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Stochastik für die mündliche Abi-Prüfung: Baumdiagramme und Erwartungswerte

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C

Caro

12.1.2022

Mathe

Stochastik Mündliches Abi

Stochastik für die mündliche Abi-Prüfung: Baumdiagramme und Erwartungswerte

Die Stochastik befasst sich mit der Analyse von Zufallsexperimenten und Wahrscheinlichkeiten. Zentrale Konzepte sind Baumdiagramme, bedingte Wahrscheinlichkeiten, Erwartungswerte und die Binomialverteilung. Baumdiagramme visualisieren mögliche Ergebnisse und deren Wahrscheinlichkeiten. Die Pfadregeln (Produkt- und Summenregel) ermöglichen Berechnungen. Der Erwartungswert gibt den durchschnittlich zu erwartenden Wert einer Zufallsgröße an. Bernoulli-Experimente mit zwei möglichen Ausgängen und konstanter Trefferwahrscheinlichkeit bilden die Grundlage für die Binomialverteilung. Diese beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl von Treffern bei mehrfacher Durchführung. Wichtige Anwendungen sind die Bestimmung von Parametern wie Stichprobenumfang, Trefferwahrscheinlichkeit oder kritischen Werten.

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12.1.2022

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Pfadregeln und Erwartungswert
Baumdiagramm:
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Produktregel = Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhä

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Beispiel und bedingte Wahrscheinlichkeit

Dieser Abschnitt vertieft das Verständnis von Erwartungswerten anhand eines konkreten Beispiels und führt das Konzept der bedingten Wahrscheinlichkeit ein.

Ein Glücksspiel wird vorgestellt, bei dem ein Rad zweimal gedreht wird. Der Gewinn hängt von der Anzahl der blauen Ergebnisse ab. Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn des Spielers in Euro.

Der Erwartungswert für dieses Spiel wird detailliert berechnet:

EXX = 1-1 · 9/16 + 0 · 6/16 + 4 · 1/16 = -0,31

Dies bedeutet, dass der Spieler auf lange Sicht durchschnittlich 0,31 Cent pro Spiel verliert.

Das Konzept der bedingten Wahrscheinlichkeit wird eingeführt. Es beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B unter der Bedingung, dass ein Ereignis A bereits eingetreten ist.

Definition: Die bedingte Wahrscheinlichkeit von B gegeben A wird als P_ABB = PABA∩B / PAA definiert.

Highlight: Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn P_ABB = PBB oder äquivalent PABA∩B = PAA · PBB gilt.

Example: Im Glücksspielbeispiel beträgt der Erwartungswert -0,31 Euro, was bedeutet, dass das Spiel nicht fair ist.

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Bernoulli-Experiment

Dieser Abschnitt führt das Bernoulli-Experiment als grundlegendes Konzept in der Stochastik ein und erläutert die Bernoulli-Formel für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten.

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ergebnissen, die voneinander unabhängig sind und deren Trefferwahrscheinlichkeit p sich nicht ändert. Die Anzahl der Durchführungen wird als Länge n bezeichnet.

Die Bernoulli-Formel ermöglicht die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für k Treffer bei n Versuchen:

PX=kX=k = nu¨berkn über k · p^k · 1p1-p^nkn-k

Dabei ist nu¨berkn über k der Binomialkoeffizient, der die Anzahl der möglichen Pfade mit k Treffern angibt.

Der Begriff der kumulierten Wahrscheinlichkeit wird eingeführt als die Summe der Wahrscheinlichkeiten für alle Ergebnisse bis zu einem bestimmten Wert k.

Definition: Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ausgängen, die unabhängig sind und eine konstante Trefferwahrscheinlichkeit haben.

Highlight: Die Bernoulli-Formel ist grundlegend für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in der Binomialverteilung.

Example: Die kumulierte Wahrscheinlichkeit PXkX≤k berechnet sich als Summe PX=0X=0 + PX=1X=1 + ... + PX=kX=k.

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Erwartungswert und Histogramm

In diesem Abschnitt werden der Erwartungswert und die grafische Darstellung von binomialverteilten Zufallsgrößen behandelt.

Für eine binomialverteilte Zufallsgröße X gilt:

  • Der Erwartungswert ist μ = n · p
  • Die Standardabweichung beträgt σ = √np(1pn · p · (1-p)

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße kann in einem Histogramm dargestellt werden. Die Form des Histogramms hängt von den Parametern n und p ab:

  • Wenn μ ganzzahlig ist, liegt die höchste Säule bei k = μ
  • Wenn μ nicht ganzzahlig ist, liegt die höchste Säule bei einem der beiden benachbarten ganzzahligen Werte
  • Je größer n ist, desto breiter wird das Histogramm

Ein Beispiel zur Bestimmung des Parameters n wird vorgestellt: Wie oft muss man würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens zweimal eine 6 zu würfeln?

Die Lösung wird schrittweise hergeleitet, wobei die binomialverteilte Zufallsgröße X die Anzahl der Würfe mit einer 6 beschreibt. Durch systematisches Ausprobieren wird ermittelt, dass man mindestens 22-mal würfeln muss.

Definition: Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße ist μ = n · p, wobei n die Anzahl der Versuche und p die Trefferwahrscheinlichkeit ist.

Highlight: Die Form des Histogramms einer binomialverteilten Zufallsgröße hängt von den Parametern n und p ab und wird mit zunehmendem n breiter.

Example: Um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens zweimal eine 6 zu würfeln, muss man mindestens 22-mal würfeln.

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Bestimmung von Parametern

Dieser Abschnitt behandelt die Bestimmung verschiedener Parameter in Problemstellungen, die mit der Binomialverteilung modelliert werden können.

Zunächst wird ein Beispiel zur Bestimmung des Parameters p TrefferwahrscheinlichkeitTrefferwahrscheinlichkeit vorgestellt: Ein Schokolinsenhersteller möchte wissen, wie hoch der Anteil grüner Schokolinsen sein muss, damit in einer Packung mit 124 Stück mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% mindestens 30 grüne enthalten sind.

Die Lösung erfolgt durch systematisches Ausprobieren verschiedener p-Werte im Taschenrechner, bis die Bedingung PX30X≥30 ≥ 0,8 erfüllt ist.

Ein weiteres Beispiel befasst sich mit der Bestimmung des Parameters k kritischerWertkritischer Wert: In einer Quizshow mit 10 Fragen und je 4 Antwortmöglichkeiten soll die Chance, nur durch Raten den Hauptpreis zu gewinnen, höchstens 5% betragen. Gesucht ist die Mindestzahl an richtigen Antworten für den Hauptgewinn.

Hier wird die Bedingung PXkX≥k ≤ 0,05 aufgestellt und durch schrittweises Erhöhen von k die Lösung k = 6 gefunden.

Highlight: Die Bestimmung von Parametern in binomialverteilten Problemen erfordert oft systematisches Ausprobieren oder die Verwendung von Technologie wie Taschenrechnern.

Example: In der Quizshow-Aufgabe muss ein Kandidat mindestens 6 von 10 Fragen richtig beantworten, damit die Chance auf einen zufälligen Hauptgewinn unter 5% liegt.

Vocabulary: Der kritische Wert k in einer binomialverteilten Problemstellung ist der Schwellenwert, ab dem ein bestimmtes Ereignis als signifikant betrachtet wird.

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Normalverteilung

Dieser Abschnitt deutet den Übergang von der Binomialverteilung zur Normalverteilung an, wird aber nicht weiter ausgeführt.

Die Normalverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die in vielen natürlichen und sozialen Phänomenen auftritt. Sie hat eine charakteristische glockenförmige Kurve und wird durch zwei Parameter bestimmt: den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ.

Für große n nähert sich die Binomialverteilung der Normalverteilung an, was als Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung bekannt ist.

Highlight: Die Normalverteilung ist eine wichtige kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die in vielen Anwendungen der Statistik eine zentrale Rolle spielt.

Vocabulary: Die Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung ist ein wichtiges Konzept in der Stochastik, das besonders bei großen Stichprobenumfängen relevant wird.

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Lena, iOS Userin

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

 

Mathe

7.194

12. Jan. 2022

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Stochastik für die mündliche Abi-Prüfung: Baumdiagramme und Erwartungswerte

C

Caro

@caro_bnwd

Die Stochastik befasst sich mit der Analyse von Zufallsexperimenten und Wahrscheinlichkeiten. Zentrale Konzepte sind Baumdiagramme, bedingte Wahrscheinlichkeiten, Erwartungswerte und die Binomialverteilung. Baumdiagramme visualisieren mögliche Ergebnisse und deren Wahrscheinlichkeiten. Die Pfadregeln (Produkt- und Summenregel) ermöglichen Berechnungen. Der Erwartungswert gibt den... Mehr anzeigen

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Beispiel und bedingte Wahrscheinlichkeit

Dieser Abschnitt vertieft das Verständnis von Erwartungswerten anhand eines konkreten Beispiels und führt das Konzept der bedingten Wahrscheinlichkeit ein.

Ein Glücksspiel wird vorgestellt, bei dem ein Rad zweimal gedreht wird. Der Gewinn hängt von der Anzahl der blauen Ergebnisse ab. Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn des Spielers in Euro.

Der Erwartungswert für dieses Spiel wird detailliert berechnet:

EXX = 1-1 · 9/16 + 0 · 6/16 + 4 · 1/16 = -0,31

Dies bedeutet, dass der Spieler auf lange Sicht durchschnittlich 0,31 Cent pro Spiel verliert.

Das Konzept der bedingten Wahrscheinlichkeit wird eingeführt. Es beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B unter der Bedingung, dass ein Ereignis A bereits eingetreten ist.

Definition: Die bedingte Wahrscheinlichkeit von B gegeben A wird als P_ABB = PABA∩B / PAA definiert.

Highlight: Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn P_ABB = PBB oder äquivalent PABA∩B = PAA · PBB gilt.

Example: Im Glücksspielbeispiel beträgt der Erwartungswert -0,31 Euro, was bedeutet, dass das Spiel nicht fair ist.

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Bernoulli-Experiment

Dieser Abschnitt führt das Bernoulli-Experiment als grundlegendes Konzept in der Stochastik ein und erläutert die Bernoulli-Formel für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten.

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ergebnissen, die voneinander unabhängig sind und deren Trefferwahrscheinlichkeit p sich nicht ändert. Die Anzahl der Durchführungen wird als Länge n bezeichnet.

Die Bernoulli-Formel ermöglicht die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für k Treffer bei n Versuchen:

PX=kX=k = nu¨berkn über k · p^k · 1p1-p^nkn-k

Dabei ist nu¨berkn über k der Binomialkoeffizient, der die Anzahl der möglichen Pfade mit k Treffern angibt.

Der Begriff der kumulierten Wahrscheinlichkeit wird eingeführt als die Summe der Wahrscheinlichkeiten für alle Ergebnisse bis zu einem bestimmten Wert k.

Definition: Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ausgängen, die unabhängig sind und eine konstante Trefferwahrscheinlichkeit haben.

Highlight: Die Bernoulli-Formel ist grundlegend für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in der Binomialverteilung.

Example: Die kumulierte Wahrscheinlichkeit PXkX≤k berechnet sich als Summe PX=0X=0 + PX=1X=1 + ... + PX=kX=k.

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Erwartungswert und Histogramm

In diesem Abschnitt werden der Erwartungswert und die grafische Darstellung von binomialverteilten Zufallsgrößen behandelt.

Für eine binomialverteilte Zufallsgröße X gilt:

  • Der Erwartungswert ist μ = n · p
  • Die Standardabweichung beträgt σ = √np(1pn · p · (1-p)

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße kann in einem Histogramm dargestellt werden. Die Form des Histogramms hängt von den Parametern n und p ab:

  • Wenn μ ganzzahlig ist, liegt die höchste Säule bei k = μ
  • Wenn μ nicht ganzzahlig ist, liegt die höchste Säule bei einem der beiden benachbarten ganzzahligen Werte
  • Je größer n ist, desto breiter wird das Histogramm

Ein Beispiel zur Bestimmung des Parameters n wird vorgestellt: Wie oft muss man würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens zweimal eine 6 zu würfeln?

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Definition: Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße ist μ = n · p, wobei n die Anzahl der Versuche und p die Trefferwahrscheinlichkeit ist.

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Bestimmung von Parametern

Dieser Abschnitt behandelt die Bestimmung verschiedener Parameter in Problemstellungen, die mit der Binomialverteilung modelliert werden können.

Zunächst wird ein Beispiel zur Bestimmung des Parameters p TrefferwahrscheinlichkeitTrefferwahrscheinlichkeit vorgestellt: Ein Schokolinsenhersteller möchte wissen, wie hoch der Anteil grüner Schokolinsen sein muss, damit in einer Packung mit 124 Stück mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% mindestens 30 grüne enthalten sind.

Die Lösung erfolgt durch systematisches Ausprobieren verschiedener p-Werte im Taschenrechner, bis die Bedingung PX30X≥30 ≥ 0,8 erfüllt ist.

Ein weiteres Beispiel befasst sich mit der Bestimmung des Parameters k kritischerWertkritischer Wert: In einer Quizshow mit 10 Fragen und je 4 Antwortmöglichkeiten soll die Chance, nur durch Raten den Hauptpreis zu gewinnen, höchstens 5% betragen. Gesucht ist die Mindestzahl an richtigen Antworten für den Hauptgewinn.

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Example: In der Quizshow-Aufgabe muss ein Kandidat mindestens 6 von 10 Fragen richtig beantworten, damit die Chance auf einen zufälligen Hauptgewinn unter 5% liegt.

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Normalverteilung

Dieser Abschnitt deutet den Übergang von der Binomialverteilung zur Normalverteilung an, wird aber nicht weiter ausgeführt.

Die Normalverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die in vielen natürlichen und sozialen Phänomenen auftritt. Sie hat eine charakteristische glockenförmige Kurve und wird durch zwei Parameter bestimmt: den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ.

Für große n nähert sich die Binomialverteilung der Normalverteilung an, was als Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung bekannt ist.

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Pfadregeln und Erwartungswert

In diesem Abschnitt werden grundlegende Konzepte der Stochastik eingeführt, insbesondere Baumdiagramme und deren Anwendung zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten.

Ein Baumdiagramm ist eine grafische Darstellung möglicher Ergebnisse eines mehrstufigen Zufallsexperiments. Es veranschaulicht die Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Pfade und Ergebnisse.

Die Pfadregeln sind zentral für die Arbeit mit Baumdiagrammen:

  1. Die Produktregel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines spezifischen Ergebnisses durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades berechnet wird.
  2. Die Summenregel wird angewandt, um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen, indem die Wahrscheinlichkeiten aller zum Ereignis gehörenden Ergebnisse addiert werden.

Der Erwartungswert einer Zufallsgröße wird definiert und seine Bedeutung für faire Spiele erläutert.

Vocabulary: Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch mit zufälligem Ausgang, der unter bestimmten Bedingungen durchgeführt wird.

Definition: Der Erwartungswert EXX einer Zufallsgröße X gibt an, welcher Wert für X im Durchschnitt auf lange Sicht zu erwarten ist.

Example: Bei einem Glücksrad mit den Farben Rot und Blau beträgt die Wahrscheinlichkeit für "mindestens einmal Blau" bei zwei Drehungen 43,75%.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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