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Binomialverteilung: Definition, Beispiele, Aufgaben und Formeln 🧮

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Binomialverteilung: Definition, Beispiele, Aufgaben und Formeln 🧮

Die Binomialverteilung und Bernoulli-Kette sind zentrale Konzepte in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Diese Zusammenfassung erklärt die wichtigsten Aspekte, Formeln und Eigenschaften dieser Verteilungen, einschließlich der kumulierten Binomialverteilung, des Erwartungswerts und der Standardabweichung.

2.3.2021

3707

Eigenschaften der Binomialverteilung

Diese Seite beschreibt die Eigenschaften der Binomialverteilung in Abhängigkeit von p und n sowie den Erwartungswert und die Standardabweichung.

Eigenschaften in Abhängigkeit von p:

  • Je größer p, desto weiter rechts liegt das Maximum der Verteilung.
  • Bei p = 0,5 ist das Maximum mittig.
  • Es gilt die Symmetriebedingung: B(n,p,k) = B(n,1-p,n-k)

Eigenschaften in Abhängigkeit von n:

  • Je größer n, desto weiter rechts liegt das Maximum.
  • Mit steigendem n wird das Histogramm flacher und breiter.
  • Die Verteilung wirkt symmetrischer bei größerem n.

Highlight: Die Form der Binomialverteilung ändert sich charakteristisch mit den Parametern p und n, was wichtig für die Interpretation von Daten ist.

Erwartungswert und Standardabweichung:

  • Der Erwartungswert μ = E(X) = n * p gibt die im Mittel zu erwartende Anzahl von Treffern an.
  • Die Standardabweichung σ = √(n * p * (1-p)) beschreibt die Streuung um den Mittelwert.

Definition: Der Erwartungswert einer Binomialverteilung gibt die durchschnittliche Anzahl von Erfolgen in n Versuchen an, während die Standardabweichung ein Maß für die Abweichung vom Erwartungswert ist.

Example: Bei einem fairen Würfel (p=1/6) und n=36 Würfen ist der Erwartungswert für die Anzahl der Sechsen: E(X) = 36 * (1/6) = 6

Vocabulary: Die Zufallsgröße X in einer Binomialverteilung bezeichnet die Anzahl der Treffer am Ende der Bernoulli-Kette.

Binomialverteilung
Bernoulli-Kette
Zufallsexperiment, mit nur zwei Ergebnissen heißt
Bernoulli-Experiment
Zufallsexperiment, dass aus n unab

Binomialverteilung und Bernoulli-Kette

Diese Seite führt in die grundlegenden Konzepte der Binomialverteilung und der Bernoulli-Kette ein.

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen. Eine Bernoulli-Kette besteht aus n unabhängigen Durchführungen desselben Bernoulli-Experiments.

Die Binomialverteilung wird durch die Formel P(X=k) = B(n,p,k) = (n über k) * p^k * (1-p)^(n-k) beschrieben, wobei:

  • n die Länge der Kette
  • k die Anzahl der Treffer
  • p die Trefferwahrscheinlichkeit

ist.

Definition: Die Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, bei n unabhängigen Versuchen genau k Erfolge zu erzielen, wenn die Erfolgswahrscheinlichkeit bei jedem Versuch p beträgt.

Die kumulierte Binomialverteilung ermöglicht die Berechnung verschiedener Wahrscheinlichkeiten:

  • Genau k Treffer: P(X=k) = binomPdf(n,p,k)
  • Höchstens k Treffer: P(X≤k) = binomCdf(n,p,k)
  • Weniger als k Treffer: P(X<k) = binomCdf(n,p,k-1)
  • Mindestens k Treffer: P(X≥k) = 1 - binomCdf(n,p,k-1)
  • Mehr als k Treffer: P(X>k) = 1 - binomCdf(n,p,k)

Highlight: Die zweiseitige Intervallwahrscheinlichkeit wird berechnet durch: P(j≤X≤k) = P(X≤k) - P(X≤j-1) = binomCdf(n,p,k) - binomCdf(n,p,j-1)

Example: Bei einem Münzwurf (p=0,5) mit n=10 Versuchen ist die Wahrscheinlichkeit für genau 6 Kopf: P(X=6) = binomPdf(10,0.5,6)

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Eigenschaften in Abhängigkeit von p:

  • Je größer p, desto weiter rechts liegt das Maximum der Verteilung.
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Eigenschaften in Abhängigkeit von n:

  • Je größer n, desto weiter rechts liegt das Maximum.
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Erwartungswert und Standardabweichung:

  • Der Erwartungswert μ = E(X) = n * p gibt die im Mittel zu erwartende Anzahl von Treffern an.
  • Die Standardabweichung σ = √(n * p * (1-p)) beschreibt die Streuung um den Mittelwert.

Definition: Der Erwartungswert einer Binomialverteilung gibt die durchschnittliche Anzahl von Erfolgen in n Versuchen an, während die Standardabweichung ein Maß für die Abweichung vom Erwartungswert ist.

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Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen. Eine Bernoulli-Kette besteht aus n unabhängigen Durchführungen desselben Bernoulli-Experiments.

Die Binomialverteilung wird durch die Formel P(X=k) = B(n,p,k) = (n über k) * p^k * (1-p)^(n-k) beschrieben, wobei:

  • n die Länge der Kette
  • k die Anzahl der Treffer
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  • Genau k Treffer: P(X=k) = binomPdf(n,p,k)
  • Höchstens k Treffer: P(X≤k) = binomCdf(n,p,k)
  • Weniger als k Treffer: P(X<k) = binomCdf(n,p,k-1)
  • Mindestens k Treffer: P(X≥k) = 1 - binomCdf(n,p,k-1)
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