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Mathe Gk Abiturzusammenfassung NRW

19.5.2023

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Mathematik Gk '23 Mathe GK Zusammenfassung Abi NRW 2023 Zusammenfassung
Analysis, Analytische Geometrie, Stochastik
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Mathematik Gk '23 Mathe GK Zusammenfassung Abi NRW 2023 Zusammenfassung Analysis, Analytische Geometrie, Stochastik -> Analysis Funktionen - Differentialrechnung - ganzrationale Funktion Funktionsscharen · natürliche Exponentialfunktion/Logarithmusfunktionen -e-Funktion - Zusammengesetzte Funktionen - Ableitungsregeln (Summen-, Produkt-, Kettenregel etc.) - Potenzgesetze, wurzelgesetze - Untersuchung von Eigenschaften in Abhängigkeit von Parametern - -> kurvendiskussion - Grad einer Funktion - Symmetrie Verhalten von X gegen unendlich Nullstellen Extrema - Wendepunkte - Krümmungsverhalten Monotonie mittlere und momentane Änderungsrate (Tangente, wendetangente, Steigungswinkel) Steigungswinkel - Gauß-Algorythmus -Logarithmus(-gesetze) Eulersche Zahl - Natürlicher Logarithmus - Lineares und Exponentielles Wachstum - Steckbriefaufgaben - Integralrechnung Stammfunktion/Hauptsatz der Integralrechnung - Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse - Flächeninhalt zwischen zwei Graphen Mittelwert einer Funktion Analytische Geometrie - Vektoren - Ortsvektor, Stützvektor - Abstände von Punkten im Raum - Betrag eines Vektors Rechnen mit Vektoren (Summe, Multiplikation) Rechter Winkel/Orthogonalität -> Skalarprodukt - Winkel zwischen Vektoren · Geraden - Geradengleichung - Lagebeziehung von Geraden (Kollinearität, identisch/parallel, schneidend/windschief) Winkel zwischen Geraden · Ebenen - Möglichkeiten, um Ebenen im Raum festzulegen - Ebenengleichung - Lagebeziehung von Punkt und Ebene -Lagebeziehung von Punkt und Dreieck - Lagebeziehung von Geraden und Ebenen Spurpunkte von Geraden/Ebenen Flächen- und Volumenberechnung Stochastik -Wahrscheinlichkeit - Ereignis/Gegenereignis - Mittelwert und Standardabweichung, Standardabweichungs-Intervall - Erwartungswert und Standardabweichung von Zufallsgrößen - Binomialverteilung Bernoulli-Formel - Erwartungswert und Standardabweichung - Berechnung mit kumulierter Binomialverteilung - Berechnung mit GTR - Sigmaregeln - bedingte Wahrscheinlichkeit/Vierfeldtafel Funktionen Definitionsmenge (D): Menge aller x-Werte Wertemenge (W): Menge aller y-Werte Lineare Funktion f(x)=mx+b Steigung y-Achsen- Abschnitt f(x) =ax² + bx + c >y-Abschnitt (0/c) 2.B. Quadratische Funktion Normalform: -> 2.B. n. b Vorzeichen: Funktionsscharen fa(x) = ax Parameter Variable fa(x)=x²-a fa(x) = 2x (Parabeln) Analysis 2- Scheitelpunktform: f(x) = a (x-d)² + b › Scheitelpunkt (d/b) Öffnung nach 1+ -> Parameter a wird wie eine Zahl behandelt Im a₁x + a Ganzrationale Funktion Koeffizient Grad/Exponent f(x) = ₂x¹+ an-₁² z. B. 3x³9x² +...

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120 "ganzrationale Funktion dritten Grades" !Lineare + quadratische Funktionen sind auch ganzrationale Funktionen Funktion Funktion 1. Grades 2. Grades O oben unten D=R "alle reelen Zahlen" W=R₂1 "alle positiven reeellen Zahlen größer oder gleich 1" X x² 2.B. X³ Streckung: a > 1 Stauchung: 0 < a < 1 -> Funktion mit Variable x und Parameter a -> Funktionen fa sind also gleiche Funktionen, bei denen sich der Wert des Parameters verändert, sodass sie eine Funktionsschar bilden Exponentialfunktion f(x) = c.ax a > 0, a # 1 -> Anfangswert (c/0) a > 1 -> expotentielle Zunahme 0 a 1 -> exponentielle Abnahme Keine Nullstellen, Graph verläuft oberhalb der x-Achse Berechnung b = ax -> log (b) = x Natürliche Exponentialfunktion -> e-Funktion f(x) = = ex eº = 1 Eulersche Zahl = 2.71828.. ->y-Achsenabschnitt (0/1) Zusammengesetzte Funktionen Funktionen u und v: u • v = u(v(x)) → Verkettung von u und v Summenregel f(x) = u(x) + v(x) Produktregel f(x) = u(x) • v(x) Kettenregel f(x) = u(v(x)) Potenzgesetze ay = ax +y ax = ax-y ay a* • b* = (a•b)x a 음씀 (음)* = 0,5x (ax) = ax.y a²x = 1 x aᵒ = 1 stimmt exakt mit Ableitung überein Wurzelgesetze ~√₁ = a √a · f'(x) = ex. ~√/m² = (am) √a·√√6=√√a·b √ + 2x (F(x)=ex Ableitungsregeln Potenzregel f(x) = x" f'(x) = n • x^-^ Faktorregel f(x) = r • g(x) f'(x) = r • g'(x) Summenregel f(x) = u(x) + v(x) f'(x) = u'(x) + v'(x) Produktregel f(x) = u(x) • v(x) f'(x) = u'(x) • v(x) + u(x) • v'(x) Kettenregel f(x) = u(v(x)) f'(x) = u'(v(x)) • V'(x) "äußere Ableitung mal innere Ableitung" Exponentialfunktion ableiten f(x) = ax f'(x) = f'(0) • a* / In(a) • a* GTR, RUN, MATH, d/dx: d/dx (a³) | x=0 Kombination Produkt- und Kettenregel: Bsp. f(x) = (2x+3)• e²x → g(x) = 2x +3 ● → V 00 f(x) = ex f'(x) = ex Summen-, Produkt-, Kettenregel Bsp. Kettenregel `"f(x) = e²²x f'(x) = -2e-²x g'(x) = 2 e-Funktion f'(x) = (2x+3) 2e²× + 2 • e²× = 2e²x •(2x+3) = unterhalb der x-Achse = oberhalb der x -Achse 2x h(x) = ²x X f Extrema -> f' Nullstelle f Wendepunkt ->f' Extrema -> f" Nullstelle f Sattelpunkt -> f' Extrema auf x-Achse f steigt -> f' positiv = liegt oberhalb x-Achse f fällt f' negativ = liegt unterhalb x-Achse f links/positiv gekrümmt -> f' steigt -> f" > 0 f rechts/negativ gekrümmt -> f' fällt -> f" < 0 -> h'(x) = 2 e²x ● -> f" Nullstelle F(x) f(x) f(x) f'(x) f'(x) f(x) N E N W E W N E W Kurvendiskussion Symmetrie -> gerade Exponenten -> f(-x) = f(x) -> ungerade Exponenten -> -f(x) = f(x) keine Symmetrie -> gerade & ungerade Exponenten -> f(x) = f(-x) / -f(x) 1 Grenzwerte / Verhalten für x -> ∞ achsensymmetrisch punktsymmetrisch n gerade n ungerade an> 0 lim f(x) = +∞ x→+∞ an Extrema 0 lim f(x) lim f(x) = +∞ X478 an> 0 lim f(x) = +∞ X148 =- ∞ x→+∞ an> 0 lim f(x) = =-∞ X--∞ Exponentialfunktion / e-Funktion lim f(x) = 0* X118 Nullstellen f(x) = 0 -> SP lim f(x) = 8118 m an <0 lim f(x) X148 Bsp.: x• ex 1 =∞00 = 0 notw. Bed.: f'(x) = 0 hinr. Bed. : f '(x) = 0^f " (x) ≥ 0 f" (x) < 0 -> lok. Max. f" (x) = 0 - f" (x) > 0 -> lok. Min. an lim f(x)=+∞• +∞0=+∞0 X148 =18 <0 lim f(x) = + 00 X-∞ Bsp.: x - ex lim f(x) = ∞-0=-∞0 X1-8 lim f(x) = +∞ (+∞0) = -∞0 X→ +∞ - Wendepunkte notw. Bed. f" (x) = 0 hinr. Bed. : f " (x) = 0 ^ f ''' (x) ‡0 oder f(x) = 0 ₁ VZW bei f'" (x) Extrema bei Parameterfunktionen / Funktionsscharen: f(x) = ax f'(x) = a -> a < 0 = Max. für a ‹ 0 / -> a > 0 = Min. für a ‹ 0 Krümmungsverhalten f" (x) > 0 f" (x) < 0 linksgekrümmt rechtsgekrümmt mittlere Änderungsrate Steigung zwischen zwei Punkten -> m = f(x₂)-f(x₁) X₂X₁ Steigungswinkel -> Winkel der Tangente x-Achse momentane Änderungsrate - Ableitung = -> Steigung der Tangente in einem Punkt m = f'(x) t(x) = mx + b 1) Steigung im Punkt bestimmen m = f'(x) 2) Koordinate des Punktes einsetzen (x/y) -> y = mx + b 3) b berechnen 4) Gleichung aufstellen t(x) = mx + b tan (~) = m = Monotonie | tan-1 0 (Steckbriefaufgabe) f'(x) > 0-> streng monoton steigend f'(x) < 0 -> streng monoton fallend f'(x) > 0 -> monoton steigend f'(x) ≤0 -> monoton fallend Zwei Funktionen mit einem knickfreien Übergang -> müssen am Schnittpunkt dieselbe Steigung haben Sie f₁(x) = -x² + 4 (1/3) gesucht (3 (x) sprungfrei durch Schnittpunkt f₂ (x) = 1 ((3/4) (x₂ / f(x₂)) (x₁/f(x₂)) knickfrei: -> gleiche Steigung, also f(1) = f(1) = -2-1=-2 f₂' (3)= f(3) = 0 Gauß-Verfahren -> zum Lösen linerarer Gleichungssysteme mit n Variablen 1. Man bringt das lineare Gleichungssystem durch Äquivalenzumformung auf Stufenform 2. Man löst die Gleichung in der Stufenform schrittweise nach den Variablen auf zehn HAB I -> Logarithmus Gleichung a = b / e* = b löst man mit dem natürlichen Logarithmus Ln(b) = b x = ln (b) In(a) a = e In(a).x f(x) = ax = e² f'(x) = In (a) •a* f'(x) = ( In (a))² • ax = 1 •a* F(x) = (n(a) Bsp.: Bsp.: 3*=81 <-> log3 (81) = x 1- e*-^= -> e -> 2r + 3s - 4+ = 5 + 2 = 0 V -5r · Us +3+ = -1 lineares Gleichungssystem = 0 <-> 1 = ex-^ | In <-> In 1 = (x-1). In e <-> In 1 = x-1³1 + 1. <-> In 1 + 1 = x X x = log₁(b) beliebige Exponentialfunktionen der Form f(x) = a* mit a > 0 können mit dem natürlichen Logarithmus als e-Funktion dargestellt werden Der natürliche Logarithmus e* = 7 -> x = loge (7) = In (7) Bsp.: f(x) = 3 * = en (3) -x f'(x)= In (3) 3* f'(x) = (In(3))² • 3* F(x) = 1.3* In(3) ex=15 | In <-> x = In (15) <-> x = 2.7 Logarithmusgesetze loga (x y) = log₁(x) • loga(y) loga (x¹) = r. •• loga (x) loga (*) = log dx) - log dy) Eulersche Zahl -> Basis e 2,71828 -> > f(x) = e* -> natürliche Exponentialfunktion Eigenschaften von Funktionen vom Typ f(x) = c • ex -> Graphen haben keine Nullstellen -> c • ekx ist c • e-k* gespiegelt an der y-Achse negatives c: Spiegelung an der x-Achse -> c>k k> 0 c<k k> 0 ↑ lim f(x X -> +∞ lim f(x) = 0 X -> - 00 strng. mon fall. strng. mon steig. e = + 00 ro lim f(x) = ∞ X -> +∞0 lim f(x) = 0 X -> lineares und exponentielles linear: f(x) = mx + b Bsp. f(x) = 20x + 100 exponentiell: g(x) = c • ax Bsp. g(x)= 200-1.7* Wachstum lim f(x) = 0 X-> +∞0 lim f(x) = + ∞0 X->-8 +20 ex strng. mon fall. •1,7 c>k k< 0 X 3 0 1 2 f(x) 100 120 140 160 +20 c<k k<0 lim f(x) = 0 X -> +∞0 lim f(x) = - 00 X->-∞ strng. mon steig. -1,7 X 0 1 2 3 g(x) 200 340 578 982.6 +20 ·1,7 Steckbriefaufgaben -> Ziel: Funktion aufstellen, die bestimmte Bedingungen erfüllt Bsp.: Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph durch die Punkte A(0/-1) und B(2/1) verläuft und in T(1/-2) einen Tiefpunkt hat Vorgehensweise 1. Art der Funktion bestimmen 2. Symmetrie klären 3. Aussagen über Punkte beachten 4. Alle gegebenen Informationen mathematisch übersetzen 5. LGS aufstellen und lösen 6. Funktionsgleichung aufschreiben Funktion dritten Grades Bedingungen aufstellen und in Gleichung umformen A(0/1) -> f(0) = -1 B(2/1) -> f(2)=1 T(1/-2) -> -> • f(x) = ax³ + bx² + cx + d a-0³ + b.0² + c 0+d=-1 also d = -1 f'(x)= 3ax² + 2bx + c f"(x) = 6ax + 2b a 2³+ b 2²+ c2 + d = 1 8a + 4b + 2c + d = 1 T = TP -> f'(1) = 0 f(1) = -2 9.1³+ 6.1² + c 1 + d = -2 a+b+c+d= -2 3a 1²+ 2b 1+ c = 0 Funktion ausstellen -> LGS aufstellen -> d= -1 miteinbauen 8a + 4b +2c= 2 a+b+c= -1 3a + 2b + c = 0 -> LGS lösen: a = 1₁ b = - 1₁ c = -1, d = -1 f(x) = 1x³-1x² -1x -1 evtl. hinreichende Bedingung überprüfen oder andere Probe zur Kontrolle Integralrechnung Integralrechnung - Stammfunktion - Hauptsatz der Integralrechnung - Betrag - Flächeninhalt (positiv) mittels Integral -> Flächeninhalt zwischen Graph und x- Achse -> Flächeninhalt zwischen zwei Graphen Mittelwert von Funktionen Hauptsatz der Integralrechnung b A= f(x) dx = F(x) | = F(b) - F(a) a Die Funktion F heißt Stammfunktion zu einer Funktion f, wenn gilt F'(x) = f(x) Es gilt. F(x)=G(x) + c CER Ableitungsregel Ermittlung einer Stammfunktion f (x)= a.x" n-1 f(x) = x" f'(x) = n⋅x' F(x) = a n+1 Betrag |a| = {a, a 20 Bsp: 13|=3 2-a a 1 aER |-5|=-(-5) = 5 -> wenn das Integral negativ ist n+1 • X Rekonstruktion von Größen : Zeit f zeit →Geschwindigkeit integrieren Weg Flächeninhalt (positiv!) mittels integral 1. Fall A = Šf(x) dx = F(x) | = F (6) - F(a) King a b 2. Fall A = | $f(x) dx | + 3. Fall b A = $f(x) dx + | $ f(x) dx | Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse Vorgehen bei der Berechnung des Flächeninhalts zwischen dem Graphen und einer Funktion f(x) und der x-Achse über dem Intervall [a,b] 1) Nullstellen von f(x) auf [a;b] bestimmen 2) Vorzeichen von f(x) in den Teilintervalle bestimmen 3) Inhalte der Teilflächen bestimmen und addieren 1 1 а Flächeninhalt zwischen zwei Graphen 2. Fall 1. Fall df. 9 3. Fall n a f(x) b g(x) b A = f(x) g(x) $ (f(x) = g(x)) (A= $foxide - $ glolder) f(x) a Beide Graphen soweit nach oben verschieben, bis sie im Intervall [a,b] vollständig oberhalb der x-Achse liegen f(x) +d, g(x) + d A = = $(f(x) +d) - (g(x)+d) dx $ f(x) + d = g(x)-d_dx Mittelwert von Funktionen die Zahl m = • $f(x) dx b-a heißt Mittelwert der Funktion f auf [a,b] Š S f(x) · g(x) dx Vorgehen 1) Schnittpunkte von f(x) und g(x) bestimmen 2) Flächeninhalt zwischen den Funktionsgraphen in den Teilintervallen bestimmen 3) Inhalte der Teilflächen addieren AB Analytische Geometrie Punkte im Raum - dreidimensionales Koordinatensystem (X₁, X2, X3 / X, Y, : z) Vektoren/Abstände von Punkten im Raum A(a1/a2/93) -> B(b₁/b₂/b3) b₁ 2 bz b3 - M - X₁ - R az -44-3 93/ Gegenvektor -X₁ AB = (x + 1) BA - (-X 1 ) X3 Rechnen mit Vektoren PR = 2 /a₁! az as x3/Z = T. 9 <.^ " Linearkombination = r.PQ = r. b + -1 + -Z -3 2 3 a₁ = rb₁ + 5 C₁ a₂ = r b ₂ + S (₂ a3 = √ D₂ + SC₂ S.QR s. 2 /C₁1 /b1\ b2 + 5. Cz b3 45 P Vektor OP = Ortsvektor des Punktes P(P₁/P2/P3) Betrag eines Vektors -> Länge einer Strecke/ Abstände im Raum |AB| = √(b₁ - 9₁)² + (b₂ − a₂)² + (b₂ - 93) ²¹ 10A1 = √a₁²+ a₂² P(X₁/X₂ 1x3) Q(x/y/z) P(P₁/P₂/P3) -> OP = → X₂/Y 2 ²+ 93 Multiplikation a.b = Summe a+b = Pa P₂ P3, 9₁ b₁ + a₂ b₂ + 93 /an+lan 92 +6₂ (аз тоз Rechter Winkel/Orthogonalität • Skalarprodukt wenn AB BC = 0, ● dann liegt zwischen AB und BC ein rechter Winkel Winkel zwischen Vektoren Kosinusformel cos (y) = b+0 r ao a.b 121.151 Geraden im dreidimensionalen Raum Geradengleichung 9:=+tu 9: x = 0A + t • • AB Die Geraden sind identisch A P= Ortsvektor, - Stützvektor B A AB Ja Liegt der Punkt P mit dem Ortsvektor p auf der Geraden h? -> Punktprobe да Nein Lagebeziehung von Geraden Richtungsvektoren kollinear? Die Geraden sind parallel X 2. B 3 -5 Nein kollinear Ja .3 9 Geraden gleichsetzen -> hat die Gleichung eine Lösung? Die Geraden schneiden sich AB BC Nein Die Geraden sind windschief Winkel zwischen Geraden 12.61 121.151 cos(a)= 9 Gegenkathete |BC| Ebenen Ebenen im Raum festlegen + -> durch zwei einander schneidende Geraden -> durch eine gerade und einen Punkt außerhalb der Geraden -> durch drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen -> durch zwei parallele Geraden Ebenengleichung E: x¹= P²ª + r • u+s v E: x' = OA +r. AB+s. AC с r cos (a)= a b Sinus und Cosinus -> zur Berechnung der Innenwinkel eines Dreiecks Hypotense ABI Ankathete LACI Winkel zwischen zwei Ebenen Ortsvektor und zwei Stützvektoren In² n₂/ Imal-Inal cos (a) Ankathete Hypotenuse sin () Gegenkathete Hypotenuse Kreuzprodukt: n'= = Normalenvektor der Ebene -> Kreuzprodukt der Richtungsvektoren 8 8 8 8 8 04 by bz +b3. b₁ bz XXX az a₂.bz b₂.93 az b₁ b3.0₁ a₁ b₂ b₁' az - Lagebeziehung P (P₁/P₂/P3) -> für einsetzen Punkt und Ebene E A E: x=0A + r • AB+ s • AC Lagebeziehung Punkt und Dreieck Punkt liegt im Dreieck ABC, wenn gilt 8 P₁ P₂ P3 1) 0 ≤ r ≤ 1 2) 0 ≤ ≤ ≤ 1 3) 0 ≤r+s ≤ 1 = g liegt in E GEE x₂ = x₁ unendlich viele Lösungen Lagebeziehung von Geraden und Ebenen O OÀ + r. AB+ SAC O E S 9 g liegt parallel zu E gll E XE X = keine Lösung r X nach r und s auflösen außerhalb weil 5=1/5=1 1+1 > 1 O >1 innerhalb weil r = 0,5 s = 0,5 0,5+0,5=1 E g schneidet E gne Z₂ = x₂ genau eine Lösung -> lösen mit Gaußverfahren oder GTR -> Gleichung, lineare Gleichung, n-Anzahl unbekannte B Spurpunkte Spurpunkte von Geraden = Schnittpunkt einer geraden mit einer Koordinatenebene X₁X-Ebme S₂ (x₁/01x3) X₁ X₁₂ X3 453: S3 (x₁1x₂10) 4 Bsp: 9:2 = (6) + t ⋅ (31) ges.: P mit 2:30 -1₁ 4x3 S₁ x₂x3-Ebene S3 x₁x₂-Ebene 6 1,5t 6 = 1,5t 4 = t P(8/1210) 1. Setze eine Koordinate gleich 0 und löse die entsprechende Zeile nach Parameter auf 2. Setze den erhaltenen Wert in die Geradengleichung ein, um den Spurpunkt zu erhalten. S₁ (0/x₂x3) 1₂ Xz Spurgerade =0 | + 1,5t 1:1,5 Spurpunkte von Ebenen = Schnittpunkte von Ebenen mit Koordinatenachsen 1x3 Spurpunkt in g X₂ einsetzen: Die Schnittgerade einer Ebene mit Koordinatenebenen, wird Spurgerade genannt. Eine Spurgerade verbindet zwei Spurpunkte S₁ - Spurpunkt mit x₁ - Achse S₂ Spurpmnt mit x₂- -Achse S3 - Spurpunkt mit x3-Achse (x₁ 1010) (0/x₂10) (0/0/×3) Spurgerade 5₁ 5₂ Spurgerade Su S₂ Spurgerade S₂ S₂ h=a b Flächen- und Volumenberechnung b 6=9 A c=g h a 9 h rechtwinkliges Dreieck A = 1·a·b 2 h B beliebiges Dreieck A = 1/2 . ls g.. gleichschenkliges Dreieck A = 12.g. 9=1ABI = M1 Trapez A = 1/2 · (a + c). h .. Parallelogramm A = a.h gleichseitiges Dreieck A = a²√3 A a a b a h Quader V = G.h Würfel V = 9³ -> Pyramide > quadratische Grundfläche V = 4.6.h 3 G=1AB1² Stochastik -Wahrscheinlichkeitsrechnung - mehrstufige Zufallsexperimente -> Bsp. 3 rote und 10 blaue Kugeln, 2-faches Ziehen mit zurücklegen ohne ZL 3/43 3142 10143 -> r 10/13 Gegenereignis E: keine rote Kugel E: { (bb) } 3/13 2112 r (r, r) 10/13 10/12 10/13 9/12 3/13 3112 √ (bir) p (6₁r) = Ergebnismenge -> was möglich ist 22² = S = {(rr),(rb),(br),(bb) } 6 (r, b) P(r,b) = 3.10 13 b P(E₂) Produktregel P(vir) = 3.3 333/13 = {123456) E: gerade Zahl {246} = (b, b) P(bb) = 10 103 -2 43 Laplace-Wahrscheinlichkeit Zufallsexperiment, bei dem alle Ergebnisse aus gleich wahrscheinlich sind · = (³/3) ² 13-10- 1- P(E₁) 43 P(E)= Anzahl günstiger Fälle = |E| Anzahl möglicher Fälle 11 101² Ereignis E: mindestens 1 rote Kugel E: {(rr),(rb),(br) وام P(v₁r) = 3 3- 3/1/2 13 P(r, b) = P (E₁) = (21) ² + ( ²3/35 · 103 ) ² 13 P(b, r) P(b₁b) = · 10 3/3 12 10. 13 42 109 13 Mittelwert Urliste mit Daten X₁/X₁/X₂... Mittelwert: x= 1 • (X₁ + x₂ + x₂ + n -> Standardabweichung Streuung der Messwerte -> Messungenauigkeit s =√√√1 •[ (x₂-x)²¹+ (×₂ -ñj²+ Mittelwert 1x grün -> Auszahlung 1 € 2x grün -> Auszahlung 3 € 3x grün -> Auszahlung 6 € + Xn) Zufallsgrößen Glücksrad dreimal gedreht Spiel: 1 € Einsatz Zufallsgröße: X Gewinn [in €] X = (-1; 0; 2; 5} + (x₂-x)²¹ 1. 3,6 2. 9,7 3.5,8 X = 1/² · (3₁6+ 9₁7 + 5₁8) = 4₁7 0 2 5 P(X=x) 27 27 2A 64 64 64 이 Bsp. X = -^ Standardabweichungsintervall [x - s; x+s] / [M-o; M+0] Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X X. -^ ✅/\ /\ /\ / \1 9 е де де де д 00 20 2 2 5 N Erwartungswert M = X₁ · P ( X = x₁) + X₂ · P (X=x₂) + ... + Xn · P(X= xn) . . Na GTR: Statistik (Tabelle in Listen eingeben), OPTN, List, Sum, OPTN "(List 1 x List Standardabweichung von o = √√√(x₁₂-μ)² · P(X=x₁) + (X₂ - M)² · P(x = x₂) +...+ (xn-ju)². P(x=xn) -0 M +0 S-Intervall Bernoulli-Verteilung, Binomialverteilung -> Zufallsversuch mit nur zwei möglichen Ausgängen: Treffer oder Niete X = Zufallsgröße P= Wahrscheinlichkeit n Anzahl der Versuche k = Anzahl der Treffer = Anzahl der Pfade im Baumdiagramm, die zu "k Treffern" bei "n Versuchen" gehören Bernoulli-Formel: k Bn;p (k) = P(X=k) = (2) · p' (^) Bsp.: (5) = oder allgemein: (1) = 1 (1) -=" Anzahl der Pfade k Treffer bei in versuchen Ereignis Treffer- wahrscheinlichheit S.4.3 1.2.3 Anzahl / Treffer = = -> im Nenner von 1 bis k hochzählen und im Zähler gleich viele Faktoren von n herunterzählen, dann kürzen genau k Erfolge X = k höchstens k Erfolge X ≤k weniger als k Erfolge x‹k X > k ehr k Erfolge mindestens k Erfolge Xzk a≤k ≤ b , mindestens a höchstens b Erfolge n-k 5! 3! (5-3)! Bedeutung für Zufallsgröße Nieten- 5.4 2 Anzahl Nieten waruhsinlichkeit n! k!. (n-k)! = 10 5.4.3.2.1 Erwartungswert M = E(x) = n ·p (!= Fakultät") n! → 2! = 2.1₁ 3! = 3·2·.1, 4! = 4·3·2·1 (n-k)! (6-2)! = 4! = 4.3.2.1 - S.4.3.2.4 7.2.1.2.1 (2) mit GTR: RUN, OPTN, PROB, NCR, -> "N-WERT NCR K-WERT" Standardabweichung o = √n.p. (1-P) 3.2.1. 2! Berechnung mit kumulierten Binomialverteilung P (X ≤k) - P (X ≤k-1) P (X ≤k) P (X ≤k-1) 1-P (X ≤k) 1-P (X ≤k-1) P (X <b) - P (X<a-1) GTR 5.9 2 = 10 BPD (k, n, p) BCD (k, n, p) BCD (k - 1,n,p) BCD (k + 1, n, n, p) BCD (k, n, n, p) BCD (a, b, n, p) GTR, RUN, OPTN, STAT, DIST, BINOMINAL, BPD/BCD Binomialverteilung mit GTR P (X=K) 1) STATISTIK, OPTN, List, "List 1″ auswähLEN, SEQ (X,X,O,N,1) 2) EXIT, DIST, BINOMIAL, BPD ODER BCD - HIER: BPD BINOMIAL VERT. DICHTE DATA: LIST LIST: "LIST 1" NUMTRIAL: N-WERT P: P-WERT SAVE RES: LIST "LIST 2" (NÄCHSTE FREIE LISTE) STAT GRAPH1 GRAPH TYPE: HIST XLIST: "LIST 1" FREQUENCY: "LIST 2" 3) SÄULENDIAGRAMM: F1 GRAPH, SET ... REST SO LASSEN List 1 к ·1 3: NJO 1 List 2 P(X=K) 0,0031 0,0211 EXE, GRAPH 1 Bpd EXE - ERGEBNISSE ANZEIGEN / EXIT -> ERGEBNISSE IN LISTE 2 3 4 5 List 3 EINSTELLUNGEN HISTOGRAMM START: -0,5 WIDTH: 1 6 7 List 1 к 8 9 3: NJO List 2 P(x =K) List 3 EXE => SÄULENDIAGRAMM 1-VAR => ÜBERSICHT MIT EXTREMWERT UND STANDARDABWEICHUNG Binomialverteilung mit GTR P (X≤K) 1) "LIST 3": NULL-LISTE ANLEGEN (MANUELL EINGEBEN) 2) EXIT, DIST, BINOMIAL, HIER: BCD BINOMIAL VERTEILUNG DATA: LIST L. LIST: "LIST 3" (NULL-LISTE) U. LIST: "LIST 1" (K-WERTE) NUMTRIAL: N-WERT P: P-WERT LIST -> "LIST 4" (NÄCHSTE FREIE LISTE) SAVE RES: List 1 к OTNE n List 2 P(X=k) 0,0031 0,02-11 0,0669 Bpd List 1 k 0 1 List 3 O O O O O O 2 n List 2 P(X= k) 0,0031 0,0214 Bpd List y P(X ≤k) 0, 0031 ૦, ૦૨ ૧૩ 0,09 12 Bc d List 3 O List y P(X ≤k) EXE -> ERGEBNISSE ANZEIGEN / EXIT -> ERGEBNISSE IN LISTE Bc d Sigmaregeln 1) P (μ-0 ≤ x ≤ μ + 0) ≈ 68,3% [M=0; M+0] ↑ aufrunden abrunden einsetzen und berechnen →nach Übereinstimmung/Abweichung mit 10-Regel überprüfen P(μ-0 ≤ x ≤ μ+ 0) 2) P (μ-20 ≤ x ≤ μ+20) ≈ 95,4% [μ-20₁μ+20] aufrunden abrunden einsetzen und berechnen. →nach Übereinstimmung/Abweichung mit 20-Regel überprüfen РСМ -20=X=μ+20) 3) Р (м - 30 ≤ × = m +3d) ≈ 99, 7 % [μ-30; μ+30] aufrunden abrunden einsetzen und berechnen →nach Übereinstimmung/Abweichung mit 30-Regel überprüfen P(μ-30 ≤ x ≤ μ+30) Antwortsatz: Mit einer berechneten Wahrscheinlichkeit von [berechnetes Prozentergebnis] sind zwischen [M-8] 1 [+0] der Ereignisse von insgesamt [ n-Wert ] Ereignissen erfolgreich Bedingte Wahrscheinlichkeit und Vierfeldtafeln Summe 3/4, B B M 4/10. B 1/4 M 3 PB (M) = 2 5 6/10 2/6, B M M M P(BM) P(BM) P(BM) P(BOM) 4/6 P(BOM) P(B) M 1 bzw. 4 5 Summe 4 PM (B) = 6 10 P(B) = 4/10 P(B) = 6/10 P(M)= 5/10 P(M)= 5/10 PB (M) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit für das Ereignis M, wenn man weiß, dass B eingetreten ist P(BOM) P(M) 10 Kugeln -> 4 blaue Kugeln -> 6 nicht blaue Kugeln -> 5 markierte Kugeln Bsp. P (M)= 6/10 2/6 = 2/10 = 1/3 6/10 6/10 5 nicht markierte Kugeln P(BM) = 4. 3=3 10 4 10 P(BM) = 4• 1 = 1 10 4 10 P(B^M) = 6 10 P(BOM)=P(B) PB (M) bzw. P(BM) = P(M) • PM (B) ● P(BOM) = 6 2=2 6 10 ● 4 = 4 10 6 10