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Trigonometrische Funktionen und Identitäten

Mathe714Aktualisiert 14. Sept. 20262 Seiten

Trigonometrische Funktionen – Sinus, Cosinus & Tangens einfach erklärt

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emily 🧚🏼‍♀️@emilyyyslernzettel
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Wie hängen der Winkel im Gradmaß und die Bogenlänge am Einheitskreis zusammen? Trigonometrische Funktionen wie Sinus und Kosinus beschreiben periodische Vorgänge und tauchen in der Physik und Mathe überall dort auf, wo sich Dinge wiederholen. Diese Zusammenfassung zeigt dir, wie du die Graphen verschiebst, Gleichungen systematisch löst und die Ableitungen bestimmst. Danach kannst du jede trigonometrische Gleichung im Handumdrehen lösen.
Trigonometrische Funktionen – Seite 1

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Sinus und Kosinus

Grundlagen und Symmetrie

Sinus und Kosinus sind periodisch und gehen durch Verschiebung auseinander hervor.

  • Bogenmaß: Umrechnung über x2π=α360°\frac{x}{2\pi} = \frac{\alpha}{360°}
  • Symmetrie: Sinus ist punktsymmetrisch, sin(−x)=−sin(x)sin(-x) = -sin(x)
  • Kosinus: Ist achsensymmetrisch, cos(−x)=cos(x)cos(-x) = cos(x)

Die Normalform

Die Normalform lautet f(x)=a⋅sin(b(x−c))+df(x) = a \cdot sin(b(x-c)) + d.

  • Parameter: aa ist die Amplitude, bb bestimmt die Periode p=2πbp = \frac{2\pi}{b}
  • Verschiebung: cc verschiebt in x-Richtung, dd in y-Richtung
  • Beispiel: 3⋅sin(2x−6)3 \cdot sin(2x-6) erst ausklammern zu 3⋅sin(2(x−3))3 \cdot sin(2(x-3))

💡 Tipp: Bringe Funktionen vor dem Ablesen der Verschiebung immer zuerst in die Normalform, indem du den Faktor vor dem xx ausklammerst.

Trigonometrische Funktionen – Seite 2

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Gleichungen lösen

Basislösungen bestimmen

Trigonometrische Gleichungen der Form sin(x)=asin(x) = a haben im Intervall 2π2\pi zwei Basislösungen.

  • Sinus: x0=arcsin(a)x_0 = arcsin(a) und x1=π−x0x_1 = \pi - x_0
  • Kosinus: x0=arccos(a)x_0 = arccos(a) und x1=−x0x_1 = -x_0
  • Ableitung: Es gilt (sin(x))′=cos(x)(sin(x))' = cos(x) und (cos(x))′=−sin(x)(cos(x))' = -sin(x)

Substitution nutzen

Bei komplizierten Argumenten hilft das Ersetzen der inneren Funktion.

  • Methode: Ersetze die Klammer durch uu, löse nach uu auf und mache die Rücksubstitution.
  • Beispiel: sin(2x)=0,5⇒sin(2x) = 0,5 \Rightarrow Setze u=2xu = 2x.

💡 Tipp: Vergiss bei periodischen Lösungen nicht den Zusatz +2kπ+ 2k\pi für alle ganzen Zahlen kk.

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