ZP10 Grundwissen Mathe: Einheiten, lineare Gleichungssysteme, Körper, Streckung

Einheiten & Gleichungen

Einheiten umrechnen

Beim Wechsel zur nächstgrößeren Einheit wird dividiert, zur kleineren multipliziert.

• Längen: Umrechnungszahl ist meist $10$ (Ausnahme: $1\text{ km} = 1000\text{ m}$).
• Flächen & Volumen: Flächen nutzen den Faktor $100$, Volumen den Faktor $1000$.
• Masse: Die Umrechnungszahl ist durchgehend $1000$.

Lineare Gleichungssysteme (LGS)

Drei klassische Verfahren führen zur Lösung $(x|y)$ von zwei Gleichungen.

• Additionsverfahren: Variablen durch Addieren der Gleichungen eliminieren.
• Einsetzungsverfahren: Eine Gleichung nach einer Variable auflösen und in die andere einsetzen.
• Gleichsetzungsverfahren: Beide Gleichungen nach derselben Variable auflösen und gleichsetzen.

Beispiel: $I: -2x+6y=14$, $II: 2x+3y=-5$ Addieren: $9y = 9 \Rightarrow y = 1$. In $I$ einsetzen: $x = -4$.

💡 Tipp: Nutze die quadratische Ergänzung, um eine quadratische Funktion von der Normalform in die Scheitelpunktform umzuformen.

Gesetze, Formeln & Geometrie

Algebraische Gesetze

Diese Regeln vereinfachen das Rechnen mit Potenzen, Wurzeln und Termen.

• Potenzen: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ und $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
• Wurzeln: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ und $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
• Binomische Formeln: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ und $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

Geometrische Körper & Flächen

Die wichtigsten Formeln für Flächeninhalt ($A$), Volumen ($V$) und Oberfläche ($O$).

• Kreis: $A = \pi r^2$ und Umfang $U = 2\pi r$.
• Pythagoras: Im rechtwinkligen Dreieck gilt immer $a^2 + b^2 = c^2$.
• Zylinder: $V = \pi r^2 \cdot h$ und Oberfläche $O = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot h$.

💡 Tipp: Merk dir für Zinsen unter einem Jahr die Formel $Z = K \cdot p\% \cdot \frac{t}{360}$ mit Tagen $t$.