Ableitung und Tangente
Die Tangente ist ein zentrales Konzept in der Differentialrechnung. Sie wird definiert als eine Gerade, die den Graphen einer Funktion f in einem Punkt P berührt und die Steigung f'(a) an diesem Punkt hat.
Definition: Eine Tangente an den Graphen von f im Punkt P(a|f(a)) ist diejenige Gerade, die den Punkt P enthält und die Steigung f'(a) hat.
Die allgemeine Tangentengleichung lautet:
y = f'(a)(x-a) + f(a)
Diese Formel ist grundlegend für das Tangente berechnen mit Punkt.
Die Zusammenfassung behandelt verschiedene Aufgabentypen:
- Grafisches Ableiten
- Näherungsweise Bestimmung der Tangentengleichung
- Berechnung der Tangentengleichung
Beispiel: Für eine Funktion f mit f(3) = 5 und f'(3) = -1 lautet die Tangentengleichung: y = -(x-3) + 5
Wichtige Ableitungsregeln werden vorgestellt:
- Potenzregel
- Faktorregel
- Summenregel
- Produktregel
Highlight: Die Produktregel besagt: Für f(x) = u(x) · v(x) gilt f'(x) = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x)
Ein besonderer Fokus liegt auf der Verkettung von Funktionen. Bei einer linearen Verkettung f(x) = u(v(x)) gilt die Kettenregel:
f'(x) = u'(v(x)) · v'(x)
Beispiel: Für f(x) = (7-2x)³ mit u(x) = x³ und v(x) = 7-2x gilt f'(x) = 3(7-2x)² · (-2)
Die Normale wird als Gerade definiert, die senkrecht zur Tangente steht. Ihre Gleichung lautet:
y = -1/f'(a) · (x-a) + f(a)
Abschließend wird das schrittweise Vorgehen zum Tangente berechnen mit Punkt anhand eines konkreten Beispiels erläutert:
- Funktionswert berechnen
- Ableitungsfunktion bestimmen
- Steigung der Tangente im Punkt berechnen
- In die allgemeine Tangentengleichung einsetzen und umformen
Diese detaillierte Zusammenfassung bietet einen umfassenden Überblick über die Tangente Funktion und verwandte Konzepte, die für das Verständnis der Differentialrechnung unerlässlich sind.
