Binomialverteilung und Bernoulli-Kette
Diese Seite führt in die grundlegenden Konzepte der Binomialverteilung und der Bernoulli-Kette ein.
Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen. Eine Bernoulli-Kette besteht aus n unabhängigen Durchführungen desselben Bernoulli-Experiments.
Die Binomialverteilung wird durch die Formel P(X=k) = B(n,p,k) = (n über k) * p^k * (1-p)^(n-k) beschrieben, wobei:
- n die Länge der Kette
- k die Anzahl der Treffer
- p die Trefferwahrscheinlichkeit
ist.
Definition: Die Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, bei n unabhängigen Versuchen genau k Erfolge zu erzielen, wenn die Erfolgswahrscheinlichkeit bei jedem Versuch p beträgt.
Die kumulierte Binomialverteilung ermöglicht die Berechnung verschiedener Wahrscheinlichkeiten:
- Genau k Treffer: P(X=k) = binomPdf(n,p,k)
- Höchstens k Treffer: P(X≤k) = binomCdf(n,p,k)
- Weniger als k Treffer: P(X<k) = binomCdf(n,p,k-1)
- Mindestens k Treffer: P(X≥k) = 1 - binomCdf(n,p,k-1)
- Mehr als k Treffer: P(X>k) = 1 - binomCdf(n,p,k)
Highlight: Die zweiseitige Intervallwahrscheinlichkeit wird berechnet durch: P(j≤X≤k) = P(X≤k) - P(X≤j-1) = binomCdf(n,p,k) - binomCdf(n,p,j-1)
Example: Bei einem Münzwurf (p=0,5) mit n=10 Versuchen ist die Wahrscheinlichkeit für genau 6 Kopf: P(X=6) = binomPdf(10,0.5,6)