Bernoulli-Experiment

Dieser Abschnitt führt das Bernoulli-Experiment als grundlegendes Konzept in der Stochastik ein und erläutert die Bernoulli-Formel für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten.

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ergebnissen, die voneinander unabhängig sind und deren Trefferwahrscheinlichkeit p sich nicht ändert. Die Anzahl der Durchführungen wird als Länge n bezeichnet.

Die Bernoulli-Formel ermöglicht die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für k Treffer bei n Versuchen:

P(X=k) = (n über k) · p^k · (1-p)^(n-k)

Dabei ist (n über k) der Binomialkoeffizient, der die Anzahl der möglichen Pfade mit k Treffern angibt.

Der Begriff der kumulierten Wahrscheinlichkeit wird eingeführt als die Summe der Wahrscheinlichkeiten für alle Ergebnisse bis zu einem bestimmten Wert k.

Definition: Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ausgängen, die unabhängig sind und eine konstante Trefferwahrscheinlichkeit haben.

Highlight: Die Bernoulli-Formel ist grundlegend für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in der Binomialverteilung.

Example: Die kumulierte Wahrscheinlichkeit P(X≤k) berechnet sich als Summe P(X=0) + P(X=1) + ... + P(X=k).

Erwartungswert und Histogramm

In diesem Abschnitt werden der Erwartungswert und die grafische Darstellung von binomialverteilten Zufallsgrößen behandelt.

Für eine binomialverteilte Zufallsgröße X gilt:

• Der Erwartungswert ist μ = n · p
• Die Standardabweichung beträgt σ = √(n · p · (1-p))

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße kann in einem Histogramm dargestellt werden. Die Form des Histogramms hängt von den Parametern n und p ab:

• Wenn μ ganzzahlig ist, liegt die höchste Säule bei k = μ
• Wenn μ nicht ganzzahlig ist, liegt die höchste Säule bei einem der beiden benachbarten ganzzahligen Werte
• Je größer n ist, desto breiter wird das Histogramm

Ein Beispiel zur Bestimmung des Parameters n wird vorgestellt: Wie oft muss man würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens zweimal eine 6 zu würfeln?

Die Lösung wird schrittweise hergeleitet, wobei die binomialverteilte Zufallsgröße X die Anzahl der Würfe mit einer 6 beschreibt. Durch systematisches Ausprobieren wird ermittelt, dass man mindestens 22-mal würfeln muss.

Definition: Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße ist μ = n · p, wobei n die Anzahl der Versuche und p die Trefferwahrscheinlichkeit ist.

Highlight: Die Form des Histogramms einer binomialverteilten Zufallsgröße hängt von den Parametern n und p ab und wird mit zunehmendem n breiter.

Example: Um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens zweimal eine 6 zu würfeln, muss man mindestens 22-mal würfeln.