Trigonometrische Funktionen einfach erklärt – Sinus, Cosinus, Tangens & Beispiele

Ableitung und Kurvenuntersuchung

Trigonometrische Ableitungen

Das Ableiten von Sinus und Kosinus folgt einem festen Kreislauf.

• Sinus-Ableitung: Es gilt $(\sin x)' = \cos x$.
• Kosinus-Ableitung: Es gilt $(\cos x)' = -\sin x$.

Kurvenuntersuchung

Nullstellen und Extrema wiederholen sich aufgrund der Periodizität in festen Abständen.

Beispiel: Nullstellen von $\sin(\frac{3}{2}x) = -0,5$

1. Substitution: $u = \frac{3}{2}x$ mit $\sin(u) = -0,5$
2. Rücksubstitution: $x \approx -0,33 \xrightarrow{+Periode} 3,67$

💡 Tipp: Denke beim Lösen trigonometrischer Gleichungen immer daran, die Periodenlänge zu addieren, um alle Nullstellen im Intervall zu finden.

Dreieck, Einheitskreis und Graphen

Trigonometrie im Dreieck

Im rechtwinkligen Dreieck bestimmen die Seitenverhältnisse die Winkel.

• Sinus: Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse.
• Kosinus: Ankathete geteilt durch Hypotenuse.
• Tangens: Gegenkathete geteilt durch Ankathete.

Einheitskreis und Eigenschaften

Am Einheitskreis mit Radius $r=1$ hat der Punkt $P(x_p|y_p)$ die Koordinaten $P(\cos x | \sin x)$.

• Periode: Beide Graphen wiederholen sich alle $2\pi$.
• Symmetrie: Sinus ist punktsymmetrisch, Kosinus achsensymmetrisch.

💡 Tipp: Der Sinus ist am Einheitskreis immer der $y$-Wert, der Kosinus immer der $x$-Wert.

Parameter von Sinusfunktionen

Streckung und Verschiebung

Die allgemeine Formel lautet $f(x) = a \cdot \sin(b \cdot (x + c)) + d$.

• Amplitude $a$: Streckt oder staucht den Graphen in $y$-Richtung.
• Frequenz $b$: Beeinflusst die Periode über die Formel $P = \frac{2\pi}{b}$.
• Verschiebung: $c$ verschiebt in $x$-Richtung (Achtung: $+c$ nach links), $d$ verschiebt in $y$-Richtung.

💡 Tipp: Ein negatives $a$ spiegelt den gesamten Graphen zusätzlich an der $x$-Achse.