Mathe /

Wahrscheinlichkeitsrechnung - Stochastik (+ Ausarbeitung)

Wahrscheinlichkeitsrechnung - Stochastik (+ Ausarbeitung)

 Präsentation: Wahrscheinlichkeitsrechnung - Stochastik
Die vorliegende Präsentation behandelt das Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung -
Stoch
 Präsentation: Wahrscheinlichkeitsrechnung - Stochastik
Die vorliegende Präsentation behandelt das Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung -
Stoch

Wahrscheinlichkeitsrechnung - Stochastik (+ Ausarbeitung)

user profile picture

Julius Böhme

101 Followers

Teilen

Speichern

73

 

9/10

Präsentation

Diese Präsentation geht auf wesentliche Inhalte der Wahrscheinlichkeitsrechnung ein, wie sie bis Ende der Klasse 10 unterrichtet werden. Dazu gehören unter anderem Häufigkeiten, Pfadregeln, Permutationen, Variationen, Varianz, Erwartungswert,... :)

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Präsentation: Wahrscheinlichkeitsrechnung - Stochastik Die vorliegende Präsentation behandelt das Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung - Stochastik so, wie es bis zum Ende der Klasse 10 vorgesehen ist. Ein erheblicher Teil der Präsentation ist die Begriffsklärung zahlreicher stochastischer Begriffe, da ohne deren Kenntnis stochastische Berechnungen nur schwer möglich sind. Die Kenntnis dieser Begriffe ist also absolut obligatorisch. Deshalb empfiehlt es sich, diese Begriffe in den eigenen Hefter zu übernehmen. Soweit möglich, habe ich auf Definitionen im eigenen Wortlaut zurückgegriffen. Der erste erklärte Begriff ist die absolute Häufigkeit mit dem Formelzeichen H. Diese gibt vereinfacht an, wie oft et- was vorkommt. Auf der Folie ist die Definition nochmals genauer beschrieben. Eng damiti verbunden ist die relative Häufigkeit mit dem Formelzeichn h. Diese ist der Quotient aus der absoluten Häufigkeit und der Gesamtanzahl. Zur Veranschauli- chung wurde ein Beispiel angebracht: die Zählung vorbeifahrender Autos. Auf der sogenannten Urliste (Strichliste) sind die absoluten Häufigkeiten vermerkt: zwei ro- te Autos, zwei gelbe Autos, ein grünes Auto, drei weiße Autos und zwei schwarze Autos wurden gezählt. Addiert man diese absoluten Häufigkeiten, erhält man als Gesamtanzahl vorbeifahrender Autos 10: 2 + 2 + 1 + 3 + 2 = 10. Somit können die relativen Häufigkeiten leicht errechnet werden, indem man die absoluten Häufigkei- ten jeweils durch die Gesamtanzahl 10 teilt. Das ergibt für rote Autos eine relative Häufigkeit...

Mit uns zu mehr Spaß am Lernen

Hilfe bei den Hausaufgaben

Mit dem Fragen-Feature hast du die Möglichkeit, jederzeit Fragen zu stellen und Antworten von anderen Schüler:innen zu erhalten.

Gemeinsam lernen

Mit Knowunity erhältest du Lerninhalte von anderen Schüler:innen auf eine moderne und gewohnte Art und Weise, um bestmöglich zu lernen. Schüler:innen teilen ihr Wissen, tauschen sich aus und helfen sich gegenseitig.

Sicher und geprüft

Ob Zusammenfassungen, Übungen oder Lernzettel - Knowunity kuratiert alle Inhalte und schafft eine sichere Lernumgebung zu der Ihr Kind jederzeit Zugang hat.

App herunterladen

Alternativer Bildtext:

von 0,2 = 20%, für gelbe und schwarze Autos ebenso. Für grüne Autos ergibt sich die relative Häufigkeit 0,1 = 10% und für weiße Autos 0,3-30%. Aufad- diert ergeben die relativen Häufigkeiten wieder 1: 20% + 20% + 10% + 30% + 20% = 100% = 1. Die nächste Definition, die des Zufallsversuches, ist nur für das Ver- ständnis des Themas wichtig und spielt in Aufgaben normalerweise keine Rolle mehr. Bei dieser Definition kommen bereits die Begriffe „Ereignis“ und „Ergebnis" ins Spiel, welche später näher erklärt werden. Elementar für die Definition der Wahrscheinlichkeit ist das Einprägen des Formelzeichens P, welches sehr häufig in Aufgaben auftaucht. Kurz gesagt (auf der Folie ist es wieder ausführlicher erklärt) ist die Wahrscheinlichkeit eine stabil gewordene relative Häufigkeit. Ein Sonderfall der Wahrscheinlichkeit ist die Laplace-Wahrscheinlichkeit, welche nach dem franzö- sischen Mathematiker, Physiker und Astronom Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) benannt wurde. Eine Laplace-Wahrscheinlichkeit liegt vor, wenn alle möglichen Er- gebnisse des Zufallsversuches gleich wahrscheinlich sind. Dies ist zum Beispiel beim Würfeln mit einem normalen sechsseitigen Spielewürfel der Fall: Dort tritt jede Zahl {1;2;3;4;5;6} jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von einem Sechstel auf. Da- nach werden auch die Begriffe Ergebnis mit der Ergebnismenge Omega und das Ereignis, gepaart mit dem Gegenereignis erklärt. Außerdem wird kurz auf sichere und unmögliche Ereignisse eingegegangen. Ein sicheres Ereignis ergänzenderwei- se, dass beim Werfen eines herkömmlichen Spielewürfels eine der folgenden Zah- len eintritt: {1;2;3;4;5;6}. Unmöglich wäre es hingegen, dass beim Werfen eines her- kömmlichen Spielewürfels die Zahl 8 eintritt, da diese nicht Teil der Ergebnismenge von = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ist. Weiterhin werden statistische Werte, genauer Median, Modalwert, arithmetisches Mittel, Spannweite, Varianz, Standardabweichung und Erwartungswert betrachtet. Zu betonen ist beim Median (Zentralwert), dass dieser nur bei einer der Größe nach geordneten Datenreihe aussagekräftig bestimmt wer- den kann und dass es außerdem mehrere Modalwerte geben kann. Das arithmeti- sche Mittel wird mit x quer bezeichnet. Mit einem Beispiel, einer Liste von Körper- größen von 11 Schülern einer Klasse wird dies nochmals veranschaulicht. Eine ty- hochgeladen auf Knowunity von Julius Böhme pische Wahrscheinlichkeitsverteilung in Tabellenform mit den Zeilen „Wert von x" sowie ,,Wahrscheinlichkeit, dass dieser Wert von x eintritt" verdeutlicht die Berech- nung des Erwartungswertes, der keinesfalls mit dem arithmetischen Mittel gleichzu- setzen ist. Das nächste Thema ist das Baumdiagramm. Zwar wird es häufig als Papierver- schwendung kritisiert, es kann aber dennoch gerade Einsteigern wichtige Informati- onen bieten. Mein Baumdiagramm verdeutlicht das zweimalige Werfen einer Mün- ze mit den möglichen Ereignissen „Kopf“ und „Zahl“. Die Wahrscheinlichkeiten für das Ereignis werden typischerweise direkt am entsprechenden Pfad eingetragen. Hier wurden schon die Pfadregeln beachtet, welche auf der nächsten Folie erklärt werden. Ergänzend zur Summenregel ist festzustellen, dass die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisse gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfa- de ist, für die eben dieses Ereignis günstig ist. Angestupst wird als nächstes das Gebiet der Kombinatorik mit den drei wichtigen Operationen Permutation, Variation und Kombination. Zu deren Verständnis ist die Kenntnis des Begriffes der Fakultät (z.B. 3! = 6; 4! = 24) enorm wichtig. Zum Schluss folgen noch zwei Anwendungsaufgaben, die aus verschiedenen BLF- Prüfungen an zehnten Klassen sächsischer Gymnasien entnommen wurden. Diese Aufgaben stammen aus dem sächsischen Bildungsserver: https://www.schule.sach- sen.de/119.htm (zuletzt abgerufen am 31.1.2020 um 15 Uhr). Die erste Aufgabe ist eine simple Multiple-Choice-Aufgabe, wobei fünf Möglichkeiten zur Auswahl ste- hen. Deshalb ist diese Aufgabe ohne jegliche Hilfsmittel zu erledigen. Bei der zwei- ten, etwas umfangreicheren Aufgabe sind Hilfsmittel, also Zeichengeräte und ein GTR mit CAS zugelassen. Die Lösungsstrategie dieser Aufgabe, bei der der Anteil weißer Smartphones an der Gesamtanzahl der vom Hersteller verkauften Handys bestimmt werden soll, ist das Anfertigen eines Baumdiagrammes. Zur Lösung sind zwei Pfade des Baumdiagramms wichtig: der Pfad Frauen - weiß sowie der Pfad Männer - weiß. Nach Anwendung der Pfadregeln kommt man auf das Ergebnis, dass der Anteil weißer Smartphones 52% beträgt. Denkbar wäre es auch, die Auf- gabe mithilfe des Gegenereignisses, also unter Berücksichtigung der Pfade Frauen - silber und Männer - silber zu lösen. Dann käme man auf 48%. Diese muss man dann noch - da man ja mit dem Gegenereignis gerechnet hat - von der gleichbleib- enden Gesamtzahl 1 abziehen, wobei man dann wieder auf 52% kommt. Alle in der Präsentation angegebenen Quellen wurden zuletzt am 31.3.2020 um 15 Uhr abgerufen. hochgeladen auf Knowunity von Julius Böhme edureka! <=30 31....40 Income > 40 Yes Wahrscheinlichkeitsrechnung Stochastik: Basics. No — Age Exc hochgeladen auf Knowunity von Julius Böhme Student <=30 No Yes No Income Yes 31....40 Yes Age V Gliederung • 1 Begriffsklärungen • Zufallsversuch, Wahrscheinlichkeit, absolute & relative Häufigkeit, Ergebnis, Ereignis, Median, Modalwert, arithmetisches Mittel, Spannweite, Varianz, Standardabweichung, Erwartungswert • 2 Das Baumdiagramm • 3 Kombinatorik: Die Basics Permutation, Variation, Kombination • 4 Anwendungsaufgabe 1 Begriffsklärungen absolute Häufigkeit (Formelzeichen: H) Die absolute Häufigkeit gibt an, wie oft das Ergebnis x bei n Beobachtungen des Zufallsversuches eintritt. relative Häufigkeit (Formelzeichen: h) Die relative Häufigkeit des Ereignisses A ist gleich der Summe der Ergebnisse, für die das Ereignis A günstig ist. Es gilt: absolute Häufigkeit Gesamtanzahl relative Häufigkeit= Beispiel: Zählung vorbeifahrender Autos in einer Liste rote Autos: II gelbe Autos: I| grüne Autos: I weiße Autos: III schwarze Autos: II absolute Häufigkeit „rote Autos" = 2 Gesamtanzahl: 10 relative Häufigkeit rote Autos = 2/10 = 0,2 --> 20% der Autos waren rot. 1 Begriffsklärungen Zufallsversuch Ein Zufallsversuch ist ein Vorgang mit einem nicht vorhersehbarem, also zufälligem Ereignis als Ziel. Es gibt mehrere mögliche Ergebnisse, denen jeweils Wahrscheinlichkeiten zugewiesen werden. Wahrscheinlichkeit (Formelzeichen: P) Die Wahrscheinlichkeit ist eine Näherung der beobachteten relativen Häufigkeit hn(A) bei einer wachsenden Beobachtungszahl zu einem stabilen Wet P(A), also eine stabil gewordene relative Häufigkeit. 1 Begriffsklärungen Laplace-Wahrscheinlichkeit Die Laplace-Wahrscheinlichkeit wurde nach dem französischen Mathematiker Pierre-Simon Laplace benannt und ist eine Sonderform der Wahrscheinlichkeit, bei der alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Es gilt: P(A)= Anzahl der günstigen (zu erzielenden) Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse

Mathe /

Wahrscheinlichkeitsrechnung - Stochastik (+ Ausarbeitung)

user profile picture

Julius Böhme  

Follow

101 Followers

 Präsentation: Wahrscheinlichkeitsrechnung - Stochastik
Die vorliegende Präsentation behandelt das Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung -
Stoch

App öffnen

Diese Präsentation geht auf wesentliche Inhalte der Wahrscheinlichkeitsrechnung ein, wie sie bis Ende der Klasse 10 unterrichtet werden. Dazu gehören unter anderem Häufigkeiten, Pfadregeln, Permutationen, Variationen, Varianz, Erwartungswert,... :)

Ähnliche Knows

user profile picture

Grundbegriffe der Stochastik

Know Grundbegriffe der Stochastik thumbnail

75

 

13

user profile picture

STOCHASTIK

Know STOCHASTIK  thumbnail

65

 

10

L

15

Stochastik Abiturzusammenfassung (LK)

Know Stochastik Abiturzusammenfassung (LK) thumbnail

255

 

12

user profile picture

Stochastik

Know Stochastik thumbnail

9

 

13

Präsentation: Wahrscheinlichkeitsrechnung - Stochastik Die vorliegende Präsentation behandelt das Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung - Stochastik so, wie es bis zum Ende der Klasse 10 vorgesehen ist. Ein erheblicher Teil der Präsentation ist die Begriffsklärung zahlreicher stochastischer Begriffe, da ohne deren Kenntnis stochastische Berechnungen nur schwer möglich sind. Die Kenntnis dieser Begriffe ist also absolut obligatorisch. Deshalb empfiehlt es sich, diese Begriffe in den eigenen Hefter zu übernehmen. Soweit möglich, habe ich auf Definitionen im eigenen Wortlaut zurückgegriffen. Der erste erklärte Begriff ist die absolute Häufigkeit mit dem Formelzeichen H. Diese gibt vereinfacht an, wie oft et- was vorkommt. Auf der Folie ist die Definition nochmals genauer beschrieben. Eng damiti verbunden ist die relative Häufigkeit mit dem Formelzeichn h. Diese ist der Quotient aus der absoluten Häufigkeit und der Gesamtanzahl. Zur Veranschauli- chung wurde ein Beispiel angebracht: die Zählung vorbeifahrender Autos. Auf der sogenannten Urliste (Strichliste) sind die absoluten Häufigkeiten vermerkt: zwei ro- te Autos, zwei gelbe Autos, ein grünes Auto, drei weiße Autos und zwei schwarze Autos wurden gezählt. Addiert man diese absoluten Häufigkeiten, erhält man als Gesamtanzahl vorbeifahrender Autos 10: 2 + 2 + 1 + 3 + 2 = 10. Somit können die relativen Häufigkeiten leicht errechnet werden, indem man die absoluten Häufigkei- ten jeweils durch die Gesamtanzahl 10 teilt. Das ergibt für rote Autos eine relative Häufigkeit...

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Mit uns zu mehr Spaß am Lernen

Hilfe bei den Hausaufgaben

Mit dem Fragen-Feature hast du die Möglichkeit, jederzeit Fragen zu stellen und Antworten von anderen Schüler:innen zu erhalten.

Gemeinsam lernen

Mit Knowunity erhältest du Lerninhalte von anderen Schüler:innen auf eine moderne und gewohnte Art und Weise, um bestmöglich zu lernen. Schüler:innen teilen ihr Wissen, tauschen sich aus und helfen sich gegenseitig.

Sicher und geprüft

Ob Zusammenfassungen, Übungen oder Lernzettel - Knowunity kuratiert alle Inhalte und schafft eine sichere Lernumgebung zu der Ihr Kind jederzeit Zugang hat.

App herunterladen

Knowunity

Schule. Endlich einfach.

App öffnen

Alternativer Bildtext:

von 0,2 = 20%, für gelbe und schwarze Autos ebenso. Für grüne Autos ergibt sich die relative Häufigkeit 0,1 = 10% und für weiße Autos 0,3-30%. Aufad- diert ergeben die relativen Häufigkeiten wieder 1: 20% + 20% + 10% + 30% + 20% = 100% = 1. Die nächste Definition, die des Zufallsversuches, ist nur für das Ver- ständnis des Themas wichtig und spielt in Aufgaben normalerweise keine Rolle mehr. Bei dieser Definition kommen bereits die Begriffe „Ereignis“ und „Ergebnis" ins Spiel, welche später näher erklärt werden. Elementar für die Definition der Wahrscheinlichkeit ist das Einprägen des Formelzeichens P, welches sehr häufig in Aufgaben auftaucht. Kurz gesagt (auf der Folie ist es wieder ausführlicher erklärt) ist die Wahrscheinlichkeit eine stabil gewordene relative Häufigkeit. Ein Sonderfall der Wahrscheinlichkeit ist die Laplace-Wahrscheinlichkeit, welche nach dem franzö- sischen Mathematiker, Physiker und Astronom Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) benannt wurde. Eine Laplace-Wahrscheinlichkeit liegt vor, wenn alle möglichen Er- gebnisse des Zufallsversuches gleich wahrscheinlich sind. Dies ist zum Beispiel beim Würfeln mit einem normalen sechsseitigen Spielewürfel der Fall: Dort tritt jede Zahl {1;2;3;4;5;6} jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von einem Sechstel auf. Da- nach werden auch die Begriffe Ergebnis mit der Ergebnismenge Omega und das Ereignis, gepaart mit dem Gegenereignis erklärt. Außerdem wird kurz auf sichere und unmögliche Ereignisse eingegegangen. Ein sicheres Ereignis ergänzenderwei- se, dass beim Werfen eines herkömmlichen Spielewürfels eine der folgenden Zah- len eintritt: {1;2;3;4;5;6}. Unmöglich wäre es hingegen, dass beim Werfen eines her- kömmlichen Spielewürfels die Zahl 8 eintritt, da diese nicht Teil der Ergebnismenge von = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ist. Weiterhin werden statistische Werte, genauer Median, Modalwert, arithmetisches Mittel, Spannweite, Varianz, Standardabweichung und Erwartungswert betrachtet. Zu betonen ist beim Median (Zentralwert), dass dieser nur bei einer der Größe nach geordneten Datenreihe aussagekräftig bestimmt wer- den kann und dass es außerdem mehrere Modalwerte geben kann. Das arithmeti- sche Mittel wird mit x quer bezeichnet. Mit einem Beispiel, einer Liste von Körper- größen von 11 Schülern einer Klasse wird dies nochmals veranschaulicht. Eine ty- hochgeladen auf Knowunity von Julius Böhme pische Wahrscheinlichkeitsverteilung in Tabellenform mit den Zeilen „Wert von x" sowie ,,Wahrscheinlichkeit, dass dieser Wert von x eintritt" verdeutlicht die Berech- nung des Erwartungswertes, der keinesfalls mit dem arithmetischen Mittel gleichzu- setzen ist. Das nächste Thema ist das Baumdiagramm. Zwar wird es häufig als Papierver- schwendung kritisiert, es kann aber dennoch gerade Einsteigern wichtige Informati- onen bieten. Mein Baumdiagramm verdeutlicht das zweimalige Werfen einer Mün- ze mit den möglichen Ereignissen „Kopf“ und „Zahl“. Die Wahrscheinlichkeiten für das Ereignis werden typischerweise direkt am entsprechenden Pfad eingetragen. Hier wurden schon die Pfadregeln beachtet, welche auf der nächsten Folie erklärt werden. Ergänzend zur Summenregel ist festzustellen, dass die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisse gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfa- de ist, für die eben dieses Ereignis günstig ist. Angestupst wird als nächstes das Gebiet der Kombinatorik mit den drei wichtigen Operationen Permutation, Variation und Kombination. Zu deren Verständnis ist die Kenntnis des Begriffes der Fakultät (z.B. 3! = 6; 4! = 24) enorm wichtig. Zum Schluss folgen noch zwei Anwendungsaufgaben, die aus verschiedenen BLF- Prüfungen an zehnten Klassen sächsischer Gymnasien entnommen wurden. Diese Aufgaben stammen aus dem sächsischen Bildungsserver: https://www.schule.sach- sen.de/119.htm (zuletzt abgerufen am 31.1.2020 um 15 Uhr). Die erste Aufgabe ist eine simple Multiple-Choice-Aufgabe, wobei fünf Möglichkeiten zur Auswahl ste- hen. Deshalb ist diese Aufgabe ohne jegliche Hilfsmittel zu erledigen. Bei der zwei- ten, etwas umfangreicheren Aufgabe sind Hilfsmittel, also Zeichengeräte und ein GTR mit CAS zugelassen. Die Lösungsstrategie dieser Aufgabe, bei der der Anteil weißer Smartphones an der Gesamtanzahl der vom Hersteller verkauften Handys bestimmt werden soll, ist das Anfertigen eines Baumdiagrammes. Zur Lösung sind zwei Pfade des Baumdiagramms wichtig: der Pfad Frauen - weiß sowie der Pfad Männer - weiß. Nach Anwendung der Pfadregeln kommt man auf das Ergebnis, dass der Anteil weißer Smartphones 52% beträgt. Denkbar wäre es auch, die Auf- gabe mithilfe des Gegenereignisses, also unter Berücksichtigung der Pfade Frauen - silber und Männer - silber zu lösen. Dann käme man auf 48%. Diese muss man dann noch - da man ja mit dem Gegenereignis gerechnet hat - von der gleichbleib- enden Gesamtzahl 1 abziehen, wobei man dann wieder auf 52% kommt. Alle in der Präsentation angegebenen Quellen wurden zuletzt am 31.3.2020 um 15 Uhr abgerufen. hochgeladen auf Knowunity von Julius Böhme edureka! <=30 31....40 Income > 40 Yes Wahrscheinlichkeitsrechnung Stochastik: Basics. No — Age Exc hochgeladen auf Knowunity von Julius Böhme Student <=30 No Yes No Income Yes 31....40 Yes Age V Gliederung • 1 Begriffsklärungen • Zufallsversuch, Wahrscheinlichkeit, absolute & relative Häufigkeit, Ergebnis, Ereignis, Median, Modalwert, arithmetisches Mittel, Spannweite, Varianz, Standardabweichung, Erwartungswert • 2 Das Baumdiagramm • 3 Kombinatorik: Die Basics Permutation, Variation, Kombination • 4 Anwendungsaufgabe 1 Begriffsklärungen absolute Häufigkeit (Formelzeichen: H) Die absolute Häufigkeit gibt an, wie oft das Ergebnis x bei n Beobachtungen des Zufallsversuches eintritt. relative Häufigkeit (Formelzeichen: h) Die relative Häufigkeit des Ereignisses A ist gleich der Summe der Ergebnisse, für die das Ereignis A günstig ist. Es gilt: absolute Häufigkeit Gesamtanzahl relative Häufigkeit= Beispiel: Zählung vorbeifahrender Autos in einer Liste rote Autos: II gelbe Autos: I| grüne Autos: I weiße Autos: III schwarze Autos: II absolute Häufigkeit „rote Autos" = 2 Gesamtanzahl: 10 relative Häufigkeit rote Autos = 2/10 = 0,2 --> 20% der Autos waren rot. 1 Begriffsklärungen Zufallsversuch Ein Zufallsversuch ist ein Vorgang mit einem nicht vorhersehbarem, also zufälligem Ereignis als Ziel. Es gibt mehrere mögliche Ergebnisse, denen jeweils Wahrscheinlichkeiten zugewiesen werden. Wahrscheinlichkeit (Formelzeichen: P) Die Wahrscheinlichkeit ist eine Näherung der beobachteten relativen Häufigkeit hn(A) bei einer wachsenden Beobachtungszahl zu einem stabilen Wet P(A), also eine stabil gewordene relative Häufigkeit. 1 Begriffsklärungen Laplace-Wahrscheinlichkeit Die Laplace-Wahrscheinlichkeit wurde nach dem französischen Mathematiker Pierre-Simon Laplace benannt und ist eine Sonderform der Wahrscheinlichkeit, bei der alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Es gilt: P(A)= Anzahl der günstigen (zu erzielenden) Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse