Wachstumsprozesse

Linear vs. Exponentiell

Wachstum kann gleichmäßig oder prozentual erfolgen.

• Lineares Wachstum: Es kommt pro Schritt immer derselbe Betrag hinzu ($y = m \cdot t + n$).
• Exponentielles Wachstum: Der Wert vervielfacht sich pro Schritt mit einem festen Faktor ($y = a \cdot b^t$).
• Wachstumsfaktor: Berechnet sich über die prozentuale Rate $p$ mit $b = 1 + \frac{p\%}{100}$.

Beispiel: Startwert $20$ €, Zunahme um $10\%$ pro Monat: $b = 1 + \frac{10}{100} = 1,1$ $y = 20 \cdot 1,1^t$

💡 Tipp: Wenn der Wachstumsfaktor $b > 1$ ist, handelt es sich immer um eine Zunahme.

Abnahmeprozesse

Linearer und exponentieller Zerfall

Werte können konstant abnehmen oder prozentual schrumpfen.

• Linearer Zerfall: Konstante Abnahme mit negativem Anstieg ($y = m \cdot x + n$ mit $m < 0$).
• Exponentieller Zerfall: Abnahme mit einem Zerfallsfaktor $b$ zwischen $0$ und $1$ ($y = a \cdot b^t$).
• Zerfallsrate: Bestimmt den Faktor $b$ durch prozentuale Abnahme mit $b = 1 - \frac{p\%}{100}$.

Beispiel: Startwert $100$ g, Abnahme um $50\%$ pro Schritt: $b = 1 - \frac{50}{100} = 0,5$ $y = 100 \cdot 0,5^t$

💡 Tipp: Bei exponentiellem Zerfall nähert sich der Graph der x-Achse an, erreicht sie aber nie.

Logarithmen & Gleichungen

Der Logarithmus

Der Logarithmus sucht den passenden Exponenten einer Gleichung.

• Definition: Aus $b^n = a$ wird durch Logarithmieren $n = \log_b a$.
• Spezialfälle: Es gilt immer $\log_b b = 1$ und $\log_b 1 = 0$.

Exponentialgleichungen lösen

Steht die Variable im Exponenten, hilft der Logarithmus beim Auflösen.

Beispiel: $3^n = 11$ $n = \log_3 11 \approx 2,18$

💡 Tipp: Nutze die Rechenregel $\log_b(a^n) = n \cdot \log_b(a)$, um Exponenten vor den Logarithmus zu ziehen.

Exponentialfunktionen

Eigenschaften der Basis-Funktion

Die Funktion $f(x) = b^x$ verhält sich je nach Basis $b$ völlig unterschiedlich.

• Wachstum ($b > 1$): Der Graph steigt streng monoton und geht durch den Punkt $(1; b)$.
• Zerfall ($0 < b < 1$): Der Graph fällt streng monoton und spiegelt sich an der y-Achse.
• Gemeinsamkeiten: Beide verlaufen durch $S_y(0;1)$ und haben die x-Achse als Asymptote.

💡 Tipp: Die Definitionsmenge ist immer ganz $\mathbb{R}$, aber die Funktionswerte $y$ sind immer größer als $0$.

Einfluss von Parameter a

Streckung, Stauchung und Spiegelung

Der Faktor $a$ in $y = a \cdot b^x$ verändert die Form und Lage des Graphen.

• Schnittpunkt: Der Wert $a$ ist immer der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse bei $S_y(0; a)$.
• Spiegelung: Ist $a$ negativ ($a < 0$), wird der gesamte Graph an der x-Achse gespiegelt.

Beispiel: Bestimme $a$ für den Punkt $P(0; 2)$: $2 = a \cdot b^0 \Rightarrow a = 2$

💡 Tipp: Ein negatives $a$ dreht das Monotonieverhalten der Funktion komplett um.

Verschiebung mit Parameter e

Verschiebung auf der y-Achse

Die vollständige Funktionsgleichung lautet $f(x) = a \cdot b^x + e$.

• Verschiebung: Der Parameter $e$ verschiebt den gesamten Graphen vertikal nach oben oder unten.
• Asymptote: Die waagerechte Grenzlinie verschiebt sich von der x-Achse auf die Höhe $y = e$.
• y-Achsenabschnitt: Der Graph schneidet die y-Achse nun exakt bei $S_y(0; a + e)$.

Beispiel: $f(x) = 2^x + 1$ Asymptote bei $y = 1$; Schnittpunkt bei $S_y(0; 2)$

💡 Tipp: Zeichne beim Skizzieren immer zuerst die Asymptote als gestrichelte Linie bei $y = e$ ein.

Funktionsgleichung bestimmen

Gleichung aus zwei Punkten berechnen

Haben wir zwei Punkte $P$ und $Q$, lässt sich $y = a \cdot b^x$ durch ein Gleichungssystem bestimmen.

• Schritt 1: Setze beide Punkte in die allgemeine Form ein, um zwei Gleichungen zu erhalten.
• Schritt 2: Stelle beide nach $a$ um, setze sie gleich und löse nach $b$ auf.

Beispiel: $P(2; 12)$ und $Q(1; 6) \Rightarrow 12 = a \cdot b^2$ und $6 = a \cdot b^1$ $\frac{12}{b^2} = \frac{6}{b} \Rightarrow 12b = 6b^2 \Rightarrow b = 2 \Rightarrow a = 3$

💡 Tipp: Teile die Gleichungen durcheinander, um den Parameter $a$ direkt zu eliminieren.