App öffnen

Fächer

Stochastik mündliches Abi: Zusammenfassung und Beispiele

319

1

C

Caro

6.10.2025

Mathe

Stochastik Mündliches Abi

7.470

6. Okt. 2025

6 Seiten

Stochastik mündliches Abi: Zusammenfassung und Beispiele

C

Caro

@caro_bnwd

Die Stochastik ist ein faszinierendes Teilgebiet der Mathematik, das sich... Mehr anzeigen

Page 1
Page 2
Page 3
Page 4
Page 5
Page 6
1 / 6
# Pfadregeln und Erwartungswert

Baumdiagramm:

FIW

3

fla

سات

Pfadregeln:

Produktregel = Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhäl

Pfadregeln und Erwartungswert

Bei einem Baumdiagramm helfen dir zwei wichtige Regeln: Die Produktregel besagt, dass du die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizieren musst, um die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses zu erhalten. Beispielsweise wäre die Wahrscheinlichkeit für "erst rot, dann blau" Prbrb = 18,75%.

Die Summenregel sagt, dass du die Wahrscheinlichkeiten aller zu einem Ereignis gehörenden Ergebnisse addieren musst. Für "mindestens einmal blau" wäre das PEE = Prbrb + Pbrbr + Pbbbb = 43,75%.

Der Erwartungswert EXX einer Zufallsgröße X gibt an, welches Ergebnis du im Durchschnitt auf lange Sicht erwarten kannst. Er wird berechnet durch EXX = x₁·PX=x1X=x₁ + x₂·PX=x2X=x₂ + ... + xₙ·PX=xnX=xₙ. Ein Spiel ist übrigens fair, wenn der Erwartungswert für den Gewinn genau 0 ist.

💡 Praxis-Tipp: Baumdiagramme sind ideal, um komplexe Wahrscheinlichkeitsaufgaben zu visualisieren. Zeichne sie immer sorgfältig und beschrifte jeden Ast mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit!

# Pfadregeln und Erwartungswert

Baumdiagramm:

FIW

3

fla

سات

Pfadregeln:

Produktregel = Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhäl

Bedingte Wahrscheinlichkeit und Beispielrechnungen

Bei einem Glücksspiel, bei dem ein Rad zweimal gedreht wird, kannst du den Erwartungswert ganz praktisch berechnen. Für die Gewinnmöglichkeiten 1,0oder4-1€, 0€ oder 4€ und deren Wahrscheinlichkeiten erhältst du:

EXX = 1-1·9/169/16 + 0·6/166/16 + 4·1/161/16 = -5/16 ≈ -0,31€

Das bedeutet, dass du auf lange Sicht pro Spiel durchschnittlich 31 Cent verlierst. Solche Erwartungswert-Berechnungen helfen dir zu entscheiden, ob ein Glücksspiel fair ist.

Eine bedingte Wahrscheinlichkeit P_A(B) beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B unter der Bedingung, dass Ereignis A bereits eingetreten ist. Sie wird berechnet durch:

P_ABB = P(A∩B) / P(A)

Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn die bedingte Wahrscheinlichkeit gleich der unbedingten ist: P_ABB = PBB. Dies bedeutet auch, dass PABA∩B = P(A)·P(B) gilt.

💡 Klausur-Tipp: Bei Aufgaben mit Baumdiagrammen und bedingten Wahrscheinlichkeiten solltest du immer zuerst alle Pfadwahrscheinlichkeiten berechnen und dann die Summenregel anwenden!

# Pfadregeln und Erwartungswert

Baumdiagramm:

FIW

3

fla

سات

Pfadregeln:

Produktregel = Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhäl

Bernoulli-Experiment

Ein Bernoulli-Experiment ist ein spezielles Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ergebnissen (z.B. "Erfolg" und "Misserfolg"), die voneinander unabhängig sind und deren Trefferwahrscheinlichkeit p sich nicht ändert. Typische Bernoulli-Experiment Beispiele sind Münzwürfe oder Ja/Nein-Umfragen.

Die Bernoulli-Formel berechnet die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge bei n Versuchen:

PX=kX=k = nu¨berkn über k · p^k · 1p1-p^nkn-k = B_{n;p}(k)

Dabei ist (n über k) der Binomialkoeffizient, berechnet durch nu¨berkn über k = n! / k!(nk)!k! · (n-k)!

Für kumulierte Wahrscheinlichkeiten wie "höchstens k Treffer" addierst du einfach alle Einzelwahrscheinlichkeiten: PXkX≤k = PX=0X=0 + PX=1X=1 + ... + PX=kX=k. Mit dem Taschenrechner kannst du verschiedene Arten von Wahrscheinlichkeiten berechnen:

  • Höchstens k Treffer: P(X≤k)
  • Weniger als k Treffer: PX<kX<k = PXk1X≤k-1
  • Mindestens k Treffer: PXkX≥k = 1 - PXk1X≤k-1
  • Mehr als k Treffer: PX>kX>k = 1 - P(X≤k)

💡 Merkhilfe: Die Bernoulli-Kette ist einfach eine Folge von mehreren unabhängigen Bernoulli-Experimenten - wie mehrfaches Würfeln oder mehrere Münzwürfe hintereinander.

# Pfadregeln und Erwartungswert

Baumdiagramm:

FIW

3

fla

سات

Pfadregeln:

Produktregel = Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhäl

Erwartungswert und Histogramm

Eine binomialverteilte Zufallsgröße hat einen Erwartungswert von EXX = n·p und eine Standardabweichung von σ = √np(1pn·p·(1-p). Diese einfache Formel für den Erwartungswert Binomialverteilung (n·p) ist sehr nützlich, wenn du schnell einen Durchschnittswert berechnen musst.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung kannst du in einem Histogramm darstellen. Die höchste Säule liegt bei k = μ (wenn μ ganzzahlig ist) oder bei einem der benachbarten ganzzahligen Werte. Je größer n ist, desto breiter wird das Histogramm.

Bei Binomialverteilung Beispielaufgaben geht es oft um die Bestimmung der Parameter n, p oder k:

Um den Parameter n zu bestimmen, setze eine Gleichung mit der gegebenen Wahrscheinlichkeit an und berechne verschiedene Werte von n, bis die Bedingung erfüllt ist. Beispiel: "Wie oft muss man würfeln, um mit 90% Wahrscheinlichkeit mindestens zweimal eine 6 zu würfeln?" → Die Lösung ist n = 22.

💡 Abitur-Tipp: Bei Baumdiagramm Aufgaben im Abitur musst du oft Gleichungen aufstellen und nach einem Parameter auflösen. Nutze deinen Taschenrechner, um verschiedene Werte auszuprobieren!

# Pfadregeln und Erwartungswert

Baumdiagramm:

FIW

3

fla

سات

Pfadregeln:

Produktregel = Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhäl

Bestimmung von Parametern in der Binomialverteilung

Bei Binomialverteilung Aufgaben musst du oft die Parameter p (Wahrscheinlichkeit) oder k (Anzahl der Erfolge) bestimmen:

Bestimmung von p: Wenn du den Anteil p berechnen sollst, stellst du eine Ungleichung mit der gegebenen Wahrscheinlichkeit auf. Beispiel: "Wie hoch muss der Anteil grüner Schokolinsen sein, damit eine Packung mit 124 Stück mit 80% Wahrscheinlichkeit mindestens 30 grüne enthält?"

Lösung: P(X ≥ 30) ≥ 0,8 → P(X ≤ 29) ≤ 0,2 Dann probierst du verschiedene Werte für p mit dem Taschenrechner, bis die Bedingung erfüllt ist.

Bestimmung von k: Ähnlich gehst du vor, wenn du die Mindestanzahl k an Erfolgen bestimmen sollst. Beispiel: "Bei 10 Quizfragen mit je 4 Antwortmöglichkeiten soll die Chance, durch Raten zu gewinnen, höchstens 5% betragen. Wie viele richtige Antworten sind mindestens nötig?"

Lösung: PXkX ≥ k ≤ 0,05 → PXk1X ≤ k-1 ≥ 0,95 Nach Probieren verschiedener Werte ergibt sich k = 6.

Solche Baumdiagramm Wahrscheinlichkeit berechnen Aufgaben kannst du systematisch lösen, indem du die Bedingung in eine Ungleichung umwandelst und dann mit dem Taschenrechner die Lösung findest.

💡 Bei mündlichen Prüfungen: Erkläre für die Stochastik mündliche Prüfung immer dein Vorgehen Schritt für Schritt – besonders wie du die Ungleichung aufstellst und interpretierst.

# Pfadregeln und Erwartungswert

Baumdiagramm:

FIW

3

fla

سات

Pfadregeln:

Produktregel = Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhäl

Normalverteilung

Im Gegensatz zur Binomialverteilung (diskrete Werte) kann eine normalverteilte Zufallsgröße jeden reellen Wert annehmen. Sie ist eine stetige Verteilung und wird durch Integrale berechnet.

Eine Zufallsgröße X heißt normalverteilt mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ. Die zugehörige Gaußsche Glockenkurve hat ihren Hochpunkt bei x = μ und Wendepunkte bei x = μ ± σ.

Wichtige Eigenschaft: Bei einer normalverteilten Zufallsgröße beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die Werte um höchstens eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen, etwa 68,3%:

PμσXμ+σμ-σ ≤ X ≤ μ+σ ≈ 0,683

Mit dem Taschenrechner kannst du verschiedene Arten von Wahrscheinlichkeiten berechnen:

  • Werte zwischen a und b: P(a ≤ X ≤ b)
  • Höchstens b: P(X ≤ b)
  • Mindestens a: P(X ≥ a)

Ein konkretes Beispiel wäre die Wahrscheinlichkeit, dass ein Brötchen zwischen 52g und 54g wiegt, berechnet als P(52 ≤ X ≤ 54).

💡 Verständnis-Tipp: Die Normalverteilung ist eine Approximation der Binomialverteilung für große n. Der Erwartungswert Binomialverteilung Bedeutung (n·p) ist dabei identisch mit dem Erwartungswert μ der approximierenden Normalverteilung!



Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

 

Mathe

7.470

6. Okt. 2025

6 Seiten

Stochastik mündliches Abi: Zusammenfassung und Beispiele

C

Caro

@caro_bnwd

Die Stochastik ist ein faszinierendes Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Zufallsexperimenten und Wahrscheinlichkeiten beschäftigt. In diesen Notizen lernst du wichtige Konzepte wie Baumdiagramme, Pfadregeln, Bernoulli-Experimente und die Binomialverteilung kennen - alles Werkzeuge, die dir helfen, Wahrscheinlichkeiten zu berechnen und... Mehr anzeigen

# Pfadregeln und Erwartungswert

Baumdiagramm:

FIW

3

fla

سات

Pfadregeln:

Produktregel = Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhäl

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Pfadregeln und Erwartungswert

Bei einem Baumdiagramm helfen dir zwei wichtige Regeln: Die Produktregel besagt, dass du die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizieren musst, um die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses zu erhalten. Beispielsweise wäre die Wahrscheinlichkeit für "erst rot, dann blau" Prbrb = 18,75%.

Die Summenregel sagt, dass du die Wahrscheinlichkeiten aller zu einem Ereignis gehörenden Ergebnisse addieren musst. Für "mindestens einmal blau" wäre das PEE = Prbrb + Pbrbr + Pbbbb = 43,75%.

Der Erwartungswert EXX einer Zufallsgröße X gibt an, welches Ergebnis du im Durchschnitt auf lange Sicht erwarten kannst. Er wird berechnet durch EXX = x₁·PX=x1X=x₁ + x₂·PX=x2X=x₂ + ... + xₙ·PX=xnX=xₙ. Ein Spiel ist übrigens fair, wenn der Erwartungswert für den Gewinn genau 0 ist.

💡 Praxis-Tipp: Baumdiagramme sind ideal, um komplexe Wahrscheinlichkeitsaufgaben zu visualisieren. Zeichne sie immer sorgfältig und beschrifte jeden Ast mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit!

# Pfadregeln und Erwartungswert

Baumdiagramm:

FIW

3

fla

سات

Pfadregeln:

Produktregel = Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhäl

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Bedingte Wahrscheinlichkeit und Beispielrechnungen

Bei einem Glücksspiel, bei dem ein Rad zweimal gedreht wird, kannst du den Erwartungswert ganz praktisch berechnen. Für die Gewinnmöglichkeiten 1,0oder4-1€, 0€ oder 4€ und deren Wahrscheinlichkeiten erhältst du:

EXX = 1-1·9/169/16 + 0·6/166/16 + 4·1/161/16 = -5/16 ≈ -0,31€

Das bedeutet, dass du auf lange Sicht pro Spiel durchschnittlich 31 Cent verlierst. Solche Erwartungswert-Berechnungen helfen dir zu entscheiden, ob ein Glücksspiel fair ist.

Eine bedingte Wahrscheinlichkeit P_A(B) beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B unter der Bedingung, dass Ereignis A bereits eingetreten ist. Sie wird berechnet durch:

P_ABB = P(A∩B) / P(A)

Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn die bedingte Wahrscheinlichkeit gleich der unbedingten ist: P_ABB = PBB. Dies bedeutet auch, dass PABA∩B = P(A)·P(B) gilt.

💡 Klausur-Tipp: Bei Aufgaben mit Baumdiagrammen und bedingten Wahrscheinlichkeiten solltest du immer zuerst alle Pfadwahrscheinlichkeiten berechnen und dann die Summenregel anwenden!

# Pfadregeln und Erwartungswert

Baumdiagramm:

FIW

3

fla

سات

Pfadregeln:

Produktregel = Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhäl

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Bernoulli-Experiment

Ein Bernoulli-Experiment ist ein spezielles Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ergebnissen (z.B. "Erfolg" und "Misserfolg"), die voneinander unabhängig sind und deren Trefferwahrscheinlichkeit p sich nicht ändert. Typische Bernoulli-Experiment Beispiele sind Münzwürfe oder Ja/Nein-Umfragen.

Die Bernoulli-Formel berechnet die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge bei n Versuchen:

PX=kX=k = nu¨berkn über k · p^k · 1p1-p^nkn-k = B_{n;p}(k)

Dabei ist (n über k) der Binomialkoeffizient, berechnet durch nu¨berkn über k = n! / k!(nk)!k! · (n-k)!

Für kumulierte Wahrscheinlichkeiten wie "höchstens k Treffer" addierst du einfach alle Einzelwahrscheinlichkeiten: PXkX≤k = PX=0X=0 + PX=1X=1 + ... + PX=kX=k. Mit dem Taschenrechner kannst du verschiedene Arten von Wahrscheinlichkeiten berechnen:

  • Höchstens k Treffer: P(X≤k)
  • Weniger als k Treffer: PX<kX<k = PXk1X≤k-1
  • Mindestens k Treffer: PXkX≥k = 1 - PXk1X≤k-1
  • Mehr als k Treffer: PX>kX>k = 1 - P(X≤k)

💡 Merkhilfe: Die Bernoulli-Kette ist einfach eine Folge von mehreren unabhängigen Bernoulli-Experimenten - wie mehrfaches Würfeln oder mehrere Münzwürfe hintereinander.

# Pfadregeln und Erwartungswert

Baumdiagramm:

FIW

3

fla

سات

Pfadregeln:

Produktregel = Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhäl

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Erwartungswert und Histogramm

Eine binomialverteilte Zufallsgröße hat einen Erwartungswert von EXX = n·p und eine Standardabweichung von σ = √np(1pn·p·(1-p). Diese einfache Formel für den Erwartungswert Binomialverteilung (n·p) ist sehr nützlich, wenn du schnell einen Durchschnittswert berechnen musst.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung kannst du in einem Histogramm darstellen. Die höchste Säule liegt bei k = μ (wenn μ ganzzahlig ist) oder bei einem der benachbarten ganzzahligen Werte. Je größer n ist, desto breiter wird das Histogramm.

Bei Binomialverteilung Beispielaufgaben geht es oft um die Bestimmung der Parameter n, p oder k:

Um den Parameter n zu bestimmen, setze eine Gleichung mit der gegebenen Wahrscheinlichkeit an und berechne verschiedene Werte von n, bis die Bedingung erfüllt ist. Beispiel: "Wie oft muss man würfeln, um mit 90% Wahrscheinlichkeit mindestens zweimal eine 6 zu würfeln?" → Die Lösung ist n = 22.

💡 Abitur-Tipp: Bei Baumdiagramm Aufgaben im Abitur musst du oft Gleichungen aufstellen und nach einem Parameter auflösen. Nutze deinen Taschenrechner, um verschiedene Werte auszuprobieren!

# Pfadregeln und Erwartungswert

Baumdiagramm:

FIW

3

fla

سات

Pfadregeln:

Produktregel = Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhäl

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Bestimmung von Parametern in der Binomialverteilung

Bei Binomialverteilung Aufgaben musst du oft die Parameter p (Wahrscheinlichkeit) oder k (Anzahl der Erfolge) bestimmen:

Bestimmung von p: Wenn du den Anteil p berechnen sollst, stellst du eine Ungleichung mit der gegebenen Wahrscheinlichkeit auf. Beispiel: "Wie hoch muss der Anteil grüner Schokolinsen sein, damit eine Packung mit 124 Stück mit 80% Wahrscheinlichkeit mindestens 30 grüne enthält?"

Lösung: P(X ≥ 30) ≥ 0,8 → P(X ≤ 29) ≤ 0,2 Dann probierst du verschiedene Werte für p mit dem Taschenrechner, bis die Bedingung erfüllt ist.

Bestimmung von k: Ähnlich gehst du vor, wenn du die Mindestanzahl k an Erfolgen bestimmen sollst. Beispiel: "Bei 10 Quizfragen mit je 4 Antwortmöglichkeiten soll die Chance, durch Raten zu gewinnen, höchstens 5% betragen. Wie viele richtige Antworten sind mindestens nötig?"

Lösung: PXkX ≥ k ≤ 0,05 → PXk1X ≤ k-1 ≥ 0,95 Nach Probieren verschiedener Werte ergibt sich k = 6.

Solche Baumdiagramm Wahrscheinlichkeit berechnen Aufgaben kannst du systematisch lösen, indem du die Bedingung in eine Ungleichung umwandelst und dann mit dem Taschenrechner die Lösung findest.

💡 Bei mündlichen Prüfungen: Erkläre für die Stochastik mündliche Prüfung immer dein Vorgehen Schritt für Schritt – besonders wie du die Ungleichung aufstellst und interpretierst.

# Pfadregeln und Erwartungswert

Baumdiagramm:

FIW

3

fla

سات

Pfadregeln:

Produktregel = Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhäl

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Normalverteilung

Im Gegensatz zur Binomialverteilung (diskrete Werte) kann eine normalverteilte Zufallsgröße jeden reellen Wert annehmen. Sie ist eine stetige Verteilung und wird durch Integrale berechnet.

Eine Zufallsgröße X heißt normalverteilt mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ. Die zugehörige Gaußsche Glockenkurve hat ihren Hochpunkt bei x = μ und Wendepunkte bei x = μ ± σ.

Wichtige Eigenschaft: Bei einer normalverteilten Zufallsgröße beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die Werte um höchstens eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen, etwa 68,3%:

PμσXμ+σμ-σ ≤ X ≤ μ+σ ≈ 0,683

Mit dem Taschenrechner kannst du verschiedene Arten von Wahrscheinlichkeiten berechnen:

  • Werte zwischen a und b: P(a ≤ X ≤ b)
  • Höchstens b: P(X ≤ b)
  • Mindestens a: P(X ≥ a)

Ein konkretes Beispiel wäre die Wahrscheinlichkeit, dass ein Brötchen zwischen 52g und 54g wiegt, berechnet als P(52 ≤ X ≤ 54).

💡 Verständnis-Tipp: Die Normalverteilung ist eine Approximation der Binomialverteilung für große n. Der Erwartungswert Binomialverteilung Bedeutung (n·p) ist dabei identisch mit dem Erwartungswert μ der approximierenden Normalverteilung!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

319

Smarte Tools NEU

Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen

Probeklausur
Quiz
Flashcards
Aufsatz

Ähnliche Inhalte

Wahrscheinlichkeitsverteilungen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der Stochastik mit einem Fokus auf kumulierte Wahrscheinlichkeiten, Binomialverteilungen, bedingte Wahrscheinlichkeiten und stochastische Unabhängigkeit. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen zu Lagemaßen, Streumaßen, Baumdiagrammen und Bernoulli-Versuchen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen in der Stochastik vertiefen möchten.

MatheMathe
12

Binomialverteilung und Wahrscheinlichkeiten

Entdecken Sie die Lösungen zu den Aufgaben 5 bis 8 aus dem Lambacher Schweizer Mathebuch, S. 284. Diese Zusammenfassung behandelt die Binomialverteilung, kumulative Wahrscheinlichkeiten und grundlegende statistische Konzepte. Ideal für die Qualifikationsphase in Mathematik.

MatheMathe
12

Binomialverteilung & Bernoulli-Experimente

Entdecken Sie die Grundlagen der Binomialverteilung, Erwartungswert, Standardabweichung und Bernoulli-Experimente. Diese Zusammenfassung bietet klare Formeln, Berechnungsbeispiele und Anleitungen zur Nutzung des Taschenrechners für statistische Analysen. Ideal für Studierende der Stochastik.

MatheMathe
11

Stochastik: Abitur Essentials

Umfassende Zusammenfassung der Stochastik für das Hessen Abitur in Mathematik. Behandelt Zufallsexperimente, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Kombinatorik, Binomial- und Normalverteilung sowie Alternativtests. Ideal für die Prüfungsvorbereitung.

MatheMathe
11

Stochastik Grundlagen

Entdecken Sie die wesentlichen Konzepte der Stochastik, einschließlich Normalverteilung, Wahrscheinlichkeitsdichte, Erwartungswert, Standardabweichung und Hypothesentests. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über die wichtigsten Themen für den Leistungskurs. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen vertiefen möchten.

MatheMathe
11

Binomialverteilung & Zufallsgrößen

Erforschen Sie die Grundlagen der Binomialverteilung und Zufallsgrößen. Diese Zusammenfassung behandelt Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Bernoulli-Ketten, kumulierte Binomialverteilungen und grundlegende Aufgaben zur Binomialverteilung. Ideal für Studierende der Stochastik und Statistik.

MatheMathe
11

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user