Das Verhalten von Funktionen im Unendlichen

Verhalten im Unendlichen

Wenn wir wissen wollen, was mit einer Funktion passiert, wenn x gegen Unendlich geht, bestimmen wir den Grenzwert (auch Limes genannt). Dieser zeigt uns, was mit f$x$ passiert, wenn x immer größer wird oder immer kleiner wird.

Das Verhalten hängt hauptsächlich von der höchsten Potenz des Terms und ihrem Vorzeichen ab. Bei Polynomfunktionen bestimmt der Term mit der höchsten Potenz das Verhalten im Unendlichen:

• Positive gerade Potenz (z.B. x², x⁴): f$x$→+∞ für x→±∞
• Negative gerade Potenz $z.B. -x², -x⁴$: f$x$→-∞ für x→±∞
• Positive ungerade Potenz (z.B. x³, x⁵): f$x$→+∞ für x→+∞ und f$x$→-∞ für x→-∞
• Negative ungerade Potenz $z.B. -x³, -x⁵$: f$x$→-∞ für x→+∞ und f$x$→+∞ für x→-∞

💡 Merkhilfe: Um das Verhalten im Unendlichen zu bestimmen, löse den Term erst in die Form ax^n auf und schaue dir dann das Vorzeichen von a und ob n gerade oder ungerade ist an.

Beispiel: Bei f$x$=2-$x-1$²-x² musst du erst umformen: f$x$=$2x-2$²-x² = 2x²-2x². Da sich alles zu -2x² vereinfacht, handelt es sich um eine negative gerade Potenz. Daher gilt: f$x$→-∞ für x→±∞.