Quantenmechanik 12/1 – Zusammenfassung & Formeln für die Physik-Klausur (habe 14 Punkte)

Photoeffekt & Quantenobjekte

Der Photoeffekt

Licht verhält sich wie ein Strom aus Energiebündeln (Photonen), die Elektronen aus einer Kathode herausschlagen.

• Austrittsarbeit $W_A$: Mindestenergie, um ein Elektron aus dem Metall zu lösen ($W_A = h \cdot f - e \cdot U_0$).
• Gegenspannung $U_0$: Stoppt den Stromfluss vollständig ($I = 0$).
• Intensität: Bestimmt nur die Anzahl der Elektronen, nicht deren kinetische Energie.

Elektronen als Wellen

Elektronen zeigen beim Durchgang durch eine Graphitfolie oder einen Doppelspalt typische Interferenzmuster.

• Impuls eines Photons: Berechnet sich über $p = \frac{h}{\lambda}$.
• Doppelspalt: Lage der Maxima über $\frac{d_k}{a} = \frac{k \cdot \lambda}{b}$.

💡 Tipp: Die kinetische Energie der Elektronen hängt ausschließlich von der Frequenz des Lichts ab, nicht von dessen Helligkeit.

Materiewellen & Atommodelle

Materiewellen & Unschärfe

Teilchen besitzen Welleneigenschaften, beschrieben durch die De-Broglie-Wellenlänge $\lambda = \frac{h}{p}$.

• Aufenthaltswahrscheinlichkeit: Das Quadrat der Wellenfunktion $|\psi(x)|^2$ gibt an, wo sich ein Teilchen wahrscheinlich befindet.
• Heisenbergsche Unschärfe: Ort $x$ und Impuls $p$ eines Teilchens sind nie gleichzeitig exakt bestimmbar ($\Delta p \cdot \Delta x \geq \frac{h}{4\pi}$).

Atommodelle & Energieniveaus

Beim Übergang von Elektronen zwischen Energieniveaus werden Photonen absorbiert oder emittiert.

• Bohrsches Modell: Elektronen kreisen strahlungsfrei auf diskreten Bahnen, was die Spektrallinien erklärt.
• Energieänderung: Absorption oder Emission erfolgt über $\Delta E = h \cdot f = \frac{h \cdot c}{\lambda}$.

Beispiel: Ein Photon wird emittiert. $\Delta E = E_1 - E_0 \rightarrow \lambda = \frac{h \cdot c}{\Delta E}$

💡 Tipp: Ein Atom kann ein Photon nur absorbieren, wenn dessen Energie exakt dem Abstand zweier Energieniveaus entspricht.

Potentialtopf & Franck-Hertz-Versuch

Der Potentialtopf

Modell zur Beschreibung eines Elektrons, das in einem Raum eingesperrt ist.

• Unendlich hoher Topf: Nur diskrete Energiezustände $E_n = \frac{h^2 \cdot n^2}{8 \cdot L^2 \cdot m}$ sind erlaubt.
• Tunneleffekt: Bei endlich hohen Wänden können Teilchen Barrieren klassisch unmöglicher Energie durchdringen.
• Quantenzahlen: Vier Quantennummern ($n, L, m, s$) beschreiben den Zustand eines Elektrons eindeutig.

Franck-Hertz-Versuch

Beweis für diskrete Energieniveaus in Atomen durch Elektronenstöße in Quecksilbergas.

• Elastischer Stoß: Elektronen prallen ohne Energieverlust ab.
• Unelastischer Stoß: Bei genau $4{,}9\,\text{eV}$ regen Elektronen Hg-Atome an und verlieren ihre Energie.

💡 Tipp: Das Pauli-Prinzip besagt, dass Elektronen in einem Atom nicht in allen vier Quantenzahlen übereinstimmen dürfen.

Formelsammlung & Umrechnungen

Wichtige Formeln

• De-Broglie-Wellenlänge: $\lambda = \frac{h}{p}$
• Energie im Potentialtopf: $E_n = \frac{h^2 \cdot n^2}{8 \cdot L^2 \cdot m}$
• Gegenspannung (Photoeffekt): $U_0 = \frac{h \cdot f - W_A}{e}$

Einheiten umrechnen

• Joule in eV: Teilen durch die Elementarladung $e$ ($1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$).
• eV in Joule: Multiplizieren mit der Elementarladung $e$.

Beispiel: Rechne $2\,\text{eV}$ in Joule um. $2\,\text{eV} \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19} = 3{,}204 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$

💡 Tipp: Achte bei Rechnungen im Potentialtopf immer darauf, die Masse $m$ des Elektrons in kg einzusetzen.