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Stochastik LK

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GRUNDBEGRIFFE - Zufallsexperiment (Def.) Zufallsgröße (Def.) Ergebnis/Ereignis (Def.) Gegenwahrscheinlichkeit Baumdiagramme Pfadregel Summenregel STETIGE -Wahrscheinlichkeitsdichte Exponentialverteilung I لعند Normalvert. Definition BINOMIAL VERTEILUNG Bemoulliexperiment (Def.) Bernoulli ketten zufalls größen Erwartungswert M. theoret. Standardabw.o Diagramme zuordnen, zeichnen FG-Funktion normPdf(x) normCof(x,x)/ Stochastik STATISTIK -arithmet. Mittel x empirische Standardabw. zweiseitiger Test einseitiger Test Fenler 1. Art Fenler 2. Art S Standardisierung Parameter gesucht I`n gesucht I für me auf Erfolg mehrere Treffer P gesucht Sigma-Regeln Signifikanztest Laplace bedingung 0²3 Normalverteilung Satz v. DeMoivre-Laplace LnormCdf (X₁, X₂, N, O) Schätzen von S DH zur Näherung +Vertrauensintervall Fin-Gesetz In gesucht Signifikanzniveau mit invnorm (P) grundbegriffe 2 F A L S Ich würfle und untersuche die Anzahl der Sechsen Z X P F AL ERGEBNIS E Ein Aufallsexperiment ist ein Experiment, (1) bei dem mehrere Ergebnisse möglich sind, (2) dessen Ausgang nicht vorhersagbar ist, (3) das wiederholt durchgeführt werden kann voraussetzung (4) R vor dem aufalls experiment muss erst die Ergebnis. menges definiert werden. Dabei muss bei jedem experiment eins der Ergebnisse en; en auftreten B ( SPI EL S I (1,5,6) M E GRÖ BE Eine Zuordnung, die jedem Ergebnis eine zanl zuord- net, heißt zufallsgröße X. B E 1 S PI E L N Augensumme ist 12 T Mögliche Ergebnismengen beim - Geworfene zahlen: S = {(1; 1; 1; ); ...; (6; 6:6)] Anzahl der Sechsen S-E0; 12:33 Beim dreimaligen würfeln ist X Anzahl der sechsen → Xuann die werte o bis 3 annehmen. P (3 Sechsen) ⇒P(X=3) E P G E BN 7 S E REI dreimaligen würfeln Oft werden mehrere Ergebnisse einer Ergebnismenge s={enien als Ereignisse zusammengefasst: Ein Ereignis A ist damit eine Teilmenge aus S, das eintritt, wenn eines der Ergebnisse aus A eintritt. B E ( SPI E L EREIGNIS EIGNI S Nicht aus dem (1; 2; 3; 4;5) P F ADREG EL @PFADMULTIPLIKATIONSREGEL Die wahrscheinlichkeit eines der wahrscheinlichkeiten 2 PFADADDITIONSREGEL Die Wahrscheinlichkeit...

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eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade. STATISTIK mittelwert X X = h₁ · X₁ + h₂ · X ₂ + ... + K₂ ·Xr 7 relative Häufigueit mit dem GTR : - EXCEL Daten eintragen - m, 4, 1, 1. XA-Liste = ac Häufigu. = b[] 1. Ergebniss. = C[] : Ergebnisser ist das Produkt entlang des Pfades binomial VERTEILUNG Leitfrage AS WIRD PASSIEREN? merkmalsausprägung GTR-no (n, u) empir. Standardabw. S = √ ₁ (x₁₁-X) +...+ hr. (X₁-X) 1 (n) = (n =^)!-k! n! BERNOULLI EXPERIMENT Bernoulli-Experimente sind zufallsexperimente mit nur zwei möglichen Ergebnissen. Die Wahrscheinlichkeit für Treffer" bezeichnet man p die für eine Niete" mit q = (1-P). • KETTEN Die emp. Standardabw. ist ein Maß dafür, wie weit x; um den Mittelwert streuen. 134 Leitfrage: WAS IST PASSIERT? Bernoulli-Ketten sind n-stufige Bernoulli-Experimente, bei denen sich die wahrscheinlichkeiten nicht ändern. B A КОЕ ΙΝ Ο Μ zur Bestimmung der Pfadanzahl langer Bernoulliketten Die Anzahl der Pfade zu k Treffern bein versuchen Im Baumdiagramm ist gegeben durch den Bino- mialkoeffizienten ten L F L 2 NT Diese bilden das Pascal'sone Dreiecu n Fakultät n!:=n·(-1) 1 O efinition Bi nomi alverteilung Sei x Anzahl der Treffer bei einer Bernoullikette Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit für Brip P(x=k) = Bhp = (u).pugh-k Die Binomialverteilung hängt nur von den Parameter In und p ab. ВЕ! S PIEL X: Anzahl richtiger Antworten X ist binomialverteilt mit n = 8 a) P(X= 4) = binom Pdf (8, = 4) = 17,1% b) P(x ≤ 3) = binom Colf (8, - ,0.3)) C) P(X= 4) = 1- P(x≤3) = binom Cdf (8,30,3) dIP (XS) = 1 - P(X≤4) = 1- binomcdf (8 €.0, 4) Erwartungswert M M=n=p______ ALLE o = √n-p-q a REGELN sigma Lage der Binomialverteilung Die mitte der verteilung ist etwa M=n-p Die Breite wird beschrieben durch die empirische standardabweichung σ=√n.pq. Besonders symmetrisch ist die Verteilung bei G²3b2W. p=o.s • Für 0>3 - 68% der -90%. der -95% der 99% der BEI S D 1 1 P 3 = 4/1/201 X: Anzahl wappen beim Münzwurf (DAPLACE-Bedingung) gilt: Ergebnisse im o-Intervall um M. Ergebnisse im 1,640-Intervall um M. Ergebnisse im 1,960-Interrall um M. Ergebnisse im 2,580. Intervall um j. M=50·0,5=25 empir. Standardabw. a binomialverteilt mit n = 50 P=O₁S Suizze ⇒G = √50.05.0₁$=3,54 mit einer WK von 95% liegen die Treffer zw. 25-1,96-3,54 und 25+1,96-3,54 18 also zw. 18 und 32 überprüfung P(18≤ x ≤ 32) = 25 32 para meter WANTED ▸n Gesucht //Warten auf Erfolg Will man mit der Wahrscheinlichkeit P einen Treffer erreichen, muss man In mal würfeln, wobei (1-p) ≤ 1-P gilt. stud Die WK für anhaltende misserfolge ist dann unter 1-0 gesunken. BEI PIE warten auf die ..6" → Gegenereignis "ueine 6" (5)h wird für wachsendes in immer weiner. HW WK von 99% für eine 6 = 1% für weine 6 U B n (2)" = 0,01 | log warten auf K-Erfolge wann meistens nur durch probieren gelöst werden: S in ² (095 0,01 = 25,26 ⇒ n= 26 1095/3 en Gesucht // warten auf ik-Erfolge P(X³k) soll größer als x% sein - mit binom Calf (n, p, win) ausprobieren. -f(n):= binom Caf(n, P₁u, n). werte in f(n) einsetzen und ausprobieren - mit P(X ≤ k-1) soll wleiner als 1-x%: E in v BinomN (1-x%, P, U-1,4) liefert die beiden n, für die es gerade (noch) nicht) ulappt menü → WK → verteilungen → Inverse Binomial N SP 1 P=O₁5 n=? P(X22) ≥ 99% (= P(x = 1) < 1% L L -16 Für n=10 ist Für n = 14 P(x≤1) = 1,07% 0,59% ist P (X≤ 4) = I mit einer WK von 95% will ich methode binom (af (1, 0,5, 0, 1) = 0,005 86 binom Calf (10, 0,5, 0, 1) = 0,01074 methode f(x):= binom Caf (x, 2, 5, x) methode inv BinomN (0,05, 2, 4, 1) 47=41 5,6" würfeln. f(52) = 0,9485 f(53) 0.9541 (54) = 0,95 90 52 0,05146 53 0,04595

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