand windschiefer Geraden Die kleinste Entfernung zwischen den Punkten von g und h 30 oder E:-(-)-0 mit 1 -Berechnung Abstand Punkt-Gerade: Punkt-Ebene von der Normalenform E:-(x-7)=0 zur Hesseform (HNF) durch Division der Normalenform durch die Länge von ² no (2-) T E Stützuektor = √(₁-P₁) ²¹+ (9₂- P₂)² + (a₁-P₁) ²) ABSTANDSBERECHNUNG-HESSE'SCHE NORMALENFORM als Einheitsvektor mit der Länge 1 >Abstandsberechnung d(R.E) d(A; E) * A(214113) V d- 1. 9 x Gę(-1+S1111+25) /8-t-(-1+5)\ hix- +t H₂ (8-t1-6+4tl-s-t) /8-t+1-S 2. GH (GUE-4)= (-646-12) (324) • (-1) + s (2) 19-s-t 3. (1) (4) (2)-0 (2) () ()-0 19-s-t (1) -5s-3t-1 (2) 35+ 18.33 5. Einsetzen ugnsing: Abstand Punkt-Ebene IE: X = (-3) +r (3) + s (8) d. ax + bx₂+ cx-d → Hessesche Koordinatenform Int Bsp P(9-41) E: 3x₁ - 4x3 =-7 - (³) - . 3x₁4x₂ =-7+7-9-√3+4 3x₁ - 4x3+ 7 = 0 =5 Punkt P einsetzen für x, und X3 3.9-4.3+7 d. -6 [LE] 5 3x₁4x₂ +7 G(-2111-3) GH. 1 => S-1; t.2 digin) (GH)√8² + 1² + (-4)²) = √81-9 => Der Abstand der beiden windschiefen Geraden g und h beträgt 9 LE 1) g LE 9: x=0A Einsetzen von t = 2 in h H(6121-7) Normalenvektor von E 2) Durchstoßpunkt von g und E => (31)+ (2) - (23) + (3) + s (8) S jrs... =>0(2 | 11-2) 3) DÃ = lỗ) - DÀI - J3 + 15 d(A; E) = 3√26 @SIP_AND_STUDY n. PQ Punktprobe in einer Ebene A € IE? 1 Punkt mit Ebenengleichung gleich setzen 2. LGS lösen P(-1121-3) Q(2113) --- 1) IL={(r=1; s=2)} →der Punkt liegt auf der Geraden II) IL-{} → der Punkt liegt nicht auf der Geraden E E-> (3) + (1)+(²) OP+r. PQ+ S PŘ *P(-1121-3) gegeben: IE verläuft durch die Punkte P(21011); Q(31316); R (41-112) mit P, Q, R nicht auf einer Geraden! 3x₁-x₂ + 6x₂ =23 1. Gleichsetzen. ()·()+()+ s() L. {} A 4 IE Punkt A liegt nicht in der Ebene GERADEN UND EBENEN g Le jQ (21/13) on liegt in Ebene => 6:1+18 In welchem Punkt S schneidet die Gerade die x. x,-Ebene ·* - (1) +- (3) 9 X₁-koordinare -O 0.2 t 4 umstellex Liegt A(7151-3) in IE? 2. LGS lösen LGS I 7+2+r+2s IS 3r-S 3+ Sr S Spurpunkte/ Spurgerade Spurpunkte Die Punkte in denen eine Ebene die Koordinatenachsen schneidet ting 3x, 23 S₁ X₂ X3=0 =>X₁= => S (²²³1010) 3x₁-06-023 S₂: x₁= x₂ = 0 =>X₂=-23 => S (01-2310) S₂: x₁= x₂ = 0 =>X₂= ²3² => S (0101³) Spurgerade S₁₁² X=(?) + + (²) x= x₂-0 => Spur, die die Ebenen mit der x,x₂-Ebene hinterlässt ...verläuft durch S, & S₂ 1:3 Punkte einer Geraden bestimmen 1. Irgendeinen Wert für t einsetzen. 2. Den Vektor als Punkt aufschreiben. Aufgabe Geben Sie 3 Punkte an, die auf der Geraden g()+(1) liegen 9-7- (1) + +- (1) %. (3) + 0 ()-(3) ()--)) → Die Punkte x₂ (21113), X. (11415) und x₁, (31-214) liegen auf der Geraden g. I Geraden im Raum Werte 0; 1; -1 · (3) +-(1)-(3) 3+ t 5.-7 t5-10 t-2 1. Punkt für einsetzen 2. Reihenweise addieren. 3. Gucken ob die selben Werte für trauskommen wenn ja der Punkt liegt auf der Geraden, wenn nein der Punkt liegt nicht auf der Geraden Aufgabe überprüfen Sie, ob der Punkt A(-71-518) auf giz.()+ t (1) legt. (1) ++ (0)·() Punktprobe 1-3 II -1+t-20-5 1+1 1:5 t-2-4 1-2 t-2 → Der Punkt liegt auf der Geraden 9 (A eg) III 2+(-3)=8 1-2 6-(-3):6 1:(-3) t-2 Gleichung einer Geraden bestimmen Parameter darstellung einer Geraden Stutzvektor Bsp. X₂4 g: x = 0A + ru Stutzvektor Aufpunkt Richtungsvektor Stürzvektor Richtungsvektor Gegeben: A(21 314) auf g und Richtung von g = (1) pa A auf g liegt, ist der Vektor a-(3) ein möglicher Stützuektor von g. Da A und 6 auf g liegen, ist der vektor AB-(3)-(2)·() en möglicher Richtungsvektor von g. Man erhält gt (.) x = (3) + r. (3) Gegeben: 2 Punkte A & B. 9:x=0A+r-AB oder: 9:x=0B + 7 BA gegeben: A(3121-2); B(-11013) 1. Einen der Punkte auswählen, dieser ist dann der Stützvektor. 2. AB ausrechnen (AB-08-0A) Dieser wird zum Richtungsvektor. 3. In Gleichung einsetzen.(g: x=SV+t+RV) Aufgabe Die Punkte A(11-215) und B(4161-2) liegen auf der Geraden 9. Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden g @SIP AND STUDY SPIEGELUNG UND BEWEGUNGSAUFGABEN Spiegelung und Symmetrie PUNKTSPIEGELUNG AN EINEM PUNKT Z: -Ein Punkt P, sein Bildpunkt P' und das Zentrum Z liegen auf einer Geraden OP=OZ + PZ SPIEGELUNG AN EINER GERADEN g: x=(). r. (₂) allgem. Punkt aufstellen: RP berechnen: -Ein Punkt P, sein Bildpunkt P' und der Lotfußpunkt F des Lotes von P auf g bzw. E liegen auf einer Geraden. > OP=OF + PF -Wenn F der Schnittpunkt von g bzw. E mit der Strecke PP' ist gilt: PF = FP r berechnen: P(4 -3 17) Rr(4+ 6r | 12+33r| 1+12r) (4-(4+6r)) RP= Skalarprodukt von RP und RV von X - Gr -A5-38r. 16-12r FO in Formel einsetzen: =>(-6) 6+ (-15-33r) -33+ (6-12r) 12 = 0 r in allgem. Punkt 6-12r r in Rr P (4 6 8 12+33311-12-) F (2111-3) OP OF PE OP'-(3) + (3) SPIEGELUNG AN EINER EBENE P'(051-13) P( 61-411) EX₁-5x₂¹ X₂² 0 OP-() () Gleichung der Lofgeraden aufstellen: Z (0121-3) P(6 1-4 (1) OP-OZ PZ £Xx²= (-²) ₁+· (²7) x₁ = 6 + + x₂=-4-5t X₂= 1+1 Skalarprodukt vom RV und allgem. Punkt =>(-)-(-) => (6+)-5-(-4-5)+(1+4)=0 tin Lotgeradengleichung OF = (-)-₁-(-) PF-(88)-(3) PF berechnen in formel einsetzen OP: OP=OF+ PF OP (5)-(3) - (3) OP'- () () +=-1 P'(461) = ($) P'(-681-7) gegeben: Schiff 1 -15 km/h -bei t=0 befindet es sich in Position A(-31 1) -fährt in Richtung u= Schiff 2 -bei t-0 im Punkt B(213) -nach einer halben Stunde bei ((-8 1 3) Schiff 1: Geradengleichung x=(-²) + + (1) Einheitsvektor berechnen: lil-√4²+3² Une berechnen Modellieren mit Vektoren (Bewegungsaufgaben) (Geschw. Einneitsvektor) neue Geradengleichung Distansfunktion 5 Une 15 [km/m] 15 (0.8) (2) 9. * - (²³) + + (1²) OP₁ (3+2) · 3 (3) = (0,6) Ableitungo setzen 1. Geradengleichungen aufstellen 1) wenn Geschwindigkeit gegeben: Une berechnen →Geschwindigkeit (Einheitsvektor) II) wenn keine Geschw. gegeben: IBC ausrechnen 2. neue Geradengleichung aufstellen mit Unen 3. Ortsvektor von Position P und Q berechnen 4. Distanzfunktion aufstellen d(t)=100-OP1=√ 5. Ableitung bilden und gleich 0 setzen 6. Ergebnis in Gleichung einsetzen Geradengleichung! Geschwindigkeit berechnen Une berechnen t 0,16 (0,16) 0,57 Schiff 2 n-x-(3) tu - (²3) ++ (0) Einneitsvektor berechnen (Geschw. Einneitsvektor) neue Geradengleichung Ữốc đôi lul √(-10)² = 10 Das Schiff ist 20km/h schnell, da es in einer halben Stunde 10 km gefahren ist. (0) (0) /-3+12+) OQ-OP = (2-0)-(+98) d(t) 100-OP √(5-32t)²+(2-9t)² - (2-9t) •√MOSx¹-356x+29 d'(t) 0 Une 20 (0) - (30) h.7.(3) + (2) ∞, (2.20) 10.2.20 t in Gleichung einsetzen Der minimale Abstand ist 0,57 km. Dementsprechend kollidieren die Schiffe nicht. @SIP_AND_STUDY LÖSUNGSVERFAHREN Gauß-Algorithmus Ziel: Stufenform 1. Additionsverfahren anwenden 2. dritte Gleichung nach einer Variable auflösen 3. Ergebnis in 2. Gleichung einsetzen 4. Beide Ergebnisse in die 1. Gleichung einsetzen 1. Additionsverfahren mit der I. und II. Gleichung 6x12y + 1529 2x - 4y + 5z = 3. -3 -6x6y 142 -20 3x + 3y + 7z = 13 (-2) 4x - 2y - 3z = -1 2. Additionsverfahren mit der 1. und III. Gleichung |2x - ³4y + 5z = 3 16-21- 0 18y + z = -17 4x - 2y3z = -1 3. Additionsverfahren mit der II. und III Gleichung 2x - 4y + 5z = 3 0-18y + z = -17 13z= -7 30% - |2x - 4y + 5z = 3 0 18y + z = -17 00-38z=-38 Stufenform 2x-3y -5z = -1 | 0 2y + z = 0 0 0 32= 6 =>z=2¹ 4 dritte Gleichung nach z auflösen III -38z = -38 z = 1 5. z in 2 Gleichung einsetzen und y ausrechnen z = 1~II II-18y + 1 = -17 y = 1 6. y und z in 1. Gleichung einsetzen und x ausrechnen y & ZI I 2x41+5 1=3 2x 4+ 5 = 3 2x = 2 x = 1 IL={(1)} @SIP AND STUDY 1) Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen 2) Extrempunkte bestimmen. 3) Monotonieverhalten 4) Grenzwertverhalten. 5) Überprüfung auf Wendepunkte 6) Symmetrieverhalten 1) Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. f(0) =... Sx (x 1 x) f(x)=0 Sy (x lx) 2) Extrempunkte bestimmen 1. f'(x) bilden 2. f'(x)=0 →notwendiges Kriterium 3. f" bilden. hinreichendes Kriterium 4. Nullstellen der 1. Ableitung in f" einsetzen negativ: HP positiv: TP 5. Nullstellen von f' in f einsetzen →Punkt herausfinden 3) Monotonie verhalten [=]-∞0, 2] (Streng) monoton steigend/fallend 4) Grenzwertverhalten lim f(x) = ∞ X-00 lim f(x)=-co X∞0 streng monoton steigend: x,>x. f(x₂)>f(x) 5) Wendepunkte 1. f" bilden 2. notw. Bed. f"=0 3. hinr. Bei: f'(x)=0 ^ f''(x) +0 oder: f'(x)=0 Vzw bei f'(x) 4. Nullstellen in f einsetzen 6) Symmetrieverhalten f(x)=f(-x) -achsensymmetrisch zur y-Achse -gerade Exponenten f(-x) = -f(x) -punktsymmetrisch zum Ursprung ungerade Exponenten ANALYSIS 7)Krümmungsverhalten -Gf linksgekrümmt: Gf' monoton steigend -Gf linksgekrümmt: f'(x)>0 -Gf rechtsgekrümmt: Gf' monoton fallend -Gf rechtsgekrümmt: f'(x) <0 00 Linkskurve f(x) > 0 N positiv Rechtskurve f(x) <0 negativ f(x) <0 vor Wendestelle-/+ VZW von f" f(x)>0 nach Wendestelle Rechts-Linkskurve linksgekrümmt LA TWP rechtsgekrümmt F: NEW f: f' f" NEW NEW NEW Ableitungsregeln Potenzregel f(x)=x f'(x)=n-x-1 Summenregel f(x)=2x³-8x² f'(x)=6x²-16x Zusammenhang zwischen Augsangsfunktion und Ableitungen Faktorregel f(x)=2x² f'(x)=2-2x = 4x Ausgangsfunktion f HP mit m-02- m>0 Gf fällt bei Rechtskrümmung von f {'(x) <0 1. Ableitung fi 3- 3- 2 f'(x) >0 1- -2 A -1' -1 3 2 2. Ableitung f 1 WP mit mco 1 -^- TP TP mit m-o Gf' fallt bei Rechtskrümmung von f; f"<0 Gf' steigt bei Linkskrümmung von f; f">0 Ge steigt bel linkskrümmung vonf f'(x) >0 f'(x) <0 Đ /fax) <0 -2-Rechtskrúmung /f'(x) >0 →inkskrümmung HP f(x)<O f(x) > 0 TP Sekanten-/Tangentensteigung Begriffe Sekantensteigung mittlere Anderungsrate Differenzenquotient durchschn. Steigung -Differenzenquotient: m= Tangentengleichung f(x)= m-x +b AY Y₂Y₁ f(x₂)-f(x₁) ΔΧ Χέ Χρ X₂X₁ Tangentensteigung, momentane Anderungsrate Ableitung ABLEITUNGEN Tangente: Gerade durch den Punkt P(x. If(x)) mit der Steigung f '(xo) 1. Ableitung bilden 2. Steigung m berechnen →x-Wert des Punktes in 1. Ableitung 3. y-Achsenabschnitt berechnen →x-Wert, y-Wert, Steigung in Gleichung einsetzen nach h auflösen „knickfrei“ z.B. 2 Graphen sollen,,knickfrei" ineinander übergehen (Vgl. Rutsche) 1)-Symmetriever halten -Grenzverhalten -Sx und Sy -Ableitungen -Extrempunkte -Wendepunkte Es gilt: f(x)=g(x) f'(x)=g'(x) gem. Punkt Gleiche Steigung f'(x)=g'(x) f'(x)=g'(x) „ruckfrei" Das Krümmungsverhalten an der entsprechenden Stelle muss gleich sein Es gilt: f(x)=g(x) P(xolf (x₂)) Knickfreier Übergang Funktionenscharen DEFINTITION: Enthält ein Funktionstherm außer der Funktionsvariablen x noch einem Parameter a, so gehört zu jedem a eine Funktion. 2) Ortskurve 1. Koordinaten des Extrempunkts berechnen 2. x-Koordinate (des Extrempunkts) nach Parameter umformen 3. Therm (a=...) in y-Koordinate des Extrempunkts einsetzen Gemeinsame Punkte der Graphen fan (x)=fa₂(x) x²-a₁x²-x+₁x²-a₁x²-x+ a₂ 1-x³+x -a.x² + a₂-a₂x + a₂ 1-0₁+0₂x² a₂x²-a₁x². a₂-a₁ x²(a₂-a)- a₂-a₁ X₂=A X₂ - A 1+(0₂-an) fa (1)-0 fa(-1) 0 → alle Graphen verlaufen durch S. (110), S₂ (-11 Steigung m (4₁-4₂) m= y Achsenabschnitt berechnen YA Lineare Funktionen f(x)= mx+b -Gleichung gleich null setzen 0=mx+b 4y-Achsenabschnitt 3-2 Steigungsdreieck 2+1 14 Nullstelle 0 für f(x)einsetzen 0=m-x+b 1 Nullstelle 2 Steigungsdreieck y Bsp:// f(x)-g-x Vorfaktor Potenz X -1<a<1 gestaucht a-1 und a>1 gestreckt -keine Lösung: geraden parallel Steigung y-Achsenabschnitt -eine Lösung: ein Schnittpunkt Lösungsmenge Gleichung stimmt nicht überein L = { } Aussehen -m positiv: steigt -m negativ: fällt Bei Gleichung ein x- und y-Wert L = {x | y} -unendlich viele Lösungen: Graphen übereinander Auf beiden Seiten der Gleichung die selbe Zahl L = {(x | y) | x= 4+3y} → Beispiel aeR Für a alle realen Zahlen einsetzen ne Z Für n alle ganzen Zahlen einsetzen Positiv X²; X; X Potenzfunktionen FUNKTIONSTYPEN Gerader Exponent Negativ xxx V. -2 -1 -4 Wertetabelle 0 -2 Aussehen 0 1 2 2 4 Ungerader Exponent Positiv X³ X5 X² j Negativ: X³, X5, X² y Achsenabschnitt -für x-0 einsetzen -berechnen Beispiel: f(0) =3-0²-2-0-1 Y(01-1) Faktorisierte Form f(x)= a(x-x₁)(x-x₂) Nullstellen Wichtig Vorzeichen tauschen! In faktorisierte Form umrechnen: -Nullstellen berechnen →Nach x umstellen Sinusfunktion Streckung in y-Richtung Verschiebung in x-Richtung f(x)=a-sin(b-(x-))+d Streckung in x-Richtung Bogenma Gradmaß Bogenmaß 0° 90° 180° 270° 360° -Punktsymetrisch zum Ursprung T Variablen 2π Quadratische Funktionen Verschiebung in y-Richtung -a= Streckfaktor -b/d Verschiebung in x-Richtung -c/e= Verschiebung in y-Richtung Funktionsgleichung aufstellen ya (x-d)' e 1. Scheitelpunkt bestimmen 2. Einen Punkt ablesen und in Gleichung einsetzen 3. Nach a umstellen Begriffe Formel -Normalform: f(x)=ax²+bx+c Schnittpunkt bei y-Achse:(01 c) -Scheitelpunktform: f(x)=a(x-d)²+e S(dle) 90° -Quadratische Ergänzung: f(x)=x²+px+q -Diskriminante: Therm unter der Wurzel (pQ-Formel) 180⁰ 2.70⁰ cos(x) g(x)=sin(x) sin(x) f(x)=cos(x) 4 1- -2- -3- 3act a<o 1 Normalparabel *s(211) 2 Aussehen 3 DX gestaucht a<1<0 gestreckt a>1 Normalparabel a-1 Normalparabel a<1 gestaucht a>1 gestreckt -a nach unten geöffnet a nach oben geöffnet @SIP_AND_STUDY Begriffe Funktionsvorschrift: f: x 3x² + 5 Funktionsgleichung f(x)= 3x² + 5 Funktionsterm: 3x² + 5 Funktion Definitionsmenge Ist die Menge aller x-Werte, denen durch die Funktion f ein Funktionswert zugeordnet werden kann. →→ Alle Werte die man für x einsetzen kann Wertemenge Alle Werte, die rauskommen können. DR Alle (reellen) Zahlen einsetzen DR Alle positiven Zahlen und Null DR Alle positiven Zahlen DR\{o} Alle reellen Zahlen außer Null X=] 0.4 [ x= {1,2,3} Jedem x-Wert wird genau ein y- Wert zugeordnet D = {x²R 1 x ² = } q unter der Bedingung X= [0,4] x= {0,1,2,3,4] Definitionsbereich X= [0,4[ X= {0,1,2,3} XEN XEN Q 3/1 3 4 Z Q Z = ganze Zahlen N natürlich Zahlen -3 -10 Rationale Zahlen FUNKTIONEN 100 N 2 Transformation a. f(bx-c)+ d s(cld) a-Strecken/Stauchen in y-Richtung (obenlunten) O< a < 1 wird gestaucht a >1 wird gestreckt b.Strecken/Stauchen in x-Richtung (rechts/links) O< b < 1 wird gestaucht b>1 wird gestreckt f. soll mit Faktor 2 gestreckt werden f(x) soll mit Faktor gestaucht werden: f(3x) c. Verschiebung in x Richtung BSD verschiebung um 3 Einheiten nach rechts - F(x-3) verschiebung um 2 Einheiten nach links f(x+2) d. Verschiebung nach oben /unten BSP verschiebung um 3 Einheiten nach oben f(x)+3 Normalensteigung -^ mn m g(x)=2x+1 Normale von g(x)=>n(x)=x+1 Streckung In y-Richtung: h(x)=k-f(x) k>0 Faktor k In x-Richtung: h(x)=f(k-x) k>0 1/2 Faktor: Faktor k bestimmen von fox) 2x²+3 g(x)=6x² +9 g(x).k.f(x) 6x² +9. k. (2x²+3) 6:5²+9+ k·(2-5²+3) 159 k.53 3= k g(x). 3. f(x) Ax beliebige zani einsetzen Steigungswinkel Gegenkathete tan Ankathete m= Ay+Gegenkathete Ax Ankathete tan x= m = f'( ) CAS: Löse (tan x=2) @SIP_AND_STUDY BERECHNUNG: obere Grenze [F(x) dx - [F(x)] = F(b)-F(a) untere Grenze Potenzregel f(x)=x² mit ze Z\-1 F(x)= = = 1 f(x) F(x) Funktion f Geschwindigkeit Beschleunigung X 2+1 X x² Wasserzuflussstärke Umfang eines Kreises (r) Oberfläche einer Kugel(r) Wachstumsrate (z.B. Population) Wachstumsgeschwindigkeit (Baum) x³ ES GILT: F'(x)=f(x) INTEGRALRECHNUNG I ,,AUFLEITUNGSREGELN" 1 X x €[a,b] bzw. V x € D₂ Summen-/Differenzregel f(x)=u(x)+v(x) F(x)=U(X) +V(x) Flächeninhalt entspricht nicht immer dem Integralwert! (wenn der Wert negativ ist) SACHZUSAMMENHÄNGE: UNBESTIMMTE INTEGRALE f(x) dx = [F(x)+c] Faktorregel: f(x)=c-u(x) F(x)=c-U(x) f(x)=3x²3-U(x) U(X) BEISPIELE 0 X X x cos(x) sin(x) с -x-x-x* sin(x) -cos(x) Integral bedeutet: Wegstrecke Geschwindigkeit Wassermenge Fläche eines Kreisrings mit Radien a und bi Volumen mit Innenradius a und Außenradius b Zuwachs Größenzuwachs Gesucht: A in I=[-2,0] 1) NST berechnen/ablesen 2) Integrieren von unterer Grenze zu 1.NST, von NST zu NST/oberer Grenze... MITTELWERT VON FUNKTIONEN m=b-a f(x) dx 1,2 [¹] Bsp. f(x) dx gibt die Wassermenge in m¹ an in I ·[0,16 → 10-0(x)αx •10[h] 12 [m²] mehr Fläche oberhalb der x-Achse Wenn Betrag negativ ist und Flächeninhalt ausgerechnet werden soll: Betragsstriche sezten! gibt die durchschnittliche Ausflussrate an! Flächenbilanz Flächeninhalt Flächenbilanz Integralwert Wert >0 Rechenregeln 1) Integrale mit gleichem Integralwert haben den Wert 0 f(xlax=0 2.8. x²dx=0 2) Durch Vertauschen der Integralgrenzen werden die Vorzeichen verändert. $f(x) dx = -f(x) dx Bop. $x³dx-²0 $x²dx=+²² $x³dx.- S'x'ax 3)Intervalladdivität (Geht nur bei der Berechnung von Integralen-nicht abs. Flächeninhalt) Sfaxlax + $ F(xlax • $ f(x)αax 4 4)Linerarität des Integrals {(f(x)+ g(x) dx = $f(x)ax+ g(x)ax Bsp. 4:xYax: 24744 Bsp. $(4x²+2x)αx + $(4x²+ dx 2474,4 (4x²+2x) dx 630 (4x + 2x)dx- 630 $(2x +4x²lax - 8 $(2x Yax + $(4x²) x Uneigentliche Integrale-unbegrenzte Flächen Fläche mit variabler Grenze YA [-[^; 2] Ge mit f(x). 22 (Graph nähert sich der x-Achse an) A. $ f(x) dx - $(3) dx. [-2x^]* . F(z)-F(A) .-27"-(-2) - ²/7/+2 lim f(x) 2-2 -Flächeninhalt ist abhängig von z also von der oberen Grenze aber irgendwann wächst die Fläche nach rechts nicht mehr wirklich. aber der Grenzwert des Integrals existiert 1.Fall: obere Grenze nähert sich der x-Achse A(z) ()dx []+2=2-3 INTEGRALRECHNUNG II Im A-lim (+2) 2 Flächeninhalt nähert sich für große Werte von z 2 FE an. Definition: Untersucht man unbegrenzte Flächen (die Flächen, die von einer variablen Grenze und einer festen Grenze eingeschlossen sind) auf ihren Inhalt, so bildet man den Grenzwert. noch rechts unbegrenzte Fläche, denn die x-Achse ist die Asymptote eine unendlich große toni einsetzen A(z) 2 Die Fläche hat einen endlichen Flächeninhalt von 2 [FE]. [-[^; 2] A(Z) im f(x)=²... A(z) Fläche zwischen 2 Graphen berechnen Negativer Integralwert, da G, unterhalb von 6₂ liegt. 2.Fall: untere Grenze nähert sich der y-Achse $(x) dx - [ - ] ² - - - ² Herleitung [-[2:2] Verschieben der Fläche um c Einheiten X₂▲ $(f(x)+c-(g(x)+c)) dx $(f(x)-g(x)) dx unendlich kleine zoni einsetz Die Fläche hat keinen endlichen Flächeninhalt. -DX G₂+c \G₂+C 1.Schnittpunkt berechnen f(x)=g(x) 2.d(x) berechnen →d(x) = f(x)-g(x) 3. Integral von d(x) berechnen A= $(d(x) dx= [(x)] Volumen von Rotationskörpern Xx-AX₂ GF mit f(x)=√x fixeler Der Graph einer Funktion f rotiert um die x-Achse. Der Körper wird in n gleich dicke Scheiben eingeteilt. Das Volumen einer Scheibe mit dem Radius r und der Dicke h ergibt sich: r Funktionswert an ger jew. Stelle Vscher²k π (f(x)²· Ax Man erhält für das gesuchte Volumen eine Untersumme V (und eine Obersumme Von). Für n (Verfeinerung der Zerlegung) strebt dr Grenzwert gegen das gesuchte Volumen. Ist f im Intervall I-[a,b] stetig, so entsteht bei der Rotation der Fläche zwischen Graph von f und x-Achse über [a,b] ein Körper mit dem Volumen v- $(fx dx = π [F(x)] •πT (F(b)-F(a) [VE] Steckbriefaufgaben Definition: Man nennt diese Art von Aufgaben ,,Steckbriefaufgaben", weil diese wie ein Steckbrief Informationen über die Funktion geben. In den Steckbriefaufgaben sind Eigenschaften der Funktion gegeben und anhand dieser Eigenschaften gilt es die Funktionsgleichung zu bestimmen. 1. Aufstellen der Funktion f(x)=ax +bx+cx +d f'(x)=3ax*+2bx+c f'(x)=bax+2b 2. Aufstellen der Bedingungen + Berechnen I f(2)=4 II f'(2)=0 III f(2)=0 3. Aufstellen des LGS + Lösen 8a + 4b +2c= 2 a+b+c= -1 3a + 2b + c = 0 a=1; b=-1; c=-1 4. Funktion aufstellen f(x)=x² + x² + x ...geht durch den Punkt P(xly) ...schneidet die x-Achse bei 5 ...schneidet die y-Achse bei 5 ...hat an der Stelle x=4 einen Extrempunkt ...berührt die x-Achse an der Stelle x=2 ...hat im Punkt P(214) einen Sattelpunkt f(x)=y f(0)=5 f(5)=0 f'(4)=0 f(2)=0 f'(2)=0 f(2)=4 f'(2)=0 f(2)=0 Ablauf 1. Extremalbedingung aufstellen A=a b 2.. Nebenbedingung aufstellen umstellen 2a+2b=50 a=25-b 3. Nebenbedingung in Extremalbedingung einsetzen → Zielfunktion A(b)=(25-b) b =25b-B Extremwertaufgaben 4. Extremwert berechnen -notw. Bed A'(b)=0 0=25-2b b=12,5 -hinr. Bed A'(b)=0 A"(b)=0 A"(b)<0 HP A"(b)>0 TP 5. Zweite Variable berechnen -1.Variable in Nebenbedingung einsetzen a=25-b a=12,5 6. Lösung angeben A-12,512,5-156,25 (cm²) 7. Definitionsbereich angeben D = [0,25] 8. Randextrema berechnen A(0)=0 A(25)=600 9. Antwortsatz! 1)Extremalbedingung: A=a.b 2)Nebenbedingung: 2a+2b=50 a=25-b 3)Zielfunktion: A (b)=(25-b).b =-b²+25b →Max. Beispiel: max. Fläche eines Rechtecks mit U-50 cm @SIP_AND_STUDY Produkt-Null-Regel: f(x) = 4x²+2x = x(4x+2) x=0 L={0;-0,5} v 4x+2=0 f(x)=x+16-17x² f(2)-2² +16-172 . 16 ½ ± √(47³-16 2. 8.5+√√(8,5)²-16 -8.5+√72,25-16 - 8,5+√56,25 8,5+7,5 x² 16 √ x = 4 V Substitution: 1-2 4x=-2 1:4 x=-0,5 (F) = (² a-b x=-4 (x).x² a^ b^= (ab)^ x¹ x¹.z x² =Z 2. 8.5-√√(8.5)-AS - 8.5-√72,25-16 8,5-√56,25 8,5-7,5 *1 Terme vereinfachen x².1 15 x-1 V X-A L-{-4:1; 4;-4} (2)²³ Beispiel: f(x)=x²-6x+5 1 quadr. Erg. (6:2)-9 =X²6X+9-9+5 =(x-3)²-4 LÖSUNGSVERFAHREN X = X x = √x bxt = √√/X²² (x²) ³ = x² = x ³ x² +1 x² 1 X X X Quadr. Ergänzung S(31-4) p-q-formel: 0=x²+6x+5 X.₁.₂=-=√(9)-5 X=-3+√ 9-5 x₁=-3-√9-5 =-3+√4 =-3-√4 =-3+2 =-3-2 =-1 =-5 L={-1;-5} Lineafaktorzerlegung g(x)=0,25x³-0,5x²+1,25x+1,5 - (x+3)(x+1)(x-2) Linearfaktoren Xo, -3; Xo₂ =-1; Xo₂ = 2 Linearaktoren Nullstellen. Achtung! Vorzeichen Tauschen! Beispiel: Lineare Gleichungssysteme Additionsverfahren 2x+3y- 4 1.2 II-4x - y = 6 I 4x-by=8 1+1 -4x+ 4xy+ (-6y) 6+8 -7y - 14 y=-2 y=-2 in Il einsetzen II-4x (-2) = 6 -4x+ 2 = 6 - 4x = 4 x= -1 1:(-7) 1-{(-11-2)} -Zahlen vor einer Variablen gleich Erweitern/kürzen -Wichtig: Zahlen mit gegensätzlichen Vorzeichen! -Gleichungen miteinander subtrahiert/addiert Beispiel: I 3x-2y 1 II 6x + 2y = 2 II 2y = 2y - 6x Xº I 3x-(2-6x) - 1 3x - 26x1 9x-2-1 9x - 3 Einsetzungsverfahren Beispiel: I 4x + 3y - 2 II 4-6 4x 1-6x I 4x=2-3y II 4x = -4y6 1+2 2-3y4y +6+4y 2+y=6 1-2 in II 1-3y 1:(-1) 11 2y = 2-6/ 2y = 0 Gleichsetzungsverfahren L-{(10)} 1:2 -eine Gleichung nach Variablen umstellen -umgeformte Gleichung in andere Gleichung einsetzen -umstellen -Ergebnis in eine Gleichung einsetzen I 4x=2-3 4 4x= -10 x= -2,5 L-((-2,514)3 -beide Gleichungen nach einer Variablen umstellen -Terme gleichsetzen -nach einer Variablen umstellen -Ergebnis in eine Gleichung einsetzen @SIP_AND_STUDY