Einfacher Stochastik Lernzettel für Schüler

Grundlagen der Binomialverteilung

Stell dir vor, du würfelst 10 mal und willst wissen, wie oft du eine 6 bekommst - genau dafür brauchst du die Binomialverteilung. Sie funktioniert nur, wenn du eine feste Anzahl von Versuchen hast und die Wahrscheinlichkeit immer gleich bleibt.

Das Ganze basiert auf dem Bernoulli-Experiment, wo es nur zwei Ausgänge gibt: Treffer (T) oder Niete (N). Die wichtigsten Symbole sind: n = Anzahl der Versuche, p = Trefferwahrscheinlichkeit, k = Anzahl der Treffer.

Die Binomialformel lautet: P$x = k$ = (n über k) · p^k · $1-p$^$n-k$. Klingt kompliziert? Keine Sorge! Dein GTR macht die Arbeit für dich: Shift → Catalog → Binomial PD für einzelne Werte, Binomial CD für Bereiche.

Tipp: "Höchstens 3" bedeutet x ≤ 3, "mindestens 3" bedeutet x ≥ 3. Diese Unterscheidung ist mega wichtig für die richtige GTR-Eingabe!

Binomialkoeffizient und statistische Kenngrößen

Der Binomialkoeffizient (n über k) zeigt dir, auf wie viele verschiedene Arten du k Treffer bei n Versuchen erreichen kannst. Die Formel n!/$k!(n-k)!$ sieht wild aus, aber dein GTR rechnet das mit ncr blitzschnell aus.

Der Erwartungswert E$x$ ist einfach der Durchschnitt, den du bei vielen Wiederholungen erwarten kannst. Du berechnest ihn mit: E$x$ = P(x₁) · x₁ + P(x₂) · x₂ + ... Das gibt dir eine realistische Einschätzung deiner Ergebnisse.

Die Standardabweichung σ$x$ zeigt, wie stark deine Ergebnisse um den Erwartungswert schwanken. Je kleiner σ, desto vorhersagbarer sind deine Resultate.

Ein Bernoulli-Experiment hat nur zwei Ausgänge, eine Bernoulli-Kette wiederholt das Experiment n-mal unabhängig voneinander. Wichtig: Bei Kugeln ziehen musst du zurücklegen, damit die Wahrscheinlichkeit konstant bleibt!

Merksatz: Bernoulli-Ketten brauchen Unabhängigkeit - sonst funktioniert die ganze Rechnung nicht!

Bernoulli-Formel und Visualisierung

Die Bernoulli-Formel ist dein Werkzeug, um die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Treffer-Anzahl zu berechnen. Sie kombiniert geschickt den Binomialkoeffizienten (Anzahl der Pfade) mit den Wahrscheinlichkeiten für Treffer und Nieten.

Histogramme machen die Binomialverteilung richtig anschaulich. Jeder Balken zeigt die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Treffer-Anzahl von 0 bis n. Super praktisch: Alle Balken zusammen ergeben immer 100% - das ist ein guter Check für deine Rechnungen.

Die Formel P$x = k$ = (n über k) · p^k · $1-p$^$n-k$ setzt sich aus drei Teilen zusammen: dem Binomialkoeffizienten für die Pfade, p^k für die Treffer-Wahrscheinlichkeit und $1-p$^$n-k$ für die Nieten-Wahrscheinlichkeit.

Kontrolle: In einem vollständigen Histogramm müssen alle Wahrscheinlichkeiten zusammen genau 1 ergeben!