Regelheft Stochastik - gesammeltes Wissen für das Abitur

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(= Zufallsexperimente, die aus mehreren Stufen bestehen, z.B. das mehrmalige Drehen eines Glücksrads; Urnenmodell) lassen sich durch Baumdiagramme beschreiben. Jedem Ergebnis des Gesamtexperiments entspricht ein Pfad im Baum vom Startpunkt zu einem Endpunkt. •Berechnungen von Wahrscheinlichkeiten (P) Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten längs des dazugehörigen Pfades multipliziert. Bsp.: Das Ereignis ,,P(Rn R)" hat die Wahrscheinlichkeit: 0,6 x 0,6= 0,36 Summenregel: Die Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ereignisses E erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse addiert. Alle Ergebnisse, die nicht im Ereignis E liegen, bilden das Gegenereignis E von E. Es gilt daher P(E) = 1- P(E). Bsp.: Für das Ereignis E: ,,Mindestens eine Kugel rot" gilt: P(E)=P(RR) + P(BR) = 0,36 + 0,24 + 0,24 = 0,84 0,6/ A 0,6 0,4 A 3 1014 06/ 1014 B A B ↳ Zufallsexperiment - mit Zurücklegen: Bei jedem Zug liegt die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit vor 59 А. 2. Ziehen 60 100 영동 1. Ziehen B R 60 99 R A B 0,6 T 0,6 R 0,6 0,4 0,6 R B R R B 0,6/ 04. 06/ R B R B P(RR) P(RB) P(BR) P(BB) 100 B R: rot B: blau → R 39 B 0,4 0,4 B B 0,4 0,4 B Gesamtmenge wird geringer B Zufallsexperiment - ohne Zurücklegen: Wahrscheinlichkeiten verändern sich im darauffolgenden Zug 2 3. Vierfeldertafel Eine Vierfeldertafel eignet sich zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten der Verknüpfungen zweier Ereignisse A und B. Eine Vierfeldertafel ist folgendermaßen aufgebaut: A BPIANB A PLAN B) P(B) B PAB) PAB) P(B) P(A) P(A) 1 Die in einer Vierfeldertafel angeordneten Daten lassen sich stets auch in Form eines Baumdiagramms darstellen. Hauptschulabschluss Ja Nein weibl. 0,4681 0.0254 0,4935 männl. 0,4630 0,0435 0,5065 0,9341 |0,0689 → Die Randwerte ergeben sich dabei jeweils durch Summenbildung. In den Feldern können anstatt von Wahrscheinlichkeiten auch absolute Häufigkeiten stehen.. 1 0,914 Ja 0,463 0,507 männl. 0,086 Nein 0,043 Schüler 0,948 0,483 weibl. Ja 0,468 0,052 Nein 0,025 3 4. Kombinatorik Das Zählprinzip: Gibt es bei einer Anordnung für die Besetzung der ersten Stelle n1 Möglichkeiten, der zweiten Stelle n2 Möglichkeiten, ..., der k-ten Stelle nk Möglichkeiten, dann gibt es n1.n2....nk verschiedene Anordnungsmöglichkeiten. Beispiel: Oberteile: 27 Hosen: 10 Schuhe: 4 Das Urnenmodell: n 6 Kugeln k 3 Ziehungen a) -mit Zurücklegen (m m R -mit Reihnfolge 6.6.6=6³= 216 12. 22 32. c) -ohne Zurücklegen o -ohne Reihnfolge OR 6.5.4 31 123 132 231 Fakultäten n=k n 27 10 4 1080 3-2-1-با n! (n-k)! kl b) -ohne Zurücklegen -mit Reihnfolge 6-5-4 = 120 ગર. ર Æ. n·(n-1). (n-2)....·. (n_k+1) (n-k)· (n-k-1) ·... ·2·1· (n-k). (n-k-1); -2.1. = (1) „k aus n .b über k n! =n·(n-1) 2.1. n. Fakultät 10 · 9 · 8 · 7 · 6·5·4·3·2·1 - 401 oz m R Binominalkoeffizient 0! = 1 (0) = 1 n·(n-1)· ... (n-K+ 1) = (n^k ) ! 10 aus 100 oz/m R n! (n-k)! 1001 901 4 5. Bedingte Wahrscheinlichkeit Definition: Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B ist die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, falls sicher ist, dass B schon eingetreten ist. P(An B) PIB) P.(A) = →→ Wahrscheinlichkeit von A unter der Vorbedingung B Beispiel: G= Getränk, S= Snack P. (G.n S). P(G) PG (S) = ↑ Vorbedingung => Wahrscheinlichkeit, dass jemand, der Getränke kauft, auch Snacks kauft. Beispiel mit einem Baumdiagramm: 9 Kugeln: 5 rote -4 Orangene Zweimal ziehen ohne Zurücklegen 1. Wahrscheinlichkeit dafür, dass die 2. Kugel rot ist, wenn die 1. Kugel auch rot war P₁(A) = 4/= 1/2 = 50% 2. Wahrscheinlichkeit dafür, dass die 2. Kugel rot ist, wenn die 1. Kugel orange war PB(A)==62% 3. Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Kugeln rot sind P(AnB)= P(B): PB(A)=₁4=5 4-5.1.S ≈ 27,78% 89 2 18 A (1 oolw 18 6100 A LO 5 6. Das Bernoulli- Experiment Ein Bernoulli Experiment ist ein Zufallsexperiment mit nur zwei Ausgangsmöglichkeiten (Treffer = p). Eine Bernoullikette oder -länge n besteht aus n unabhängigen Bernoulli Experimenten. Überblick: n = Anzahl der Versuche p = Wahrscheinlichkeit für Eintreffen des Ereignisses P = Wahrscheinlichkeit, dass bestimmte Anzahl x zustande kommt X/k = Anzahl des eintreffenden Ergebnisses = Anordnungsmöglichkeit der Trefer = Trefferwahrscheinlichkeit K P₁ (1-p)* = Gegenwahrscheinlichkeit zu p Das Stabdiagramm/Balkendiagramm/ Histodiagramm X ist die Anzahl der geworfenen Kopfseite x ist binominalverteilt mit n=4; p=0,5 k ist die Anzahl der Münzwürfe 03+ 0₁2+ 0₁1- P(x=k) = B(nipik). 1 = B(4; 0,5 ik) 2 3 4 Gesamtlänge: 1 Gesamtfläche A = 1 A.W.NIC 1 2 3 4 P (x=k) 0,0625 0,25 0,375 0,25 0,0625 6 CO 7. Die Binomialverteilung Von einer Binomialverteilung spricht man, wenn man ein Bernoulli-Experiment mit den Ausgängen x_1 und x_2 sowie den dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten p und q mit einer bestimmten Anzahl von n wiederholten, voneinander unabhängigen Versuchen mehrfach durchführt. Überblick: Zufallsgröße: ErgebnisX=X;: Wahrscheinlich- keitsverteilung der Zufallsgröße X: Erwartungswert von X: Varianz von X: Standartabwei- chung von X: Eine Zuordnung X, die jedem Ergebnis eines Zufallsversuchs eine reelle Zahl zuordnet, heißt Zufallsvariable. Mitx=x; wird das Ergebnis bezeichnet, zu dem alle Ergebnisse des Zufallsversuchs gehören, deren Eintritt dazu führt, dass die Zufallsgröße X den Wert X; annimmt. Ordnet man jedem möglichem Wert X;, den die Zufallsgröße X annehmen kann, die Wahrscheinlichkeit P(X=X;) zu, mit der sie diesen Wert annimmt, so erhält man die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröe X. X sei eine Zufallsgröe mit der Wertemenge Xi, ..., Xn. Dann heißt die Zahl μ = E(X)=x₁ *P(X= X₁)+...+Xn •P(X=Xn) Erwartungswert der Zufallsgröße X. X sei eine Zufallsgröße mit der Wertmenge X₁, ..., Xn und dem Erwartungswert µ = E(X). Dann heißt die Zahl V(X) = (x-μ)^2 P(X= x₁)+...+ (Xn-μ)^2 P(X= Xn) die Varianz der Zufallsgröße X. Die Größe o (X) =V(X) 'heißt Standardabweichung der Zufallsgröße X. 7 Binomialverteilung mit Classpad Bei einer Binomialverteilung mit EINEM k: binomialPDf (k,n,p) => Aktion/Interaktion- Verteilungsfunktion- Diskret- binominalPDf Bei einer Binomialverteilung mit MEHREREN ks (Intervall): binomialCDf (k₁,kn,p) => Aktion/Interaktion- Verteilungsfunktion- Diskret- binominal CDf Gesucht... P ...μ ... n р • P (X=k) -> binomialPDf (k,n,p) •P (K₁≤x≤k₂) -> binomialCDf (k₁,k,,n,p) • P. (X<k) > 0,8 -> binomialCDf (0,k,n,p). •P (X≥k) < 0,8 -> binomialCDf (k,n,n,p). •P (X≥k) ≥ 0,9 -> binomialCDf (k,n,n,p) 1-P (X<k) ≥ 0,9 -P (X<k) ≥ (-0,1) P (X<k) ≤ 0,1 -> solve (P (X<k) ≤ 0,1)) 1-1 | • (-1) •P (X≥k) 0,8 ~ -> binomialCDf (k₁, k₁,n,p) -> solve (binomialCDf (k₁, k₁,n,p)) = 0,8 variieren bis P>0,8 variieren bis P<0,8 variieren variieren 8 3-mindestens Aufgabe •n ist gesucht (n=?) Zufallsvariable min. 1 (k≥1) Endwahrscheinlichkeit (P) & Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis (p) gegeben in der Aufgabe 3x „mindestens" ● Beispiel Mindeste Größe einer Personengruppe, damit mit mindestens 99% Wahrscheinlichkeit mindestens eine Person infiziert ist. X ist die Anzahl der infizierten Personen. x ist binominalverteilt mit n=?, p=0,02. Handschriftlich über die Gegenwahrscheinlichkei: P (X≥1) ≥ 0,99 1- P(X=0) ≥ 0,99 0,98 ≤ 0,01 n ≥ 227,9481 Classpad binominalCDf (k₁,k,=n,n,p) -> binominalCDf (1,n,n,0.02) ausprobieren -> binominalCDf (1,227,227,p) = 0,9898 -> binominalCDf (1,228,228,p) = 0,9900 n=227-> 0,9898 n=228 -> 0,9900 Übergang Antwort Die Personengruppe muss aus mindestens 288 Menschen bestehen, damit mindestens eine Person mit mindestens 99% Wahrscheinlichkeit infiziert ist.. 9 8. Erwartungswert einer Zufallsvariablen Der Erwartungswert einer Zufallsvariable X bei einem Zufallsexperiment gibt an, welcher Mittelwert bei mehrmaliger Wiederholung des Experiments zu erwarten ist. Bei einer wiederholten Durchführung des Experiments wäre also in etwa ein Ergebnis in der Nähe des Erwartungswert zu erwarten. Formel: E(x)=x₂₁ Plx= x₁ + x₂ ·· P.|x = x₂ ) +₁ Ereignis Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E(X)=₁X₁ P(X=x₁). i=1 * Bei Binomialverteilung: м=пір Beispiel: Xi ·P(x=xi)| -2 -1 3 9 g E(x) = (-2) · + (-1) · 33 +5. g 800 + P(x=xn) ←immer = 1 Jeder x-Wert x Wahrscheinlichkeit seines Auftretens 10 9. Varianz von Zufallsgrößen Die Varianz einer Zufallsgröße X ist die quadratische Abweichung vom Erwartungswert eines Zufallsexperiments. Formel: · V(x) = (x₁ -μ)². P(x=x₁) + ··· + (xn-M) ². P(x=xn) = 6² ... Bei Binomialverteilung: 6² = np: (1-P) 10. Standardabweichung von Zufallsgrößen Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung der Zufallsgröße X. Sie hat die gleiche physikalische Einheit wie die Zufallsgröße selbst. Formel: 6 = 1x₁-M₁² PIX=x₂) + (x₂-μ)². P(X=x₂) + ... + (xn-M) ². P(X=xn)' Ereignis (x)=√√(x) Erwartungswert Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis Bei Binomialverteilung: 6=√n.p.(1-p) Beispiel: Varianz und Standardabweichung Xi 3 5 6 7 P(x=xi) 0,1 0,2 0,4 0,2 0.1 E(x)=s V(x)=(3-51² 0,1 + (4-5)² · 0,2+(5-51²-014 (X-Wert - E(x))²x Wahrscheinlichkeit des Auftretens 6(x)=√√(x) =√1₁2 = 1,095 11 11. Sigmaregeln Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegen die Werte einer Zufallsgröße in einem bestimmten Intervall? Man kann bei Binomialverteilungen angeben, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Versuchsausgang in einer Umgebung des Erwartungswertes liegen sollte, dessen Radius durch ein Vielfaches von gegeben ist => Sigmaregeln Für jede binomialverteilte Zufallsgröße X mit den Parametern n und p und der dazugehörigen Standardabweichung 6-n-p.11-P) gilt: 1.6 -Regel. PlM-6 ≤ x ≤ M +6 ) ≈ 68.3% 2.6-Regel: Plu-26≤ x ≤ M+26) ≈ 95,4% 3.8-Regel: PM-30≤x≤μ +36) ≈ 99,7% Die Näherung wird um so besser, je größer n ist. In der Regel verlangt man 6 >3 →-Umgebungen, die „glatte“ Wahrscheinlichkeiten liefern: P(-1,640≤x≤ 1,646) * 90% P(M-1,968≤x≤ 1,966) ~ 95% Plμ-2,586≤x≤ 2,586) ~ 99% P(X=r) 0,08 0,06 0,04 0,02 O ++++ 30 ↑ 35 lag. 99,7% 40 45 195,4% 68% n=100 P=0,5 6=√100·0,5.0₂5 = S 50 55 60 65 36 → Anzahl r nach innen runden: linken Wert auf- und den rechten abrunden Liegt die Trefferwahrscheinlichkeit bei einem Bernoulli-Experiment außerhalb der 26 - Umgebung (26- Intervall), spricht man von einer signifikanten Abweichung vom Erwartungswert. Das bedeutetet: der Ausgang ist so ungewöhnlich, dass vermutlich ein anderes p als das angenommene zugrunde 12 Beispiel: n=125 p= 0,5 x: binomialverteilt Erwartungswert: E(x)=125-0,4 = 50 Standardabweichung: 6=√125·0,4·(1-0,4)=√30 ≥ 3 (Laplace-Bedingung) Es muss ≥ 3 sein.. ·P(39.05 ≤x≤ 60,95) 26-Umgebung: M-20=39,05 M+26= 60,95 M-20≤x≤M+26 39,046≤x≤ 60,954 40≤x≤ 60. [40;60] nach innen gerundet Innerhalb des Intervalls [40;60] liegen also etwa 95,4% der Werte der Zufallsgröße X. 13 12. Hypergeometrische Verteilung Die hypergeometrische Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Wie bei der Binomialverteilung verwendet man diese für ein Zufallsexperimente mit nur zwei möglichen Ergebnissen, Erfolg oder Nicht-Erfolg. Während die Binomialverteilung Experimente mit Zurücklegen beschreibt, wird die hypergeometrische Verteilung für Experimente ohne Zurücklegen verwendet. ,,Grundgesamtheit": N Anzahl der Ziehungen: n Anzahl „Merkmalsträger": M (M) (N-M) P ( X = k) = ( ) ( =) n-k oZ/OR Wenn n sehr groß ist, darf die Binominalverteilung verwendet werden -> ab spätestens 100 oder geringe Trefferwahrscheinlichkeit Hypergeometrische Verteilung mit Classpad Bei einer Hypergeometrischen Verteilung mit EINEM K: hypergeoPDf (k,n,M,N) => Aktion/Interaktion- Verteilungsfunktion- Diskret- hypergeoPDf Bei einer Hypergeometrischen Verteilung mit MEHREREN ks (Intervall): hypergeoCDf (k₁,k₁n,M,N) => Aktion/Interaktion- Verteilungsfunktion- Diskret- hypergeoCDf 14 13. Hypothesentest =>wenn man irgendetwas mit Hilfe von erhobenen Daten nachweisen möchte. Der Grundsatz ist hierbei, dass wir das Gegenteil widerlegen müssen. Beispiel: Auf dem Oktoberfest werden die Maßkrüge nicht ganz voll gemacht. Wir müssen also widerlegen, dass der Maßkrug tatsächlich mit einem Liter gefüllt ist. Es stehen sich zwei einander widersprechende Behauptungen (=Hypothesen) gegenüber. Dabei gilt: die Nullhypothese Ho soll geprüft werden und die Gegenhypothese H ist die logische Verneinung von Ho Die Begriffe sind so zu verstehen, dass geprüft wird, ob H, bewiesen werden kann. Ist das nicht der Fall, wird Ho als gültig erachtet. Der Hypothesentest dient also dazu, anhand eines Stichproben- Ergebnisses zu einer Entscheidung zu kommen, welche der beiden Hypothesen Ho und H₁ angenommen und welche verworfen wird. Wichtig: keine 100%ige Sicherheit, da von einer Stichprobe auf eine Gesamtmenge geschlossen wird. Legende: n= Stichprobenumfang p= Wahrscheinlichkeit M = p.n= Erwartungswert Welcher Test infolge welcher Aufgabenstellung? Beispiel: 30% lieben Mathe mit Stichprobenumfang n= 100 Wahrscheinlichkeit p= 0,3 Erwartungswert M= linksseitiger rechtsseitiger beidseitiger Alternativtest Hypothesentest Hypothesentest Hypothesentest Aufgabenstellung jemand sagt "ob weniger als 40% lieben Mathe. " 30%.... Gegenhypothese H₁P₁ = 0,4 H₁: P₁ <0,3. ob mehr als 21 30% .... H₁: P₁ > 0,3 ob sich die 30% geändert haben. H: P₁0₁3 "1 15 Einseitiger Hypothesentest Bei einseitigen Tests sehen die Hypothesen folgendermaßen aus: Linksseitiger Test: Nullhypothese → Ho: p²p₁. Alternative →H₁:P<P₁ Rechtsseitiger Test: Nullhypothese → Ho: P≤P₁ Alternative →H₁:P>P₁. => Bei linksseitigen Test wird also geprüft, ob die Wahrscheinlichkeit p tatsächlich mindestens p, beträgt. Bei rechtsseitigen Test wird dagegen geprüft, ob die Wahrscheinlichkeit tatsächlich höchstens p, beträgt. Beidseitiger Hypothesentest Bei zweiseitigen/beidseitigen Hypothesentests geht es ebenfalls darum aufgrund einer Stichprobe zu entscheiden, ob eine vermutete Wahrscheinlichkeit statistisch gesehen angenommen werden kann. Zweiseitiger Test: Nullhypothese → Ho: P = P₁ Alternative →H₁ PP₁ Classpad: Linksseitiger Test: Rechtsseitiger Test: Zweiseitiger Test: (0.k.n.p) ≤ x ≤ variieren binomialCDf (0,k,n,p) binomialCDf (k,k,n,p) ≤ 1. binomialCDf (0,k,,n,p) 2. binomialCDf (k₂,n,n,p) → k variieren 16 Aufstellen von Hypothesen Woran erkennt man, was H0 und was H1 ist? (nicht Alternativtest!) 1) In der H1. Hypothese steht niemals ein = oder > 2) Beim Wort ,,höchstens“ (≤) wissen wir, dass das die H0 Hypothese kennzeichnet und wir einen rechtsseitigen Hypothesentest machen sollen. 3) Beim Wort ,,mindestens“ (≥) wissen wir, dass das die HO Hypothese kennzeichnet und wir einen linksseitigen Hypothesentest machen sollen. 4) Beim Wort „mehr als" oder „größer“ (>) wissen wir, dass das die H1 Hypothese kennzeichnet und wir einen rechtsseitigen Hypothesentest machen müssen. Beim Wort ,,weniger als“ oder „kleiner“ (< ) wissen wir, dass das die H1 Hypothese kennzeichnet und wir einen linksseitigen Hypothesentest machen müssen. Testgröße und Stichprobenlänge Das, worauf bei der Durchführung der einzelnen Versuche geachtet wird (= Anzahl der Eintritte des betreffenden Ereignisses) nennt man Testgröße. Sie wird mit den Zeichen ,,T", „X“ oder „Z" abgekürzt. Bei der Stichprobe handelt es sich um eine Bernoulli - Kette. Die Testgröße ist demnach binomialverteilt. Entscheidungsregel Annahme- oder Ablehnungsbereich Abhängig vom Wert, den die Testgröße in der Stichprobe annimmt, wird man die Richtigkeit der einen bzw. der anderen der beiden Hypothesen annehmen. Legende: Annahmebereich A umfasst die Werte zwischen 0 und n, bei denen Ho angenommen werden soll. Ablehnungsbereich A umfasst im Gegensatz zu A die anderen Werte, bei denen Ho abgelehnt werden soll. Entscheidungsregel = der Annahme - und Ablehnungsbereich für eine der beiden Hypothesen. Signifikanzniveau & soll die Aussagekraft des Tests sichern (meist bei 1%, 5% oder 10% festgelegt).. kritischer Wert k 17 linksseitiger Test: beidseitiger Test: rechtsseitiger Test: Beispiel: O Ā= [0,₁....k] O Formel: P(x≤k) = (1).p! · (4-p) ^-i i=0 O Achtung bei Kommazahlen: Man rundet immer nach ,,innen". Berechnung: Ablehnungsbereich A= [0; k-1] M M A=[k+1,...,n] ki м кз, A = [k₁ + 1; k₂ Ā= [Ok] [k₂in] beidseitiger Test: k₁= 54,48 und k₂ = 78,92 => A=[SS;78] n Ā=[kin] Wahrscheinlichkeiten bestimmen einseitige Tests: linksseitig, k=9, 18 => A=[9;n]; A = [09] n bei größeren Werten von k besser mit Classpad binomialCDf (k,n,p) → berechnet die kumulierten Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung kumulierte Wahrscheinlichkeiten: Summe aus verschiedenen Wahrscheinlichkeiten. 18 14. Fehler 1. und 2. Art Bei der Durchführung von Signifikanztests können zwei Fehler auftreten: Fehler 1. Art (2-Fehler): Die Nullhypothese wird abgelehnt, obwohl diese in Wahrheit zutrifft. Fehler 2. Art (3-Fehler): Die Nullhypothese wird angenommen, obwohl tatsächlich die H₁ - Hypothese gilt. Bedingungen: Je größer &, desto kleiner wird der Annahmebereich. Je größerx,desto kleiner. Je größer n, desto kleiner undß. Je größer n, desto kleiner bei gleichgebliebenenx.. Je dichter an liegt, desto größer wird ß. 15. Laplace-Experiment Bei einem Laplace - Experiment handelt es sich um ein Zufallsexperiment mit der Einschränkung, dass jedes Ereignis die gleiche Wahrscheinlichkeit hat. Hat Ereignis (E) mehrere Ergebnisse, so wird Wahrscheinlichkeit P dieses Ereignisses mit folgender Formel bestimmt: P(E)= Anzahl der günstigen Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse Beispiele für Laplace Experimente: • Würfelexperiment (jede Ziffer hat die gleiche Wahrscheinlichkeit geworfen zu werden, da 6 Flächen des Würfels gleich groß sind). • Glücksräder (Einschränkung: Felder müssen gleiche Größe haben) 19