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Zentral Klausur EF 2021 + Lösungen

30.5.2022

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Ministerium für
Schule und Bildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
13
4. Bezüge zum Kernlehrplan und zu den Vorgaben 2021
Die Aufgaben weisen
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen 13 4. Bezüge zum Kernlehrplan und zu den Vorgaben 2021 Die Aufgaben weisen vielfältige Bezüge zu Kompetenzbereichen und Inhaltsfeldern des Kern- lehrplans bzw. zu den in den Vorgaben ausgewiesenen Fokussierungen auf. Im Folgenden wird auf Bezüge von zentraler Bedeutung hingewiesen. Inhaltsfelder und inhaltliche Schwerpunkte Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel Inhaltsfeld Funktionen und Analysis (A) • Grundlegende Eigenschaften von Potenz- und Exponentialfunktionen . Grundverständnis des Ableitungsbegriffs • Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen (Untersuchung ganzrationaler Funktionen bis zum Grad drei) Inhaltsfeld Stochastik (S) • Mehrstufige Zufallsexperimente ● Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln Inhaltsfeld Funktionen und Analysis (A) . Grundverständnis des Ableitungsbegriffs • Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen 5. Zugelassene Hilfsmittel Prüfungsteil A: • Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung ZK M HT Seite 2 von 13. Prüfungsteil B: • GTR (Graphikfähiger Taschenrechner) oder CAS (Computeralgebrasystem) • Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 6. Vorgaben für die Bewertung der Schülerleistungen Die jeweilige Modelllösung stellt eine mögliche Lösung bzw. Lösungsskizze dar. Der gewählte Lösungsansatz und -weg der Schülerinnen und Schüler muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl bewertet (Bewertungsbogen: Zeile „Sachlich richti- ge Lösungsalternative zur Modelllösung"). Nur für den Dienstgebrauch! Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase 2021 Mathematik Aufgabe 1: 13 Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel Gegeben ist die Funktion f mit A f(x)=x³-X, XER. Die Abbildung zeigt den Graphen von f. ↑f(x) 6 5 4 3 2 0 B 2 f 3 ZK M HT Prüfungsteil A Seite 1 von 2 4 X Nur für den Dienstgebrauch! Abbildung a) Bestimmen Sie die Steigung...

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m der Sekante durch die Punkte A(-1|0) und B(2|6). (2 Punkte) b) Berechnen Sie alle Stellen, an denen der Graph der Funktion f die Steigung 2 besitzt. (4 Punkte) Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: Aufgabe 2: Zwei Würfel sind wie folgt beschriftet: 4 2 4 Hinweis: 2 2 13 Würfel A 5 1 1 3 Ein Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung ist zugelassen. Nur für den Dienstgebrauch! 3 Würfel B Bei einem Spiel wird zunächst Würfel A und dann Würfel B geworfen. Der Spieler gewinnt, wenn die Augenzahl von Würfel B größer ist als die Augenzahl von Würfel A. ZK M HT Prüfungsteil A Seite 2 von 2 (1) Erstellen Sie für dieses Spiel ein vollständig beschriftetes Baumdiagramm mit allen Pfad- wahrscheinlichkeiten. 1 (2) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Spieler das Spiel gewinnt. (3) Die Augenzahlen von Würfel B sollen so verändert werden, dass die Wahrscheinlichkeit für den Gewinn eines Spiels 50% beträgt. Geben Sie eine Beschriftung von Würfel B an, bei der diese Bedingung erfüllt ist. (2 + 2 + 2 Punkte) Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Aufgabe 1: Modelllösung a) 6-0 6 m = 2-(-1) 3 Modelllösung b) f'(x)=3.x²-1. Aufgabe 2: f'(x)=23.x²-1=23₁x² = 3x²=1⇒x=-1vx=1. Modelllösung (1) = 2. 1 3 6 (2) P(,,Gewinn"): 2 13 3 316 5 3 2 3 1 3 1 12 1 6666 36 3 66 Nur für den Dienstgebrauch! 3 ZK M HT Seite 3 von 13 5 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase 2021 Mathematik Aufgabe 3: Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 13 Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln von f im Punkt P 3 -2 1 40 1 ·x² + -.x³ 60 -1 Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen von f und die Tangente t an den Graphen P(3-17)- 4 (f(x) 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 9 5 [Kontrollergebnis: t: y=-- 4 1 9 10 -X+-.] 2 ·x² + 2 3 11 8 XEIR. Nur für den Dienstgebrauch! ZK M HT Prüfungsteil B Seite 1 von 5 Abbildung a) (1) Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung der Tangente t an den Graphen von f im Punkt P. 4 5 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (3) 1 5 5 3 3 4 1 Aufgabe 3: Modelllösung a) 1 1 9 3 (1) f'(x)= X + ·x² .X. 10 20 5 Ansatz: t: y = m.x+b. 9 m= f'(3)= 4 13 9 17--2-3+b<> b= ²2. 4 oder Einsetzen der Koordinaten des Punktes P 3 -- - P(3|-17) 3 3 3 3 Nur für den Dienstgebrauch! 3 liefert: 9 5 Damit ist eine Gleichung der Tangente t: y=-x+₁ 4 3 ZK M HT Seite 4 von 13 oder ... 1 9 (2) Die Gleichung x + ·x³. ·x² + == ·X+ 1 40 60 Lösungen x, und x₂ mit x₁ X₂ ≈ 0,68. 11 9 5 besitzt neben x = 3 noch die 10 8 4 2 -7,35 und x₂ ≈ 0,68. Die x-Koordinate des Punktes Q ist Für die y-Koordinate von Q gilt: y = f(x₂)≈ 0,97. Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (3) A=19 2 ·g.h. g ist durch die Schnittstelle der Geraden t mit der x-Achse gegeben: 9 5 10 4 9 g+ -=0⇒g= 2 h ist durch den y-Achsenabschnitt der Geraden t gegeben: h= 2 Einsetzen liefert: A = 13 1 10 5 25 292 18 Der Flächeninhalt A des Dreiecks beträgt Flächeneinheiten. Da zusätzlich f'(-5) = 25 18 Modelllösung b) (1) Aus der notwendigen Bedingung f'(x)=0 für lokale Extremstellen ergeben sich die drei Lösungen x=-=, x=0 und x = 4. --9/192 === 9 33 -<0, ƒ'(-1)=7>0, ƒ'(1)=- <0 und f'(5)=¹> 19 ->0 4 20 ZK M HT Seite 5 von 13 gilt, liegt an den Stellen x=-- und x = 4 ein Vorzeichenwechsel von negativen zu posi- 9 2 9 tiven Funktionswerten von f' vor. x=- und x = 4 sind also lokale Minimalstellen von 2 f. An der Stelle x = 0 liegt ein Vorzeichenwechsel von positiven zu negativen Funkti- onswerten von f' vor. x = 0 ist also eine lokale Maximalstelle von f. (2) Beispielsweise gilt: f(6)= 199 40 -= 4,975 > 1,375= == f(0). 11 8 Daher ist H kein globaler Hochpunkt des Graphen von f. 11 (3) Die Gleichung f(x)= besitzt neben x = 0 die Lösungen x3 und x mit x3 = -6,34 8 und x 5,68. Aufgrund der Aufgabenstellung wird nur x4 näher betrachtet. Es gilt: f(5,6)≈ 0,66 <1,375 und f(5,7)~1,61>1,375. Damit folgt: a = 5,6. Nur für den Dienstgebrauch! Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: 13 (2) In der Abbildung ist ein weiterer gemeinsamer Punkt Q des Graphen von f und der Tangente t eingezeichnet. Ermitteln Sie die Koordinaten von Q. (3) Der Koordinatenursprung und die Schnittpunkte der Tangente t mit den Koordinaten- achsen sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Berechnen Sie den Flächeninhalt A dieses Dreiecks. b) (1) Bestimmen Sie rechnerisch alle lokalen Extremstellen von f. ZK M HT Prüfungsteil B Seite 2 von 5 (2) Weisen Sie nach, dass der lokale Hochpunkt H 0 H(OH) 8 Graphen von fist. Nur für den Dienstgebrauch! (4 + 3+ 4 Punkte) kein globaler Hochpunkt des (3) Der Definitionsbereich von f wird jetzt auf das Intervall von x=-2 bis x=a einge- schränkt. Wählt man beispielweise a=5, so ist der lokale Hochpunkt H auch der glo- bale Hochpunkt des Graphen von f. Gesucht ist nun die größte Zahl a> 5 mit den beiden folgenden Eigenschaften: • Im Intervall von x=-2 bis x = a ist der lokale Hochpunkt H auch der globale Hochpunkt des Graphen von f. ● a besitzt genau eine Nachkommastelle. Ermitteln Sie a. (8 +2+3 Punkte) Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: Aufgabe 4: Seit einigen Jahren wird verstärkt über die Feinstaubbelastung in Städten diskutiert. An einer Messstation in einer Stadt wurde über einen längeren Zeitraum die Feinstaubkonzentration¹ aufgezeichnet. verwendet. Zur Modellierung der gemessenen Feinstaubkonzentration im Verlauf eines Tages zwischen 0:00 Uhr und 12:00 Uhr wird für 0≤t≤12 die Funktion f mit f(t)= -0,008-t¹ +0,144-t³ - 0,47-t²-0,6∙t+17,6, t€ R, Dabei gibt t die Uhrzeit an (t=0 entspricht 0:00 Uhr, t= 10,5 entspricht 10:30 Uhr usw.). f(t) ist die Feinstaubkonzentration in zu der durch t gegebenen Uhrzeit. Hg m Der Graph von f ist in der Abbildung 1 dargestellt. [f(t) 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 13 0 1 2 3 4 5 6 Abbildung 1 7 ZK M HT Prüfungsteil B Seite 3 von 5 8 9 10 11 t 12 ¹ Feinstaub wird, abhängig von der Partikelgröße, in die drei Klassen PM10, PM2,5 und Ultrafeinstaub einge- teilt. In der folgenden Aufgabe wird die Konzentration von Feinstaub der Klasse PM 10 modelliert. Nur für den Dienstgebrauch! Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen 13 Aufgabe 4: Modelllösung a) f(10)-f(6) [=28,6-17,816] = 10,784. Zwischen 6:00 Uhr und 10:00 Uhr steigt die Feinstaubkonzentration um 10,784- an. μg m³ Modelllösung b) f'(t)= -0,032-t³ +0,432-t²-0,94-t-0,6. Aus der notwendigen Bedingung f'(t)=0 für lokale Extremstellen ergeben sich die Lösun- gen t₁, t₂ und të mit t₁ ≈−0,51, t₂ ≈3,47 und t¸ ≈ 10,55. t, liegt nicht im Intervall [0;12]. Zusätzlich gilt f'(0)=-0,6 <0, f'(10)=1,2>0 und f'(11)=-1,26 <0. An der Stelle t₂ liegt also ein Vorzeichenwechsel von negativen zu positiven Funktionswerten von f' und da- mit ein lokales Minimum von f vor. An der Stelle t, liegt ein Vorzeichenwechsel von positi- ven zu negativen Funktionswerten von f' und damit ein lokales Maximum von f vor. Ein Vergleich mit den Randwerten liefert: Wegen f (0)=17,6, f(t₂)≈14,72, f(t) ≈ 28,94 und f(12) 25,66 ist 14,72 näherungsweise das absolute Minimum und 28,94 näherungswei- se das absolute Maximum von f im Intervall [0;12]. ZK M HT Seite 6 von 13 Die minimale Feinstaubkonzentration im betrachteten Zeitraum beträgt ca. 14,72- Hg ximale Feinstaubkonzentration ca. 28,94 Hg m :. Nur für den Dienstgebrauch! 3, m die ma- Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Modelllösung c) 28,94 20 (1) -= 1,447. 13 ca. 45 %. Die in b) ermittelte Feinstaubkonzentration überschreitet also den Wert von 20 Hg 3 m³ ZK M HT Seite 7 von 13. Der Wert von 20 wird ungefähr 5,2 Stunden lang überschritten. µg m³ (2) Die Gleichung f(t)= = 20 hat die Lösungen t und t, mit t₁6,81 und t, 12, 82. t, liegt nicht im Intervall [0;12]. Überprüfung von Zwischenwerten: f(3) = 14,81<20 und f(9) = 26,618 > 20. 12-6,81 5,19. um Nur für den Dienstgebrauch! Modelllösung d) (1) Der Graph I gehört zur Funktion 9B, der Graph II gehört zur Funktion 9₁. Mögliche Begründung: Der Graph der Funktion 9в geht durch eine Verschiebung um 3 LE nach unten aus dem Graphen von f hervor. Der vertikale Abstand des Graphen II zum Graphen von f ist beispielsweise an der Stelle t = 11 größer als 4 LE. Damit kann Graph II nicht zur Funktion g, gehören, also gehört Graph I zu gg. Damit gehört Graph II zu gA. (2) 9₁ (t)=0,8.f(t) und 9B (t)=f(t)-3. Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: 13 Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf die durch die Funktion f modellierte Feinstaub- konzentration. 10:00 Uhr zunimmt. a) Ermitteln Sie, um wie viel die Feinstaubkonzentration zwischen 6:00 Uhr und m ZK M HT Prüfungsteil B Seite 4 von 5 b) Ermitteln Sie rechnerisch die maximale und die minimale Feinstaubkonzentration im Zeit- raum von 0:00 Uhr bis 12:00 Uhr. [Kontrolllösung: Die maximale Feinstaubkonzentration beträgt ca. 28,94- .] Hg c) Der Stadtrat fordert, dass ein Wert von 20 nicht überschritten werden soll. µg m m bis 12:00 Uhr überschritten wird. (3 Punkte) (1) Berechnen Sie, um wie viel Prozent die in b) ermittelte maximale Feinstaubkonzentra- Hg tion den Wert von 20- überschreitet. m³ (8 Punkte) (2) Bestimmen Sie rechnerisch, wie lange der Wert von 20- im Zeitraum von 0:00 Uhr Hg m Nur für den Dienstgebrauch! (3 + 4 Punkte) d) Im Stadtrat werden verschiedene Maßnahmenpakete zur Verringerung der Feinstaubkon- zentration diskutiert: • Maßnahmenpaket A soll die Feinstaubkonzentration zu jeder Tageszeit im Vergleich zu der bisher durch f modellierten Feinstaubkonzentration um 20% verringern. • Maßnahmenpaket B soll die Feinstaubkonzentration zu jeder Tageszeit im Vergleich Hg zu der bisher durch f modellierten Feinstaubkonzentration um 3 verringern. m³ Die verringerten Feinstaubkonzentrationen im Verlauf eines Tages werden im Folgenden durch Funktionen 9₁ (Maßnahmenpaket A) und 9, (Maßnahmenpaket B) modelliert. Die Funktionen 9₁ und 9 gehen jeweils durch eine Transformation aus der Funktion f hervor. Die Graphen von f, 9₁ und 9, sind in Abbildung 2 auf der nächsten Seite dargestellt. Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 `f (t), 9A (t), 9B (t) ... 2 3 13 4 6 7 Abbildung 2 5 8 9 Nur für den Dienstgebrauch! 10 ZK M HT Prüfungsteil B Seite 5 von 5 11 (1) Geben Sie begründet an, welcher der Funktionsgraphen zur Funktion g₁ und welcher zur Funktion 9B gehört. (2) Geben Sie für die Funktionen 9 und 9B jeweils eine Funktionsgleichung an. 12 Zugelassene Hilfsmittel: • GTR (Graphikfähiger Taschenrechner) oder CAS (Computer-Algebra-System) • Mathematische Formelsammlung • Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung (3 + 3 Punkte)