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Pfadregeln und Erwartungswert Baumdiagramm: 16 besitzt MIJ fla 515 Pfadregeln: = Produktregel - Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhält man, in dem man die Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades multipliziert Zum Beispiel: Wahrscheinlichkeit für rot bei der ersten und blau bei der zweiten Drehung: 3 1 3 P (rb)==== 18,75% Ergebnismenge: z.B. S= {rr; rb; br; bb} Summenregel die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E erhält man, in dem man die Wahrscheinlichkeiten der E gehörenden Ergebnisse addiert. Zum Beispiel: mindestens einmal blau P (E)= P(rb)+p(br)+P(bb)= 3 16 16 + Ergebnis: z.B. "blau" bei der ersten & ,rot" bei der zweiten Drehung; kurz: br Ereignis: zum Beispiel "mindestens einmal blau" oder E= {rb; br; bb} Gegenereignis: zum Beispiel E: "nie blau" P (E) 1- P(E) = 1. = 515 MIJ = + ٢١٥ ^ = Zufallsexperiment: Ein Versuch, der unter best. Bedingungen durchgeführt wird und einen zufälligen Ausgang 7 16 = 86,25% 43,75% Für eine Zufallsgröße X, die die Werte X₁, Xannehmen kann, definiert man den Erwartungswert von X durch E (X) = x₁ P(X= :=x^\ + x₂ P(x=x₂)+ > ·P(x= xn) n E (X) gibt an, welcher Wert für X im Durchschnitt auf lange Sicht zu erwarten ist. Ein Spiel heißt fair, wenn der Erwartungswert für den Gewinn O ist. 1 Beispiel: - Einsatz: ein Euro, Rad wird zweimal gedreht - genau einmal blau: man erhält seinen Einsatz zurück - zweimal blau : man erhält fünf Euro - kein blau : man erhält nichts Zufallsgröße: X beschreibt den Gewinn des Spielers in Euro, X kann die...

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Werte -1,0 oder 4 annehmen Wahrscheinlichkeitsverteilung: Gewinn X P(X=x) . - 1 Erwartungswert von X: E(X)= (-1) 16 g 16 ↓ P(rr) = O +0% 6 16 P(rol+P(br) 3 + 16 16 16 + 4. 16 t & P(86) = 11 - 11/12 4 = -0,81 ola E (X) = -0,₁31 Auf lange Sicht durchschnittlich zu erwartende Gewinn pro Spiel -0,31 Cent Bedingte Wahrscheinlichkeit- stochastische Unabhängigkeit P(An B) P(A) "Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung das A eingetreten ist" = PA (B) = A und B sind stochastisch unabhängig wenn: P₁ (B) =PCB) / P(ANB)=P(A). PCB) 2 Bernoulli- Experiment Ein Zufallsexperiment heißt Bernoulli- Experiment, wenn es genau zwei Ergebnisse hat, die 1. voneinander unabhängig sind und deren 2. Trefferwahrscheinlichkeit p sich nicht ändert Anzahl der Durchführungen = Längen Bernoulli- Formel P(X=K) = (^^) .pt. (1-P) Bn;p (k) (2) Anzahl der Pfade mit r Treffern: Binomialkoeffizient ( "n über k") • n! (^ ) = K ! ~ (^_-)! Kumulierte Wahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit P(x≤k) = P(X=0) + P(X=^) + ... + P(X=k) heißt kumulierte Wahrscheinlichkeit WTR-Befehl ^-k п-к 2nd Distr S. Binomialcdf SINGIE 1. Höchstens 7 Tretler no PCX≤7) 2. Weniger als & Treffer mop (X<7) = P(x≤6) 7 8. mind. 7 Treffer ~DP (X= 7) = 1-P(x≤6) 4. mehr als 7 Tretter ~pp (x >7) = 1-P(X≤7) 5. mind. 4 & weniger als 7 mo P(4≤ x < 7) = 1- P(x≤3) + P(x≤6) 3 Erwartungswert und Histogramm -verteilte Zufallsgröße hat den Erwartungswert μ=n·P =√√√₁.p.(^-p) Eine B und die Standardabweichung Wahrscheinlichkeitsverteilung darstellen. Wenn μ ganzzahlig ist, dann ist dich höchste Säule bei k= μ Wenn nicht ganzzahlig ist, dann ist die höchste Säule bei einem der beiden benachbarten ganzzahligen Werte. Je größer, desto breiter das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X kann man grafisch in einem Histogramm Bestimmung Parameter n: Wie oft muss man mit einem Würfel würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens 2 mal eine 6 zu würfeln Problemlösen mit der Binomialverteilung X: Anzahl Würfe mit Augenzahl 6 X ist binomialverteilt mit p= 1/6, n ist gesucht Jetzt P(X22) ≤0,9 1- P(x ≤ 1) =0,g - P(x ≤ 1) = -0,1 P(x≤1) ≤0₁1 mit TR berechnen P(x = 2) = 1- P(x≤1) |-1 1.(-1) -12 n=zo. P(x≤1) ≈0, 1804 nəza: P(x ≤ 1) ~ 0,1130 n=22: PCX ≤1) ≈ 0,0978 ungleichneitszeichen umdrehen PCX ≤1) für verschiedene Werten von n um mit einer A: Man muss mind. aamal würfeln Wkt von mind. 80%. amal eine 6 zu würfeln J Bestimmung Parameter P: Ein Hersteller von Schokolinsen verkauft diese in Packungen mit je 124 Stück. Wie hoch muss der Anteil der grünen Schokolinsen sein, damit in einer Packung mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% mindestens 30 grüne sind? X: Anzahl an grünen Schokolinsen X ist binomialverteilt mit n= 124, p= gesucht P(x230) ²018 1- P(X≤ 29 ) 20₁8 1-1 - P(x=2g) = -0,₁2 1.(-1) P(X=29) ≤ 0₁2 Im Te verschiedene Werten Bestimmung Parameter k: Ein Kandidat muss in einer Quizshow 10 Fragen hintereinander beantworten. Zu jeder Frage gibt es vier Antwort Möglichkeiten. Der Fernsehsender will, dass die Chance, dass jemand nur durch raten den Hauptpreis gewinnt, höchstens 5% beträgt. Bestimme die Mindestzahl an richtigen Antworten, die für das Gewinnen des Hauptpreises verlangt werden muss. X: Anzahl an richtigen Antworten X ist binomialverteilt mit p= 1/4 und n= 10 P(X= k) ≤0,08 P(X²80) = 1- P(x≤29) mit 1- P(x≤ K-1) ≤0,08 1-1 - P(x ≤k-1) ≤ -0,85 1.2.1) P(X²k-1) =0,85 те k=1=5 k=6 |+1 von P(X= k) = 1- P(x≤K-1) verschiedene Werte für k-a berechnen V

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Vielen Dank, wirklich hilfreich für mich, da wir gerade genau das Thema in der Schule haben 😁

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