Binomialverteilung und Bernoulli-Versuch
Die Binomialverteilung ist ein zentrales Konzept in der Wahrscheinlichkeitstheorie, das auf dem Bernoulli-Versuch basiert. Ein Bernoulli-Versuch ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ausgängen, die üblicherweise als "Erfolg" und "Misserfolg" bezeichnet werden. Die Bernoulli-Kette entsteht, wenn man einen Bernoulli-Versuch mehrfach unter gleichen Bedingungen wiederholt.
Definition: Ein Bernoulli-Versuch ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ergebnissen: Treffer Erfolg oder Fehlschlag Misserfolg.
Die Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl der Erfolge in einer Folge von unabhängigen Bernoulli-Versuchen. Sie tritt auf, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
- Jeder Versuch ist ein Bernoulli-Versuch.
- Die Versuchswiederholungen sind unabhängig voneinander.
- Die Anzahl der Versuchswiederholungen ist festgelegt.
- Die Wahrscheinlichkeit p für einen Treffer ist bei jedem Versuch gleich.
Formel: Die Bernoulli-Formel für die Wahrscheinlichkeit von k Treffern bei n Versuchen lautet:
PX=k = nu¨berk * p^k * 1−p^n−k
Ein wichtiges Konzept im Zusammenhang mit der Binomialverteilung ist die kumulierte Wahrscheinlichkeit. Sie gibt an, wie wahrscheinlich es ist, höchstens eine bestimmte Anzahl von Treffern zu erzielen.
Definition: Die kumulierte Wahrscheinlichkeit PX≤M ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten für 0 bis M Treffer:
PX≤M = PX=0 + PX=1 + ... + PX=M
Für die Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit gibt es verschiedene Formeln und Methoden:
- PX≤M = Σk=0bisM nu¨berk * p^k * 1−p^n−k
- PX<M = PX≤M−1
- PX≥k = 1 - PX≤k−1
- PX>k = 1 - PX≤k
Highlight: Auf Taschenrechnern kann die kumulierte Binomialverteilung oft mit der Funktion Bpd k,n,p berechnet werden.
Zwei wichtige Kenngrößen der Binomialverteilung sind der Erwartungswert und die Standardabweichung:
- Erwartungswert: EX = μ = n * p
- Standardabweichung: σX = √n∗p∗(1−p)
Beispiel: Bei n=5 Versuchen und einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,2 beträgt der Erwartungswert EX = 5 * 0,2 = 1 und die Standardabweichung σX ≈ 0,894.
Diese Konzepte bilden die Grundlage für viele praktische Anwendungen in Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung, von der Qualitätskontrolle bis hin zur Risikoanalyse.
