Pfadregeln und Erwartungswert

Bei einem Baumdiagramm helfen dir zwei wichtige Regeln: Die Produktregel besagt, dass du die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizieren musst, um die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses zu erhalten. Beispielsweise wäre die Wahrscheinlichkeit für "erst rot, dann blau" P$rb$ = 18,75%.

Die Summenregel sagt, dass du die Wahrscheinlichkeiten aller zu einem Ereignis gehörenden Ergebnisse addieren musst. Für "mindestens einmal blau" wäre das P$E$ = P$rb$ + P$br$ + P$bb$ = 43,75%.

Der Erwartungswert E$X$ einer Zufallsgröße X gibt an, welches Ergebnis du im Durchschnitt auf lange Sicht erwarten kannst. Er wird berechnet durch E$X$ = x₁·P$X=x₁$ + x₂·P$X=x₂$ + ... + xₙ·P$X=xₙ$. Ein Spiel ist übrigens fair, wenn der Erwartungswert für den Gewinn genau 0 ist.

💡 Praxis-Tipp: Baumdiagramme sind ideal, um komplexe Wahrscheinlichkeitsaufgaben zu visualisieren. Zeichne sie immer sorgfältig und beschrifte jeden Ast mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit!

Bedingte Wahrscheinlichkeit und Beispielrechnungen

Bei einem Glücksspiel, bei dem ein Rad zweimal gedreht wird, kannst du den Erwartungswert ganz praktisch berechnen. Für die Gewinnmöglichkeiten $-1€, 0€ oder 4€$ und deren Wahrscheinlichkeiten erhältst du:

E$X$ = $-1$·$9/16$ + 0·$6/16$ + 4·$1/16$ = -5/16 ≈ -0,31€

Das bedeutet, dass du auf lange Sicht pro Spiel durchschnittlich 31 Cent verlierst. Solche Erwartungswert-Berechnungen helfen dir zu entscheiden, ob ein Glücksspiel fair ist.

Eine bedingte Wahrscheinlichkeit P_A(B) beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B unter der Bedingung, dass Ereignis A bereits eingetreten ist. Sie wird berechnet durch:

P_A$B$ = P(A∩B) / P(A)

Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn die bedingte Wahrscheinlichkeit gleich der unbedingten ist: P_A$B$ = P$B$. Dies bedeutet auch, dass P$A∩B$ = P(A)·P(B) gilt.

💡 Klausur-Tipp: Bei Aufgaben mit Baumdiagrammen und bedingten Wahrscheinlichkeiten solltest du immer zuerst alle Pfadwahrscheinlichkeiten berechnen und dann die Summenregel anwenden!

Bernoulli-Experiment

Ein Bernoulli-Experiment ist ein spezielles Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ergebnissen (z.B. "Erfolg" und "Misserfolg"), die voneinander unabhängig sind und deren Trefferwahrscheinlichkeit p sich nicht ändert. Typische Bernoulli-Experiment Beispiele sind Münzwürfe oder Ja/Nein-Umfragen.

Die Bernoulli-Formel berechnet die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge bei n Versuchen:

P$X=k$ = $n über k$ · p^k · $1-p$^$n-k$ = B_{n;p}(k)

Dabei ist (n über k) der Binomialkoeffizient, berechnet durch $n über k$ = n! / $k! · (n-k)!$

Für kumulierte Wahrscheinlichkeiten wie "höchstens k Treffer" addierst du einfach alle Einzelwahrscheinlichkeiten: P$X≤k$ = P$X=0$ + P$X=1$ + ... + P$X=k$. Mit dem Taschenrechner kannst du verschiedene Arten von Wahrscheinlichkeiten berechnen:

• Höchstens k Treffer: P(X≤k)
• Weniger als k Treffer: P$X<k$ = P$X≤k-1$
• Mindestens k Treffer: P$X≥k$ = 1 - P$X≤k-1$
• Mehr als k Treffer: P$X>k$ = 1 - P(X≤k)

💡 Merkhilfe: Die Bernoulli-Kette ist einfach eine Folge von mehreren unabhängigen Bernoulli-Experimenten - wie mehrfaches Würfeln oder mehrere Münzwürfe hintereinander.

Erwartungswert und Histogramm

Eine binomialverteilte Zufallsgröße hat einen Erwartungswert von E$X$ = n·p und eine Standardabweichung von σ = √$n·p·(1-p$). Diese einfache Formel für den Erwartungswert Binomialverteilung (n·p) ist sehr nützlich, wenn du schnell einen Durchschnittswert berechnen musst.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung kannst du in einem Histogramm darstellen. Die höchste Säule liegt bei k = μ (wenn μ ganzzahlig ist) oder bei einem der benachbarten ganzzahligen Werte. Je größer n ist, desto breiter wird das Histogramm.

Bei Binomialverteilung Beispielaufgaben geht es oft um die Bestimmung der Parameter n, p oder k:

Um den Parameter n zu bestimmen, setze eine Gleichung mit der gegebenen Wahrscheinlichkeit an und berechne verschiedene Werte von n, bis die Bedingung erfüllt ist. Beispiel: "Wie oft muss man würfeln, um mit 90% Wahrscheinlichkeit mindestens zweimal eine 6 zu würfeln?" → Die Lösung ist n = 22.

💡 Abitur-Tipp: Bei Baumdiagramm Aufgaben im Abitur musst du oft Gleichungen aufstellen und nach einem Parameter auflösen. Nutze deinen Taschenrechner, um verschiedene Werte auszuprobieren!

Bestimmung von Parametern in der Binomialverteilung

Bei Binomialverteilung Aufgaben musst du oft die Parameter p (Wahrscheinlichkeit) oder k (Anzahl der Erfolge) bestimmen:

Bestimmung von p: Wenn du den Anteil p berechnen sollst, stellst du eine Ungleichung mit der gegebenen Wahrscheinlichkeit auf. Beispiel: "Wie hoch muss der Anteil grüner Schokolinsen sein, damit eine Packung mit 124 Stück mit 80% Wahrscheinlichkeit mindestens 30 grüne enthält?"

Lösung: P(X ≥ 30) ≥ 0,8 → P(X ≤ 29) ≤ 0,2 Dann probierst du verschiedene Werte für p mit dem Taschenrechner, bis die Bedingung erfüllt ist.

Bestimmung von k: Ähnlich gehst du vor, wenn du die Mindestanzahl k an Erfolgen bestimmen sollst. Beispiel: "Bei 10 Quizfragen mit je 4 Antwortmöglichkeiten soll die Chance, durch Raten zu gewinnen, höchstens 5% betragen. Wie viele richtige Antworten sind mindestens nötig?"

Lösung: P$X ≥ k$ ≤ 0,05 → P$X ≤ k-1$ ≥ 0,95 Nach Probieren verschiedener Werte ergibt sich k = 6.

Solche Baumdiagramm Wahrscheinlichkeit berechnen Aufgaben kannst du systematisch lösen, indem du die Bedingung in eine Ungleichung umwandelst und dann mit dem Taschenrechner die Lösung findest.

💡 Bei mündlichen Prüfungen: Erkläre für die Stochastik mündliche Prüfung immer dein Vorgehen Schritt für Schritt – besonders wie du die Ungleichung aufstellst und interpretierst.

Normalverteilung

Im Gegensatz zur Binomialverteilung (diskrete Werte) kann eine normalverteilte Zufallsgröße jeden reellen Wert annehmen. Sie ist eine stetige Verteilung und wird durch Integrale berechnet.

Eine Zufallsgröße X heißt normalverteilt mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ. Die zugehörige Gaußsche Glockenkurve hat ihren Hochpunkt bei x = μ und Wendepunkte bei x = μ ± σ.

Wichtige Eigenschaft: Bei einer normalverteilten Zufallsgröße beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die Werte um höchstens eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen, etwa 68,3%:

P$μ-σ ≤ X ≤ μ+σ$ ≈ 0,683

Mit dem Taschenrechner kannst du verschiedene Arten von Wahrscheinlichkeiten berechnen:

• Werte zwischen a und b: P(a ≤ X ≤ b)
• Höchstens b: P(X ≤ b)
• Mindestens a: P(X ≥ a)

Ein konkretes Beispiel wäre die Wahrscheinlichkeit, dass ein Brötchen zwischen 52g und 54g wiegt, berechnet als P(52 ≤ X ≤ 54).

💡 Verständnis-Tipp: Die Normalverteilung ist eine Approximation der Binomialverteilung für große n. Der Erwartungswert Binomialverteilung Bedeutung (n·p) ist dabei identisch mit dem Erwartungswert μ der approximierenden Normalverteilung!