Beispiel und bedingte Wahrscheinlichkeit

Dieser Abschnitt vertieft das Verständnis von Erwartungswerten anhand eines konkreten Beispiels und führt das Konzept der bedingten Wahrscheinlichkeit ein.

Ein Glücksspiel wird vorgestellt, bei dem ein Rad zweimal gedreht wird. Der Gewinn hängt von der Anzahl der blauen Ergebnisse ab. Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn des Spielers in Euro.

Der Erwartungswert für dieses Spiel wird detailliert berechnet:

E(X) = (-1) · 9/16 + 0 · 6/16 + 4 · 1/16 = -0,31

Dies bedeutet, dass der Spieler auf lange Sicht durchschnittlich 0,31 Cent pro Spiel verliert.

Das Konzept der bedingten Wahrscheinlichkeit wird eingeführt. Es beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B unter der Bedingung, dass ein Ereignis A bereits eingetreten ist.

Definition: Die bedingte Wahrscheinlichkeit von B gegeben A wird als P_A(B) = P(A∩B) / P(A) definiert.

Highlight: Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn P_A(B) = P(B) oder äquivalent P(A∩B) = P(A) · P(B) gilt.

Example: Im Glücksspielbeispiel beträgt der Erwartungswert -0,31 Euro, was bedeutet, dass das Spiel nicht fair ist.

Bernoulli-Experiment

Dieser Abschnitt führt das Bernoulli-Experiment als grundlegendes Konzept in der Stochastik ein und erläutert die Bernoulli-Formel für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten.

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ergebnissen, die voneinander unabhängig sind und deren Trefferwahrscheinlichkeit p sich nicht ändert. Die Anzahl der Durchführungen wird als Länge n bezeichnet.

Die Bernoulli-Formel ermöglicht die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für k Treffer bei n Versuchen:

P(X=k) = (n über k) · p^k · (1-p)^(n-k)

Dabei ist (n über k) der Binomialkoeffizient, der die Anzahl der möglichen Pfade mit k Treffern angibt.

Der Begriff der kumulierten Wahrscheinlichkeit wird eingeführt als die Summe der Wahrscheinlichkeiten für alle Ergebnisse bis zu einem bestimmten Wert k.

Definition: Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ausgängen, die unabhängig sind und eine konstante Trefferwahrscheinlichkeit haben.

Highlight: Die Bernoulli-Formel ist grundlegend für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in der Binomialverteilung.

Example: Die kumulierte Wahrscheinlichkeit P(X≤k) berechnet sich als Summe P(X=0) + P(X=1) + ... + P(X=k).

Normalverteilung

Dieser Abschnitt deutet den Übergang von der Binomialverteilung zur Normalverteilung an, wird aber nicht weiter ausgeführt.

Die Normalverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die in vielen natürlichen und sozialen Phänomenen auftritt. Sie hat eine charakteristische glockenförmige Kurve und wird durch zwei Parameter bestimmt: den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ.

Für große n nähert sich die Binomialverteilung der Normalverteilung an, was als Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung bekannt ist.

Highlight: Die Normalverteilung ist eine wichtige kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die in vielen Anwendungen der Statistik eine zentrale Rolle spielt.

Vocabulary: Die Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung ist ein wichtiges Konzept in der Stochastik, das besonders bei großen Stichprobenumfängen relevant wird.