Pfadregeln und Erwartungswert

Baumdiagramme sind perfekt, um Zufallsexperimente grafisch darzustellen. Mit der Produktregel berechnest du die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfades, indem du die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizierst. Zum Beispiel ist P(rb) = 3/4 · 1/2 = 3/8 = 18,75%.

Mit der Summenregel bestimmst du die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis, indem du die Wahrscheinlichkeiten aller zugehörigen Ergebnisse addierst. Die Wahrscheinlichkeit für "mindestens einmal blau" wäre beispielsweise P(E) = P(rb) + P(br) + P(bb) = 3/16 + 3/16 + 4/16 = 10/16 = 43,75%.

Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsgröße X gibt an, welcher Wert durchschnittlich auf lange Sicht zu erwarten ist. Du berechnest ihn mit der Formel E(X) = x₁·P(X=x₁) + x₂·P(X=x₂) + ... + xₙ·P(X=xₙ). Ein Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert für den Gewinn 0 ist.

💡 Prüfungstipp: Bei Baumdiagramm Aufgaben mit Lösungen ist es hilfreich, das Gegenereignis zu betrachten! Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses E ist immer P(E) = 1 - P(E).

Bedingte Wahrscheinlichkeit und Beispielrechnung

Der Erwartungswert zeigt dir, was ein Spiel langfristig "wert" ist. Beim Beispiel des Glücksrads (zweimal drehen, Gewinn je nach Blau-Treffer) kannst du den erwarteten Gewinn berechnen: E(X) = (-1)·3/16 + 0·6/16 + 4·1/16 = -5/16 ≈ -0,31€. Du verlierst also durchschnittlich 31 Cent pro Spiel – kein faires Spiel!

Die bedingte Wahrscheinlichkeit P_A(B) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B eintritt, wenn bekannt ist, dass A bereits eingetreten ist. Die Formel lautet: P_A(B) = P(A∩B)/P(A).

Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn P_A(B) = P(B) bzw. P(A∩B) = P(A)·P(B). Das Baumdiagramm ist besonders nützlich, um bedingte Wahrscheinlichkeiten darzustellen und zu berechnen.

🔑 Wichtig für die Prüfung: Das Verständnis von stochastischer Unabhängigkeit ist entscheidend für viele Baumdiagramm Aufgaben mit bedingten Wahrscheinlichkeiten im Abitur!

Bernoulli-Experiment und Binomialverteilung

Ein Bernoulli-Experiment ist ein spezielles Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ergebnissen (Erfolg/Misserfolg), bei dem die Versuche unabhängig sind und die Trefferwahrscheinlichkeit p konstant bleibt. Typische Bernoulli-Experiment Beispiele sind Münzwürfe oder Ja/Nein-Umfragen.

Mit der Bernoulli-Formel berechnest du die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer bei n Versuchen: P(X=k) = (n über k) · p^k · (1-p)^(n-k). Der Binomialkoeffizient (n über k) = n!/(k!·(n-k)!) gibt die Anzahl der möglichen Pfade mit k Treffern an.

Die kumulierte Wahrscheinlichkeit P(X≤k) ist die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten von 0 bis k. Mit dem Taschenrechner berechnest du sie über "Binomialcdf". So interpretierst du verschiedene Wahrscheinlichkeiten:

• Höchstens 7 Treffer: P(X≤7)
• Weniger als 7 Treffer: P(X<7) = P(X≤6)
• Mindestens 7 Treffer: P(X≥7) = 1-P(X≤6)
• Mehr als 7 Treffer: P(X>7) = 1-P(X≤7)

📊 Tipp für die mündliche Prüfung in Stochastik: Übe das Umformulieren von Wahrscheinlichkeitsaussagen wie "mindestens", "höchstens" in die entsprechenden Formeln!

Erwartungswert und Problemlösen mit der Binomialverteilung

Bei einer binomialverteilten Zufallsgröße beträgt der Erwartungswert Binomialverteilung μ = n·p und die Standardabweichung σ = √(n·p·(1-p)). Im Histogramm ist die höchste Säule bei k = μ (wenn μ ganzzahlig ist) oder bei einem der benachbarten ganzzahligen Werte. Je größer σ, desto breiter ist das Histogramm.

Bei Aufgaben zum Bestimmen des Parameters n fragst du: "Wie oft muss ich das Experiment durchführen?" Beispiel: Wie oft musst du würfeln, um mit 90% Wahrscheinlichkeit mindestens zweimal eine 6 zu würfeln? Lösung: Stelle P(X≥2) ≥ 0,9 um zu P(X≤1) ≤ 0,1 und teste verschiedene n-Werte mit dem Taschenrechner. Mit n=22 erreichst du P(X≤1) ≈ 0,0878 < 0,1, also brauchst du mindestens 22 Würfe.

Um den Erwartungswert Binomialverteilung zu berechnen, nutzt du einfach die Formel μ = n·p. Sie gibt dir den durchschnittlich zu erwartenden Wert bei vielen Wiederholungen des Experiments. Der Erwartungswert ist ein zentrales Konzept in der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

🎲 Merke: Der Erwartungswert n·p der Binomialverteilung beschreibt anschaulich die "durchschnittliche Trefferzahl" bei n Versuchen – ein essentielles Konzept für Baumdiagramm Wahrscheinlichkeit berechnen!

Bestimmung der Parameter p und k

Bei der Bestimmung des Parameters p fragst du: "Wie groß muss die Trefferwahrscheinlichkeit sein?" Beispiel: Ein Schokolinsenhersteller will, dass mit 80% Wahrscheinlichkeit mindestens 30 von 124 Linsen grün sind. Stelle P(X≥30) ≥ 0,8 um zu P(X≤29) ≤ 0,2 und teste verschiedene p-Werte mit dem Taschenrechner.

Bei der Bestimmung des Parameters k (Mindestanzahl Treffer) fragst du: "Wie viele Treffer benötige ich mindestens?" Beispiel: In einer Quizshow mit 10 Fragen und je 4 Antwortmöglichkeiten soll die Chance, durch Raten zu gewinnen, höchstens 5% betragen. Formuliere P(X≥k) ≤ 0,05 um zu P(X≤k-1) ≥ 0,95. Mit dem Taschenrechner findest du k-1=5, also k=6 – der Kandidat muss mindestens 6 richtige Antworten haben.

Diese Aufgabentypen sind klassische Baumdiagramm Aufgaben für das Abitur und erscheinen regelmäßig in Prüfungen. Die Lösungsstrategie ist immer ähnlich: Formuliere die Ungleichung, forme sie um und teste systematisch mit dem Taschenrechner.

🧮 Prüfungstipp: Bei Parameterbestimmungen in der Binomialverteilung hilft eine klare Umformungsstrategie – wandle die Aufgabe immer in die Form P(X≤...) um und nutze dann die kumulierte Binomialverteilung am Taschenrechner!

Normalverteilung als stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung

Im Gegensatz zur binomialverteilten Zufallsgröße (diskret, nimmt nur endlich viele Werte an) kann eine normalverteilte Zufallsgröße jeden reellen Wert annehmen. Die Wahrscheinlichkeitsdichte wird durch die berühmte Gauß'sche Glockenkurve dargestellt.

Die Wahrscheinlichkeit, dass X Werte zwischen a und b annimmt, berechnest du durch ein Integral: P(a≤X≤b) = ∫ᵃᵇ φμ,σ(x)dx. Die Glockenkurve hat ihren Hochpunkt bei x=μ (Erwartungswert) und Wendepunkte bei x=μ±σ.

Eine wichtige Eigenschaft: Bei normalverteilten Zufallsgrößen liegen etwa 68,3% aller Werte im Bereich μ±σ. Mit dem Taschenrechner berechnest du Normalverteilungswahrscheinlichkeiten über "normalcdf". Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Brötchen zwischen 52g und 54g wiegt, berechnest du mit P(52≤X≤54).

📈 Wichtig für die Klausur: Während die Binomialverteilung für zählbare Ereignisse (wie Bernoulli-Experimente) verwendet wird, beschreibt die Normalverteilung kontinuierliche Messgrößen wie Gewicht, Größe oder Zeit. Der Erwartungswert beider Verteilungen hat die gleiche Bedeutung!