Binomialverteilung und Bernoulli-Versuch
Die Binomialverteilung ist ein zentrales Konzept in der Wahrscheinlichkeitstheorie, das auf dem Bernoulli-Versuch basiert. Ein Bernoulli-Versuch ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ausgängen, die üblicherweise als "Erfolg" und "Misserfolg" bezeichnet werden. Die Bernoulli-Kette entsteht, wenn man einen Bernoulli-Versuch mehrfach unter gleichen Bedingungen wiederholt.
Definition: Ein Bernoulli-Versuch ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ergebnissen: Treffer (Erfolg) oder Fehlschlag (Misserfolg).
Die Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl der Erfolge in einer Folge von unabhängigen Bernoulli-Versuchen. Sie tritt auf, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
- Jeder Versuch ist ein Bernoulli-Versuch.
- Die Versuchswiederholungen sind unabhängig voneinander.
- Die Anzahl der Versuchswiederholungen ist festgelegt.
- Die Wahrscheinlichkeit p für einen Treffer ist bei jedem Versuch gleich.
Formel: Die Bernoulli-Formel für die Wahrscheinlichkeit von k Treffern bei n Versuchen lautet:
P(X=k) = (n über k) * p^k * (1-p)^(n-k)
Ein wichtiges Konzept im Zusammenhang mit der Binomialverteilung ist die kumulierte Wahrscheinlichkeit. Sie gibt an, wie wahrscheinlich es ist, höchstens eine bestimmte Anzahl von Treffern zu erzielen.
Definition: Die kumulierte Wahrscheinlichkeit P(X≤M) ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten für 0 bis M Treffer:
P(X≤M) = P(X=0) + P(X=1) + ... + P(X=M)
Für die Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit gibt es verschiedene Formeln und Methoden:
- P(X≤M) = Σ[k=0 bis M] (n über k) * p^k * (1-p)^(n-k)
- P(X<M) = P(X≤M-1)
- P(X≥k) = 1 - P(X≤k-1)
- P(X>k) = 1 - P(X≤k)
Highlight: Auf Taschenrechnern kann die kumulierte Binomialverteilung oft mit der Funktion Bpd (k,n,p) berechnet werden.
Zwei wichtige Kenngrößen der Binomialverteilung sind der Erwartungswert und die Standardabweichung:
- Erwartungswert: E(X) = μ = n * p
- Standardabweichung: σ(X) = √(n * p * (1-p))
Beispiel: Bei n=5 Versuchen und einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,2 beträgt der Erwartungswert E(X) = 5 * 0,2 = 1 und die Standardabweichung σ(X) ≈ 0,894.
Diese Konzepte bilden die Grundlage für viele praktische Anwendungen in Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung, von der Qualitätskontrolle bis hin zur Risikoanalyse.
